新湘教版九年级下册数学全册教案

第1章 二次函数

二次函数

【知识与技能】

1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

【过程与方法】

经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

【情感态度】

体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.

【教学重点】

二次函数的概念.

【教学难点】

在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

一、情境导入，初步认识

1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0

2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢有.

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.

三、典例精析，掌握新知

例1 指出下列函数中哪些是二次函数.

(1)y=(x-3)2-x2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x；(5)y=5-x2+x.

【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.

解:(2)(5)是二次函数,其余不是.

【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:

1.将函数化为一般形式.

2.自变量的最高次数是2次.

3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.

例2 讲解教材P3例题.

【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.

例3 已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)(m是常数），当m为何值时:

(1)函数是一次函数;

(2)函数是二次函数.

【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.

解:(1)由200mmm 得010mm或 ,

∴m=1.即当m=1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是一次函数.

(2)由m2-m≠0得m≠0且m≠1,

∴当m≠0且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.

【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.

四、运用新知，深化理解

1.下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2123yxx =3x3+2 C=(x-2)2-x3 D.212yx

2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ）

B.-1 C.2

3.若函数232(3)1kkykxkx 是二次函数，则k的值为（ ）

或3 C.3 D.不确定

4.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 .

5.已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .

6.某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.

7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.

(1)求y关于x的函数关系式；

（2）试求自变量x的取值范围；

（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取，结果精确到十分位）.

【答案】 ≠-2 ,-3,1 6.21122yxx 是

7.（1）y=25-πx2=-πx2+25.

(2)0＜x≤52.

(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×+25=≈.

即剩余部分的面积约为.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数的有关概念.

2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.

1.教材P4第1~3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.

二次函数的图象与性质

第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.

【教学重点】

1.会画y=ax2(a＞0)的图象.

2.理解,掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

一、情境导入，初步认识

问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么二次函数图象是什么形状呢

问题2 如何用描点法画一个函数图象呢

【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线.

二、思考探究，获取新知

探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象. 画二次函数y=ax2的图象.

【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.

②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.

③强调画抛物线的三个误区.

误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.

如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.

误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.

如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.

误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.

如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x2图象的错误画法.

探究2 y=ax2(a＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2, 212yx,y=2x2的图象.

【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质.

【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.

y=ax2(a＞0)图象的性质

1.图象开口向上.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.

3.当x＞0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x＜0时，y随x的增大而减小，简称左降. 三、典例精析，掌握新知

例 已知函数24(2)kkykx是关于x的二次函数.

(1)求k的值.

(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大

【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2＞0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围.

解:(1)由已知得22042kkk ,解得k=2或k=-3.

所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kkykx是关于x的二次函数.

(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.

由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x≥0时，y随x的增大而增大.

四、运用新知，深化理解

1.（广东广州中考）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）

=x2 =x-1 C. 34yx =1x

2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）

＜y2＜y3 ＜y3＜2 C＜y2＜y1 ＜y1＜y3

3.抛物线y=13x2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x≤0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 .

4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.

【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.

【答案】 3.上,(0,0),y轴， 43，±3,减小，增大

4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y