函数的四则运算的微分法则

从而, 有
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
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dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .

1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
13、
1 1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan
2
A
1
2
tan tan
A 2A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
1 x2
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
lim n a (a o) 1
n

(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
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2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
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误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
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§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得

导数与微分-- 函数的微分
本讲学习目标： 1、复述函数在一点可微的概念，并指出何为函数的微分。 2、能够指出导数与微分的关系，并能利用这个关系计算函数的微分。 3、能够默写或复述微分的基本公式和基本法则。 4、指出微分的几何意义，能利用微分做简单的近似计算。
2.4.1 微分的定义
定义2.4.1 设函数y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若相对于自变量x的微小增量∆x，相 应的函数增量 y f (x0 x) f (x0 ) 可表示为
dy x2 y x2 x 120.01 0.12
2.5.3 微分基本公式和基本法则
dy f (x)x
dx (x) x x
dy f (x)dx
dy f (x) dx
“微商”
1）微分基本公式：（常、幂、指、对、三角、反三角）
(sin x) cosx d(sin x) cosxdx
y ( y) dy dx
dy f (x)x
【例2.5.2】求函数 y x3 当x从 x0 2 变到x=2.01时的函数增量与函数微分。
解： 函数增量
又因为 所以
y f (x) f (x0 ) f (2.01) f (2) (2.01)3 23 8.12068 0.1206
y 3x2， y x2 3x2 12， x x x0 0.01
【例2.5.5】设函数 y ln(x x2 1) ，求dy 。
解： dy
1
d (x x2 1)
1
[dx d ( x 2 1)]
x x2 1
x x2 1
1
[dx 1 d (x2 1)]
1 [dx 2x dx]
x x2 1
2 x2 1
x x2 1