2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (理科)解析版
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1 2015年高考重庆卷理数试题解析（解析版）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=1,2,3,B=2,3，则 （ ）
A、A=B B、AB= C、AB D、BA
【答案】D
【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.
2．在等差数列na中，若2a=4，4a=2，则6a= （ ）
A、-1 B、0 C、1 D、6
【答案】B
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
3．重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下：
0891258200338312
则这组数据的中位数是 （ ）
A、19 B、20 C、21.5 D、23
【答案】B.
【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.
4．“1x”是“12log(2)0x”的 （ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
2 【考点定位】充分必要条件.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A、13 B、23 C、 123 D、223
【答案】A
【考点定位】组合体的体积.
【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.
6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）
A、4 B、2 C、34 D、
【答案】A
【考点定位】向量的夹角.
7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ）
A、s34 B、s56 C、s1112 D、s1524
3
【答案】C
【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S（此时6k）还必须计算一次，因此可填1112s，选C.
【考点定位】程序框图.
8．已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：224210xyxy的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （ ）
A、2 B、42 C、6 D、210
【答案】C
【考点定位】直线与圆的位置关系.
4
9．若tan2tan5，则3cos()10sin()5 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.
10．设双曲线22221xyab（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、(1,0)(0,1) B、(,1)(1,) C、(2,0)(0,2) D、(,2)(2,)
【答案】A
5 【考点定位】双曲线的性质.
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.
【答案】3
【考点定位】复数的运算.
12．5312xx的展开式中8x的系数是________(用数字作答).
【答案】52
【考点定位】二项式定理
13．在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.
【答案】6
6
【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.
【答案】2
【考点定位】相交弦定理，切割线定理.
15．已知直线l的参数方程为11xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标
7 系，曲线C的极坐标方程为235cos24(0,)44，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
【答案】(2,)
【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.
16．若函数()12fxxxa的最小值为5，则实数a=_______.
【答案】4a或6a
【考点定位】绝对值的性质，分段函数.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
【答案】（1）14；（2）分布列见解析，期望为35．
【解析】
8
383107(X0),15CPC12283107(X1),15CCPC21283101(X2),15CCPC
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
P
715 715 115
故7713E(X)0121515155．
【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．
18．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）
已知函数2sinsin3cos2fxxxx
（1）求fx的最小正周期和最大值；
（2）讨论fx在2,63上的单调性.
【答案】（1）最小正周期为，最大值为232；（2）()fx在5[,]612上单调递增；()fx在52[,]123上单调递减.
【解析】
9
调区间．
【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．
方法进行研究．
19．（本小题满分13分，（1）小问4要，（2）小问9分）
如题（19）图，三棱锥PABC中，PC平面,3,.,2ABCPCACBDE分别为线段,ABBC上的点，且2,22.CDDECEEB
（1）证明：DE平面PCD
（2）求二面角APDC的余弦值。
10
【答案】（1）证明见解析；（2）36.
【解析】
试题解析：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE
由CE＝２，CD=DE＝２得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE
由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD
以Ｃ为坐标原点，分别以CACBCP， ,的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(32,0,0),
Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，ED=(1,-1,0),
(DPDA１=(-1,-1,3),-1,0)２
设平面PAD的法向量111n１＝（x,y,z)，
11 由0nDP１，0nDA１，
得11111130(2,1,1)102xyznxy故可取.
【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．
20．（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）
设函数23xxaxfxaRe
（1）若fx在0x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yfx在点1,1f处的切线方程；
（2）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围。
12 【答案】（1）0a，切线方程为30xey；（2）9[,)2.
【解析】
试题解析：(1)对()fx求导得2226336()xxxxxaexaxexaxafxee
因为()fx在0x处取得极值，所以(0)0f，即0a.
当0a时，23()=,xxfxe236()xxxfxe,故33(1)=,(1)ffee,从而()fx在点1(1)f（，）处的切线方程为33(1)yxee,化简得30xey
(2)由(1)得，236()xxaxafxe,
令2g()36xxaxa
【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
