2014年高考数学
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2014年高考数学
2014年高考数学试题
一、单选题
1. 设函数 f(x) = (1+x)/(1-x)，则 f(x) + f(1/x) 的值为（ ）
A. (1+x)/(1-x)
B. (1-x)/(1+x)
C. (1+x^2)/(1-x^2)
D. (1-x^2)/(1+x^2)
2. 已知函数 f(x) = 2cos(x) + 1，g(x) = cos(2x)，则 f(x) + g(x) 的最小正周期为（ ）
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
3. 在平面直角坐标系中，动点 P 的坐标关系式为 x^2 + y^2 -
2x + 4y + 4 = 0，则点 P 的轨迹为（ ）
A. 直线
B. 抛物线
C. 椭圆
D. 双曲线
4. 函数 f(x) = (ax^2 + b)/(x + 1)^2 在点 x = 1 处有可去间断点，则 a 和 b 的值分别为（ ）
A. 1，2
B. -1，-2
C. -1，2
D. 1，-2
5. 已知函数 f(x) 为奇函数，且 f(x) + f'(x) = e^x，则求 f(x) 的表达式为（ ）
A. -0.5e^x
B. -e^x
C. 0.5e^x
D. e^x
二、多选题
1. 若α，β为第一象限内两个无关的锐角，则下列关系成立的是（ ）
A. sin (α + β) = sinα + sinβ
B. cos (α + β) = cosα + cosβ
C. tan (α + β) = tanα + tanβ
D. cot (α + β) = cotα + cotβ
2. 已知集合 A = {2, 4, 6}，B = {3, 6, 9}，则集合 A × B = （ ）
A. {(2,3),(2,6),(2,9),(4,3),(4,6),(4,9),(6,3),(6,6),(6,9)} B. {(2,3),(4,6),(6,9)}
C. {(3,2),(6,4),(9,6)}
D. {(2,6),(4,9),(6,3)}
三、解答题
1. 已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an = (3 + an-1)/(1 - 2an-1)，求 an
的表达式。（5分）
解：由已知得，an = (3 + an-1)/(1 - 2an-1)
化简得 2an = -3(an-1) - an-1^2 + 3 - an-1
整理得 an^2 - 3an + 1 = 0
由一元二次方程求解公式，可得 an = (3 ± √5)/2
因为 a1 = 2，所以取 an = (3 - √5)/2
故 an 的表达式为 (3 - √5)/2
2. 函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5，在闭区间 [1,3] 上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值。（5分）
解：首先，函数 f(x) 是一个三次多项式，其导函数为 f'(x) =
3x^2 - 6x + 2，再对 f'(x) 求导得 f''(x) = 6x - 6
因为 f''(x) 是一个一次函数，且系数为正，所以 f''(x) 在整个实数域上都大于零，即 f'(x) 在整个实数域上是单调递增的
又因为 f'(x) 是一个二次函数，所以其抛物线开口向上
综上所述，函数 f(x) 在闭区间 [1,3] 上存在最小值和最大值
为求最小值和最大值，需要求出其驻点
令 f'(x) = 0，解得 x = 1 ± √(2/3)
通过计算可知，x = 1 - √(2/3) 在闭区间 [1,3] 上
所以 f(x) 在 x = 1 - √(2/3) 处取得最小值，最小值为 f(1 - √(2/3))
= -7 + 6√(2/3)
故函数 f(x) 在闭区间 [1,3] 上存在最小值 -7 + 6√(2/3)
最大值的求解方式类似，不再赘述。
以上就是2014年高考数学试题的全部内容，希望能有所帮助。
