插值与拟合的MATLAB实现

matlab实现插值法和曲线拟合matlab实现插值法和曲线拟合

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下为matlab实现插值法和曲线拟合的全部内容。matlab实现插值法和曲线拟合插值法和曲线拟合

电子科技大学

摘要:理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插,曲线拟合，用matlab编程求解函数,用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟合，用不同曲线拟合数据。关键字：拉格朗日插值多项式;分段线性插值；牛顿前插;曲线拟合引言:

在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很

大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合

对函数进行求解，进一步了解函数性质,两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求

解。正文:

一、插值法和分段线性插值

1拉格朗日多项式原理

对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3]拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。2分段线性插值原理matlab实现插值法和曲线拟合给定区间［a,b], 将其分割成a=x0

函数值为

yk =f（xk)（k=0,1，…,n)求一个分段函数Ih(x)， 使其满足:

Matlab插值法

实验⽬的：

1.Matlab中多项式的表⽰及多项式运算

2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法

3.⽤多项式插值法拟合数据

实验要求：

1.掌握多项式的表⽰和运算

2.拉格朗⽇插值法的实现（参见吕同富版教材）

3.⽜顿插值法的实现（参见吕同富版教材）

实验内容：

1.多项式的表达式和创建；多项式的四则运算、导数与积分。

2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法。

3.⽤多项式插值法拟合数据。

实验步骤：

1.多项式的表达式，MATLAB中使⽤以为向量来表⽰多项式，将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。多项式P(x)的具体表⽰⽅

法：的系数构成向量为：

。⽰例如下：

将向量表⽰的多项式⽤字符串输出的通⽤函数⽰例：

例⼦运⾏⽰例：

多项式的加法：

结果是

多项式乘法：

结果是

多项式除法：

多项式导数：

2.⽤Matlab实现拉格朗⽇，拉格朗⽇代码：

1 function yi=Lagrange(x,y,xi)

2 m=length(x);n=length(y);p=length(xi);

3 if m~=n

4 error('向量x与y的长度必须⼀致');

5 end

6 s=0;

7 for k=1:n

8 t=ones(1,p);

9 for j=1:n

10 if j~=k

11 t=t.*(xi-x(j))./(x(k)-x(j));

12 end

13 end

14 s=s+t.*y(k);

15 end

16 yi=s;

17 end

Lagrange

运⾏⽰例：

⽜顿插值法代码：

1 function yi=newtonint(x,y,xi)

2 m=length(x);n=length(y);

3 if m~=n

4 error('向量x与y的长度必须⼀致');

5 end

6 A=zeros(n);

7 A(:,1)=y;

8 for j=2:n%j为列标

9 for i=1:(n-j+1) %i为⾏标

13. 数据插值与拟合

实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。

1. 如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问题（不需要函数表达式）。

2. 如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。

插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。

因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。

一、 数据插值

根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：

（1）拉格朗日插值（lagrange插值）

（2）分段线性插值

（3）Hermite

（4）三次样条插值

Matlab 插值函数实现：

（1）interp1( ) 一维插值

（2）intep2( ) 二维插值

（3）interp3( ) 三维插值

（4）intern( ) n维插值

1. 一维插值（自变量是1维数据）

语法： yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’)

其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。

注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围；

（2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值； 默认为分段线性插值。

例1 从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．试估计每隔1/10小时的温度值。

matlab插值与拟合

在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。

插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。

拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y,

n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。

需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。