二阶方阵的逆矩阵的计算

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

(对应学生用书(理)189～191页)

考情分析 考点新知

①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.

②求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算．

①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.

②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.

1. 设M＝0110，N＝10012，求MN.

解：MN＝011010012＝01210.

2. 已知矩阵M＝a273，若矩阵M的逆矩阵M －1＝b－2－7a，求a、b的值．

解：由题意，知MM－1＝E，a273b－2－7a＝1001，即ab－1407b－213a－14＝1001，

即ab－14＝1，7b－21＝0，3a－14＝1，解得a＝5，b＝3. 3. 求矩阵 12－12的特征多项式．

解：f(λ)＝λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.

4. (选修42P73习题第1题改编)求矩阵M＝[ 1 6－2－6]的特征值．

解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.

5. (选修42P73习题第1题改编)求矩阵N＝3652的特征值及相应的特征向量．

解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，

令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，

- 1 - 逆矩阵计算方法

逆矩阵计算方法是求解矩阵的逆矩阵的一种方法。在矩阵运算中，逆矩阵是一个非常重要的概念，它可以用来解决线性方程组、求解行列式、计算矩阵的特征值等问题。逆矩阵是一个使得原矩阵和它的逆矩阵相乘得到单位矩阵的方阵，它的存在条件是原矩阵必须是一个方阵且其行列式不等于零。

计算逆矩阵的方法有很多种，其中比较常用的有高斯-约旦消元法、伴随矩阵法、初等矩阵法等。高斯-约旦消元法是一种基于行变换的方法，它通过不断进行行变换，将原矩阵化为一个上三角矩阵，再通过反向代入求解的方法，得到逆矩阵。伴随矩阵法和初等矩阵法则是一种基于矩阵变换的方法，它们分别利用伴随矩阵和初等矩阵来求解逆矩阵。

在实际应用中，我们通常使用计算机来进行逆矩阵的计算。现代计算机的运算速度非常快，可以很快地完成逆矩阵的计算。在Matlab等数学软件中，求解矩阵的逆矩阵也非常简单，只需要使用inv()函数即可完成。

需要注意的是，逆矩阵不一定存在，当原矩阵的行列式为零时，逆矩阵不存在。此外，逆矩阵也不一定唯一，存在多个逆矩阵的情况。因此，在实际计算中，我们需要根据具体问题来选择合适的逆矩阵计算方法，并进行精度控制和结果验证。

- 1 - 二阶方阵的逆矩阵的计算

在线性代数中，矩阵是一种经常使用的工具，用于表示线性方程组的系数矩阵或线性变换的矩阵。在矩阵运算中，逆矩阵是一种非常重要的概念。本文将重点讨论二阶方阵的逆矩阵的计算方法。

一、逆矩阵的定义

对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。如果不存在逆矩阵，则称矩阵A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

二、二阶方阵的逆矩阵的计算

对于一个2阶方阵A，其逆矩阵A-1的计算方法如下：

A = [ a11 a12 ]

[ a21 a22 ]

1. 计算矩阵A的行列式：

|A| = a11*a22 - a12*a21

如果|A|≠0，则矩阵A存在逆矩阵，否则不存在逆矩阵。

2. 计算矩阵A的伴随矩阵：

adj(A) = [ a22 -a12 ]

[ -a21 a11 ]

伴随矩阵是由矩阵A的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵。

3. 计算矩阵A的逆矩阵：

A-1 = (1/|A|) * adj(A)

其中，(1/|A|)为矩阵A的行列式的倒数。 - 2 - 例如，对于一个2阶方阵A = [ 1 2 ; 3 4 ]，其逆矩阵的计算过程如下：

|A| = 1*4 - 2*3 = -2

因为|A|≠0，所以矩阵A存在逆矩阵。

adj(A) = [ 4 -2 ]

[ -3 1 ]

A-1 = (1/|A|) * adj(A) = (-1/2) * [ 4 -2 ; -3 1 ] = [ -2

1 ; 3/2 -1/2 ]

因此，矩阵A的逆矩阵为A-1 = [ -2 1 ; 3/2 -1/2 ]。

三、逆矩阵的应用

求逆矩阵的三种方法

求逆矩阵的三种方法

1.待定系数法

待定系数法顾名思义是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

对于这个题来说，左边是题目中的矩阵，右边是假设的三阶矩阵

[1 -4 -3] | [a b c]

[1 -5 -3] | [d e f]

[-1 6 4] | [g h i]

接下来该说说矩阵的乘法，两个矩阵相乘，内部决定可乘与否，外部决定新形状

形如A[3*1]与B[2*3]不可乘，A[3*3]与B[3*1]可乘A*B=C3*1（三行一列的矩阵）

其核心是第一个矩阵第一行的每个数字，各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字，然后乘积相加就可以得到，换句话说，结果矩阵的第M行与第N列交叉的位置的那个值等于第一个矩阵的第M行与第二个矩阵第N列对应位置的每个数字的乘积之和。

过程如下

[a-4d-3g b-4e-3h c-4f-3i ] | [1 0 0]

[a-5d-3g b-5e-3h c-5f-3i ] | [0 1 0]

[-a+6d+4g -b+6d+4g -c+6c+4i ] | [0 0 1]

九个未知数九个方程

a-4d-3g=1 a=2

b-4e-3h=0 b=2

c-4f-3i=0 c=3

a-5d-3g=0 >>> d=1

b-5e-3h=1 >>> e=-1 c-5f-3i=0

>>> f=0

-a+6d+4g=0 g=-1