专题复习圆与方程与平面向量(教师用)

圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。

这里主研究常用的一类圆系方程。

定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。

首先证明方程①表示圆。

由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。

其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。

设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。

故圆①经过A、B两点。

综上，定理1得证。

定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。

专题复习――圆与方程知识点一 圆的方程1.圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= ((,)C a b 为圆心,r 为半径) 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是:222x y r += 2.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）其中圆心(,)22D EC --，半径2242D E Fr +-=知识点二 点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点00(,)M x y 及圆C :222()()x a y b r -+-=①M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-< ②M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-= ③M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->知识点三 直线和圆的位置关系4.设圆C :222()()x a y b r -+-=； 直线:0l Ax By C ++= 22(0)A B +≠ 圆心(,)C a b 到直线l 的距离22||Aa Bb C d A B++=+教材梳理求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x(2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。

求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．知识点四 圆和圆的位置关系1.(2009重庆) 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( )A.22(2)1x y ＋－＝B .22(2)1x y ＋＋＝ C .22(1)(3)1x y －＋－＝ D .22(3)1x y ＋－＝ 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C 与直线040x y x y －＝及－－＝都相切，圆心在直线0x y ＋＝ 上，则圆C 的方程为 ( )A.22(1)(1)2x y ＋＋－＝ B.22(1)(1)2x y －＋＋＝ C.22(1)(1)2?x y －＋－＝ D.22(1)(1)2x y ＋＋＋＝ 题组一 圆的方程的求法直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d 和圆r 的半径的大小关系来判断①d r =时，l 与C 相切；②d r <时，l 与C 相交；③d r >时，l 与C 相离.(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组222()()0x a y b r Ax By C ⎧-+-=⎨++=⎩消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断 ①相交⇔0∆> ②相切⇔0∆= ③相离⇔0∆<圆与圆的位置关系判断方法(1) 几何法：两圆的连心线长为l ，圆1C 的半径1r 与圆2C 的半径2r ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当12l r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；②当12l r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当12l r r <+时，圆1C 与圆2C 相交；④当21l r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当210l r r ≤<-时，圆1C 与圆2C 内含.(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式∆来判断①=0∆⇔为外切或内切 ②0∆>⇔为相交 ③0∆<⇔为相离或内含解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆222(1)20x y a x ay a ＋＋－＋－＝关于直线10x y －＋＝对称，则实数a 的值为________．解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12，－a )，所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.题组二与圆有关的最值问题4. 若实数x y 、满足22(2)3x y －＋＝，则yx的最大值为________.，23x y -的最大值为________. 23x y -的最大值为________.解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，结合图形可得(y x )max ＝3，(yx )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点(4,2)P -与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )A.22(2)(1)1x y －＋＋＝ B.22(2)(1)4x y －＋＋＝ C.22(4)(2)4x y ＋＋－＝ D.22(2)(1)1x y ＋＋－＝ 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 6.从原点O 引圆222()(3)4x m y m －＋－＝＋的切线y kx ＝，当m 变化时,切点P 的轨迹方程是 ( )A.224(0)x y x ≠＋＝ B.()2234(0)x y x ≠－＋＝C.()()22135(0)x y x ≠－＋－＝ D.225(0)x y x ≠＋＝解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题7.已知以点2(,),(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O A 、，与y 轴交于点O B 、，其中O 为原点． (1)求证: OAB ∆的面积为定值；(2)设直线24y x ＝-＋与圆C 交于点M N 、，若OM ON ＝，求圆C 的方程．解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t，令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t|＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，∴k OC ＝12，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2，而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010青岛)已知圆M 过两点(1,1)(1,1)A B －，－,且圆心M 在20x y ＋－＝上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ＋＋＝上的动点，PA PB 、是圆M 的两条切线,A B 、为切点,求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r2a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。

圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。

第三节圆的方程考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b )2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D 2＋E2－4F>0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是. ( ×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( ×) 2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－)C．(－) D．C 解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜.故选C．3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2，3)，3 B．(－2，3)，C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，D 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.故选D．4．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B 解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)．又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B．5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1 圆的方程——基础性1．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0B 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2.又圆过(3，1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B．2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为( )A．B．C．D．∪[1，＋∞)A 解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1.当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，解得－＜m＜1，即m的取值范围为.故选A．3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 解析：方法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.1．(1)若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上．2．用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1.又k AC＝，k BC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．将本例的条件变为：点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为，试求点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＋2x－3＝0.求与圆有关的轨迹方程的方法1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A 解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A．2．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.考点3 与圆有关的最值问题——应用性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．解：(1)依题意，圆心C(2，7)，半径r＝2.设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，解得16－2≤t≤16＋2.所以m＋2n的最大值为16＋2.(2)设点Q(－2，3)．则直线MQ的斜率k＝.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，即2－≤2＋.所以的最大值为2＋，最小值为2－.本例的条件不变，试求的最大值．解：易知(0，0)在圆外，所以＝，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．因为圆心C(2，7)，半径r＝2，所以圆上的点到原点距离的最大值d＝＋2＝＋2.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2 利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B．－1C．6－2D．A 解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2C1(2，3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.故选A．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 1．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．解析：x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又k BQ＝3，所以所求范围是.2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为__________.12 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.因为2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.课时质量评价(四十五)A组全考点巩固练1．(2023·烟台模拟)圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是( ) A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1A 解析：设圆的圆心为(a，0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A．2．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则||的最大值为( )A．＋2 B．＋4C．2＋4 D．2＋2C 解析：取AB的中点D(2，－3)，则＝2，||＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝＝，所以d＋r＝＋2.所以||的最大值为2＋4.3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A．30 B．18C．6D．5C 解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.4．(2023·菏泽模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为( )A．x2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝D．(x－1)2＋y2＝4A 解析：由题意可得圆心为点(0，1)，半径为r＝＝，所以要求的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选A．5．已知圆x2＋y2＝4，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________________．x2＋y2－x－y－1＝0 解析：设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为____________．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：设圆C2的圆心为C2(a，b)，圆C1∶(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，所以点C1与点C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.7．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，半径为4的圆，如图所示．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，则|QM|＝＝.易知当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，又|CQ|min＝＝4，所以此时|QM|的最小值为＝4.B组新高考培优练8．(多选题)(2023·辽宁模拟)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )A．x2＋(y－4)2＝20B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20D．(x－2)2＋y2＝20AD 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2. 所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20. 故选AD．9．在平面直角坐标系xOy中，已知＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )A．B．C．D．B 解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )A．(－2，4) B．[－2，4]C．[－4，4] D．[－4，2]B 解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2，0)时，m＝－2.设圆心(0，0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4].11．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＝|PB|，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( ) A．2B．C．D．A 解析：设A(1，0)，B(－1，0)，P(x，y)，则＝，化简得(x＋3)2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积有最大值，所以△PAB面积的最大值是×2×2＝2.故选A．12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．5－2解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.又|MP|＝＝，所以＝4，解得b＝0或b＝.所以点P的坐标为(0，0)或.(2)设点P的坐标为(2b，b)．因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标为圆心的圆，所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由解得或所以圆N过定点(0，4)和.。

2017高三一轮复习第31讲 圆的方程复习课一、圆的方程知识要点：1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2.圆的一般方程 ，圆心为点 ，半径 ，其中0422>-+F E D .3.圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含圆2C ）,当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.典型例题：考点1：求圆的方程例1．根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.练习 1求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．练习2．求过两圆02860462222=-++=-++y y x x y x 和的交点及圆心在直线x-y-4=0的圆的方程。

考点2 与圆有关的轨迹问题例2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.练习1.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是.A 22(2)(1)1x y -++= .B 22(2)(1)4x y -++= .C 22(4)(2)4x y ++-= .D 22(2)(1)1x y ++-=练习2．设两点()3,0A -，()3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.考点3与圆有关的最值问题例题3 已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，求 （1）xy 的最大值 （2）x y -的最值 （3）22y x +的最值二．点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系知识归纳：1.点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔ (2) 点在圆上⇔(3) 点在圆外⇔2. 直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法： ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交.（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则 ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交..3．两圆的位置关系：设两圆的圆心距为d ，两圆半径分别为12,r r ，则 ⇔两圆相离； ⇔两圆外切； ⇔两圆相交； ⇔两圆内切； ⇔两圆内含．典型例题：考点一 直线与圆的位置关系例题1:()1已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能()2直线l ：1mx y m -+-与圆C ：()2211x y +-=的位置关系是.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定，与m 的取值有关.()3若直线01=+-y x 与圆2)22=+-y a x （有公共，则实数a 的取值范围 .A ]1,3[-- .B ]3,1[- .C ]1,3[- .D ),1[]3-+∞-∞ ，（练习1 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为.A 023=-+y x .B 043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是例题2．已知圆C 方程为：422=+y x .直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的方程.例3.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.练习1 [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．练习2圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点.45时,求AB的长；（1）当α=0当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.考点二 圆与圆的位置关系例题3．()1）圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离()2（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为.A 4 .B 1 .C 6-.D例题4．已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点，()1求公共弦AB 所在的直线方程；()2求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；。

圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2．圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rr by ax ，其中圆心坐标为b a,，半径为r ；当0,0b a时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r yx；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3．圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022F Ey Dx y x0422FED ；②圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的必要条件是0C A 且0B ；二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是C A 且0B且0422AFED4．圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量将变量y x,联系起来的一个方程.①圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r yr x 为参数）；②圆心在b a,，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r b yr a x 为参数）；5．圆方程之间的互化022F Ey Dx yx422FED配方44222222FE D E xD x即圆心22E ，D ，半径F EDr 42122利用222sincosr r r 得(sincos r byr a x 为参数）6．确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。