线性回归与相关分析
一、引言
线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。
二、线性回归
线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。
线性回归的应用场景非常广泛。例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。线性回归还可以用于预测未来趋势。通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。
在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。此外，我们还可以借助评价指标如R平方来衡量模型的拟合程度。
三、相关分析
相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。与皮尔逊相关系数相比，斯皮尔曼相关系数对异常值的影响较小，更适用于非线性关系的测量。
分行编号不良贷款(亿元）各项贷款余额（亿元）本年累计应收贷款（亿元）贷款项目个数（个）10.967.36.8521.1111.319.81634.8173.07.71743.280.87.21057.8199.716.51962.716.22.2171.6107.410.717812.5185.427.11891.096.11.710102.672.89.114110.364.22.111124.0132.211.223130.858.66.014143.5174.612.7261510.2263.515.634163.079.38.915170.214.80.62180.473.55.911191.024.75.04206.8139.47.2282111.6368.216.832221.695.73.810231.2109.610.314247.2196.215.816253.2102.212.010本年固定资产投资额（亿元）51.9不良贷款贷款余额应收贷款贷款项目90.9不良贷款173.7贷款余额0.843571114.5应收贷款0.7315050.678772163.2贷款项目0.7002810.8484160.58583112.2固定投资0.5185180.7797020.4724310.74664620.243.855.964.342.776.722.8117.1146.729.942.125.313.464.3163.944.567.939.7SUMMARY OUTPUT97.1回归统计Multiple R0.843571R Square0.711613Adjusted R 0.699074标准误差1.979948观测值25方差分析dfSSMSF回归分析1222.486222.48656.75384残差2390.164423.920192总计24312.6504Coefficients标准误差t StatP-valueIntercept-0.829520.723043-1.147260.263068X Variable 0.0378950.00503
第八章相关与回归分析
“回归分析”的起源
“回归”是由英国著名生物学家兼统计
学家高尔顿(Galton)在研究人类遗传问题时
提出来的。为了研究父代与子代身高的关系，
高尔顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数
据。他发现这些数据的散点图大致呈直线
状态，也就是说，当父母越高或越矮时，子
女的身高会比一般儿童高或矮，他将子女与
父母身高的这种现象拟合出一种线形关系，
分析出子女的身高y与父母的身高x大致可归
结为以下关系：
y=33.73+0.516*x (单位：英寸)
有趣的是，通过观察，高尔顿还注
意到，尽管这是一种拟合较好的线形关
系，但仍然存在例外现象:矮个父母所生
的子女比其父母要高，身材较高的父母
所生子女的身高却回降到其家族的平均
身高。换句话说，当父母身高走向极端，
子女的身高不会象父母身高那样极端
化，其身高要比父母们的身高更接近平
均水平，即有“回归”到平均数的趋势，
这就是统计学上最初出现“回归”时的
涵义，高尔顿把这一现象叫做“向平均
数方向的回归”。
本章内容
第一节相关分析
第二节一元线性回归
第一节相关分析
1.函数关系
即：客观现象之间存在的相互依存的确定性
的数量关系。（一一对应的确定关系）
特征：在这个关系中，当中一个或多个表述
现象的数量（自变量）发生变化时，另一个
表述现象的数量（因变量）按照一定的规律
有确定的数值与之对应，可以用数学表达式
描述这种关系。
例：圆的面积与半径的关系、价格一定时，商
品销售额与销售量的关系……一、函数关系与相关关系2.相关关系
(1)概念:相关关系是指经济现象之间客观存
在的在数量上不是确定性的对应关系。
特征:某一现象或多个现象与另一有联系的现
象之间在数量上存在着一定的依存关系，但
不是确定和严格的数量关系。
例:居民的月可支配收入和消费支出的关系、
子女身高与父母身高之间的关系、人的收入
水平与受教育程度之间的关系……
二、相关关系的种类
按相关方向
正相关负相关
按相关的形式
线性相关非线性相关
按相关的程度
完全相关不完全相关不相关
第八章 相关分析与回归分析
一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。)
1．根据散点图8-1，可以判断两个变量之间存在( )。
A．正线性相关关系 B．负线性相关关系
C．非线性关系 D．函数关系
[答案] A
2．假设某品牌的笔记本市场需求只与消费者的收入水平和该笔记本的市场价格水平有关。则在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的相关关系就是一种( )。
A．单相关 B．复相关 C．偏相关 D．函数关系
[答案] C
[解析] 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的关系就是一种偏相关。
3．相关图又称( )。
A．散布表 B．折线图 C．散点图 D．曲线图
[答案] C
[解析] 相关图又称散点图，是指把相关表中的原始对应数值在乎面直角坐标系中用坐标点描绘出来的图形。
4．下列相关系数取值中错误的是( )。
A．-0.86 B．0.78 C．1.25 D．0
[答案] C
[解析] 相关系数r的取值介于-1与1之间。
5．如果相关系数r=0，则表明两个变量之间( )。
A．相关程度很低 B．不存在任何关系
C．不存在线性相关关系 D．存在非线性相关关系
[答案] C
[解析] 相关系数r是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。如果相关系数r=0，说明两个变量之间不存在线性相关关系。
6．当所有观测值都落在回归直线上，则两个变量之间的相关系数为( )。
