《椭圆及其标准方程》教案
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《椭圆及其标准方程》教案
一、教学目标
1、 知识与技能目标
（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程。
（2）能根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标、焦距等相关量。
2、 过程与方法目标
（1）通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的动手能力和观察分析能力。
（2）通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、 情感态度与价值观目标
（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点
1、 教学重点
（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。 2、 教学难点
（1）椭圆标准方程的推导。
（2）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
三、教学方法
讲授法、探究法、演示法、讨论法
四、教学过程
1、 导入新课
通过展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的赛道等，引出本节课的主题——椭圆。
2、 椭圆的定义
准备一根绳子，将其两端固定在黑板上的两点 F1、F2，用铅笔拉紧绳子，移动铅笔，画出一个封闭的曲线。让学生观察这个曲线的形状，引出椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
强调定义中的关键条件：
（1）平面内。
（2）两个定点。
（3）距离之和为常数且大于焦距。 3、 椭圆的标准方程
（1）建系
以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。
设椭圆的焦距为 2c（c>0），椭圆上任意一点 M 的坐标为(x,y)，焦点 F1、F2 的坐标分别为(c,0)、（c,0)。
（2）推导方程
根据椭圆的定义，｜MF1| ＋ ｜MF2| ＝ 2a（2a ＞ 2c），则：
＼（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋ ＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a\）
移项平方可得：
＼（（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2}）＾2 ＝ （2a ＼sqrt{（x c)＾2
＋ y^2}）＾2\）
展开并整理得：
＼（a^2 cx ＝ a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼）
再平方并整理得：
＼（（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＝ a^2(a^2 c^2)＼）
因为\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（其中 b>0），所以方程可化为：
＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋ ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\） （a>b>0） 这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。
同理，若焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋ ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\） （a>b>0）
（3）方程特点
① 方程形式：左边是两个分式的和，右边是 1。
② 系数关系：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2\） ，a 表示椭圆长半轴的长，b
表示椭圆短半轴的长，c 表示椭圆半焦距的长。
4、 例题讲解
例 1：已知椭圆的方程为\（＼frac{x^2}｛25} ＋ ＼frac{y^2}｛16}
＝ 1\），求其焦点坐标和焦距。
解：因为\（a^2 ＝ 25\），＼（b^2 ＝ 16\），所以\（c^2 ＝ a^2 b^2
＝ 25 16 ＝ 9\），则\（c ＝ 3\）。
焦点坐标为\（（＼pm 3, 0)＼），焦距为\（2c ＝ 6\）。
例 2：根据下列条件，求椭圆的标准方程。
（1）焦点在 x 轴上，焦距为 6，且经过点(0,4)。
（2）焦点在 y 轴上，长轴长为 10，短轴长为 8。
解：（1）因为焦距为 6，所以\（2c ＝ 6\），＼（c ＝ 3\）。
又因为焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为\（＼frac{x^2}｛a^2}
＋ ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\） （a>b>0）。 因为椭圆经过点(0,4)，所以\（b ＝ 4\）。
又因为\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 ＝ 16 ＋ 9 ＝ 25\），所以椭圆的标准方程为\（＼frac{x^2}｛25} ＋ ＼frac{y^2}｛16} ＝ 1\） 。
（2）因为焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为\（＼frac{y^2}｛a^2}
＋ ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\） （a>b>0）。
长轴长为 10，所以\（2a ＝ 10\），＼（a ＝ 5\）。
短轴长为 8，所以\（2b ＝ 8\），＼（b ＝ 4\）。
所以椭圆的标准方程为\（＼frac{y^2}｛25} ＋ ＼frac{x^2}｛16} ＝
1\） 。
5、 课堂练习
（1）已知椭圆的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＋ ＼frac{y^2}｛4} ＝
1\），求其焦点坐标和焦距。
（2）根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 焦点在 x 轴上，长轴长为 8，短轴长为 6。
② 焦点在 y 轴上，焦距为 8，且经过点(3,0)。
6、 课堂小结
（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。 （3）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
7、 布置作业
（1）课本 P___页第 1、2、3 题。
（2）思考：如何根据椭圆的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
五、教学反思
在本节课的教学中，通过让学生动手操作、自主探究，较好地理解了椭圆的定义和标准方程。但在推导标准方程的过程中，部分学生可能会感到困难，在今后的教学中应加强引导和练习。同时，在课堂练习环节，应关注学生的掌握情况，及时进行个别辅导。
以上教案仅供参考，您可以根据实际教学情况进行修改和调整。
