一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．233．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．44．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3536．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 7．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 8．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．509．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．210．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰11．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-12．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．已知0a >，6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()0224a x x x dx -++-=⎰______.15．()2208x x dx --=⎰______.16．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______. 17．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 18．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．19．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________. 20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间. 22．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论； （3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 23．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围. 24．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程. 26．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力3．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.5．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.6．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.7．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线8．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．9．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.10．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.12．C解析：C 【解析】由题意得3330|27S x ==． ①当q ≠1时，则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上12q =-或1q =．选C ． 点睛：在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误．二、填空题13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】22321111733S x dx x ===⎰ 2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰ 2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为：213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．14．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理 136π- 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a ，再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得.【详解】二项式6x ⎫-⎪⎭展开式的通项为()()626136631r rrrrrr r x a C xT C --+---==.6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15， ∴令330,22rr -=∴=，()262261=15a C -∴-，4=1a ∴，0,1a a>∴=.((0221a x x dx x x dx --∴+=++⎰⎰2322111001111121132226x dx xdx x x π---=++=++⨯⨯⨯--⎰⎰()()3232110101323π⎡⎤⎡⎤=--+--⎣⎦⎣⎦11132336ππ=-+=+-. 136π+-. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查微积分基本定理.15．【分析】由定积分性质可知而可利用几何意义求解【详解】令即由几何意义可知：表示在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的性质计算特别是定积分解析：π【分析】 由定积分性质可知)2x dx =⎰20xdx -⎰⎰，而0⎰可利用几何意义求解. 【详解】)2x dx =⎰2xdx -⎰⎰22001|2x =-⎰2=-⎰令(0)y y =≥，即228(0)x y y +=≥，由几何意义可知：⎰表示228(0)x y y +=≥在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和，所以02π=+⎰，因此)222x dx ππ=+-=⎰，故答案为：π 【点睛】本题主要考查了定积分的性质，计算，特别是定积分的几何意义是解题关键，属于中档题.16．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =，当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt t t=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.17．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.18．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：11e + 【解析】由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，又由11xy e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为111100(11)()()|1xx x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，所以概率为111S P S e ==+. 19．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案 解析：【解析】 【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论. 【详解】 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21．(1)16y =；(2)单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 【解析】 试题分析：(1)由题意首先求得3a =，然后利用导函数与原函数切线的关系可得()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程是16y =；(2)结合(1)中求得的函数解析式结合导函数的符号可得函数的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.试题（1） ∵()()3223168f x x a x ax =-+++，∴()()26616f x x a x a =+'-+.∵()f x 在3x =处取得极值，∴()()36961360f a a =⨯-+⨯+='，解得 3a =.∴()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，又()116f =.∴()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程为：16y =. （2）由（1)可得()262418f x x x =-+' ()()631x x =--.令()0f x '=，得1x =或3x =.当x 发生变化时，则()f x 与()f x '的变化情况如表，由上表可知，()f x 的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 22．（1）(1,0)(0,)-+∞ （2）减函数 （3）3【解析】 试题分析：(1)结合函数的解析式可得函数的定义域为()()1,00,-⋃+∞ ；(2)对函数 求导，结合题意和导函数的解析式可得()f x '＝－21x ()111ln x x ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦<0，所以函数f (x )在区间(-1,0)上是减函数.(3)首先由不等式的性质可得k 的最大值不大于３，然后结合导函数的性质可得3k =满足题意，即正整数k 的最大值是3. 试题解：(Ⅰ)函数的定义域为 (Ⅱ)＝21x ＝－设()()()()()221111,01111x g x ln x g x x x x x =++=-+=+++'<+, 故g (x )在(-1,0)上是减函数,而g (x )>g (0)=1>0, 故()f x '＝－21x ()111ln x x ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦<0， 所以函数f (x )在区间(-1,0)上是减函数. （III ）当ｘ>０时，f （ｘ）＞1kx +恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２[]12ln + 又k 为正整数．∴k 的最大值不大于３． 下面证明当ｋ＝３时，f （ｘ）＞1kx +（ｘ＞０）恒成立． 即证当ｘ>０时，()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ＞０恒成立． 令ｇ（ｘ）＝()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ，则()g x '＝()1ln x +－１， 当ｘ>ｅ－１时，()g x '＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，()g x '＜０． ∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e －1)＝３－ｅ＞０． ∴当ｘ>０时，()1x + ()1ln x +＋１－２ｘ＞０恒成立． 因此正整数k 的最大值为3．23．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞.（2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,m e em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<， 所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 24．（1）22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）设点P 的坐标为()00,P x y ，()()21x e x f x x='-，由题意列出方程组，能求出点P 的坐标．（2）设函数()()()ln g x f x a x x =--，()()()21xe ax x g x x '--=，设()xh x e ax =-，()0,x ∈+∞，则()x h x e a '=-，由此利用分类讨论和导数性质即能证明.试题（1）设点P 的坐标为()00,P x y ，()()21x e x f x x='-，由题意知()0002001{x x e x kxe kx x -==，解得02x =，所以02002x e e y x ==，从而点P 的坐标为22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）设函数()()()()ln ln xe g xf x a x x a x x x=--=--，()()()()21,0,xe ax x g x x x--∈'=+∞，设()xh x e ax =-，()0,x ∈+∞，则()xh x e a '=-，当1a ≤时，因为0x >，所以1x e >，所以()0xh x e a ='->，所以()h x 在区间()0,+∞上单调递增，所以()()010h x h >=>； 当1a e <≤时，令()0h x '=，则ln x a =，所以()()0,ln ,0x a h x '∈<；()ln ,x a ∈+∞，()0h x '>. 所以()()()ln 1ln 0h x h a a a ≥=-≥， 由①②可知：()0,x ∈+∞时，有()0h x ≥，所以()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，()()1g x g =极小， 所以()()min 10g x g e a ==-≥，从而有当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-. 点睛：导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式。
