圆周运动绳杆模型

圆周　

冯春芳　

物体在竖直平面内做的圆周运动是一种　

（１）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支　

一、绳模型　

１．在最低点　，，，一～、、　

篓　、、　Ｇ　绳的拉力．由牛顿第　、、（Ｉ）／　、ｉ／　二定律得

：向心力由　…　重力　和拉力Ｆ　图　

—ｍｇ＝ｍ　得：Ｆ：ｍｇ＋ｍ　

力（轨道弹力）．如图２所示可知小球做圆周　运动的向心力由重力ｍｇ和拉力Ｆ（轨道弹　

图２　Ｆ＋ｍｇ＝ｍ　越大，所需的向心力越大，重力不变，　因此拉力（弹力）就越大；反过来，　越小，所　需的向心力越小，重力不变，因此拉力（弹　力）也就越小．如果　不断减小，那么绳的拉　力（弹力）就不断减小，在某时刻绳的拉力Ｆ　就会减小到０，这时小球的向心力最小Ｆ由＝　ｍｇ，这时只有重力提供向心力．　（１）小球能过最高点的临界条件：绳子　（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重　力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最　高点．　２　ｍｇ＝ｍ　界＝　Ｒｇ　ｍ　Ｉ临界　￣／　（２）小球能过最高点条件：　≥　心　当　＞　时，绳对球产生拉力或轨道　对球产生压力，向心力由重力和弹力共同　提供．　（３）不能过最高点条件：　＜　实际上球还没有到最高点时，就脱离了　轨道．　

向心力由重力ｍｇ和拉力Ｆ的合力提供，由　２　牛顿第二定律得：Ｆ—ｍｇ＝ｍ　

Ｎｅ“，Ｕｎｉｅｃｒｓｉｔｙ￣－：　ｆ　（：ｃ￣Ｌ：＃．ａｍｉＨａ　

一　在最低点情况和绳模型一样　２．在最高点时，　我们对小球受力分析　如图４，杆的弹力　有可能是拉力，也可　能是支持力．　（１）若杆的作用　力为支持力　受力分析：小球　受竖直向下的重力和　竖直向上的支持力，　见图５，则　ｎ　２　ｍｇ一，　ｍ　／／，．　’＼ｌ　＼　ｒ　Ｊ　、　Ｊ　Ｉ　ｌ　

图６　▲Ｆ　Ｉ　

图５　

（２）若杆的作用力为拉力；　受力分析：小球受竖直向下的重力和竖　直向下的拉力，见图６，则　２　ｍｇ＋Ｆ＝ｍ　（３）若杆的作用力为零时，小球仅受竖　．．２　直向下的重力，则ｍｇ＝ｍ　（４）小球在最高点速度为零时，杆的支　ｊｊ　

圆周运动绳杆模型

1 圆周运动中的临界问题

一.两种模型:

(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg＝mrv2，这时的速度是做圆周运动的最小速度vmin＝ .

（绳只能提供拉力不能提供支持力).

类此模型:竖直平面内的内轨道

(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。 （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。）

①当v＝0 时，杆对小球的支持力

小球的重力；

②当0〈v

③当v＝gr 时,杆对小球的支持力 于零；

④当v>gr 时,杆对小球提供 力.

类此模型：竖直平面内的管轨道。

1、圆周运动中绳模型的应用

【例题1】长L＝0.5m的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m＝0.5Kg的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v＝3m/s，水对筒底的压力多大？

【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑,到半径为r的圆形轨道最高点

B时恰好对轨道无压力。求在圆形轨道最高点B时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0．5 kg，绳长l=60cm，求：

(1）最高点水不流出的最小速率。 （2)水在最高点速率v＝3 m／s时，水对桶底的压力．

2、圆周运动中的杆模型的应用

【例题2】一根长l＝0.625 m的细杆,一端拴一质量m=0。4 kg的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：

（1)小球通过最高点时的最小速度；

（2）若小球以速度v1=3。0m／s通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?

1竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型球-绳模型【知识点精讲】球-绳模型实例球与绳连接在竖直面内圆周运动球沿竖直面圆周内轨道运动图示最高点无支撑最高点无支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mg+FN=mv2r临界特征FN=0，vmin=gr过最高点条件v≥gr速度和弹力关系讨论分析　①恰好过最高点时，v=gr，mg=mv2r，FN=0，绳、轨道对球无弹力②能过最高点时，v≥gr，FN+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN③不能过最高点时，v4gR，小球就能做完整的圆周运动D.只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v0无关7现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着一个可视为质点且质量为1kg的小球，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g=10m/s2，则()A.小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力大小为30NB.小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为0C.小球以1m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为7.5ND.小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时所经历的时间为35s8(2022年浙江台州联考)跳绳过程中，甲、乙两位同学握住绳子两端A、B近似不动，绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则质点A.P、Q的速度方向沿绳子切线B.P的线速度小于Q的线速度C.P的角速度小于Q的角速度D.P、Q的合外力方向指向AB的中点O9(2022山西大同一中模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度Ω转动,圆筒的半径r=1.5m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10m/s2,则Ω的最小值是()5A.1rad/sB.303rad/sC.10rad/sD.5rad/s10(2023江苏连云港期中)如图为杂技演员进行摩托车表演的轨道，它由倾斜直线轨道AB、圆弧形轨道BCD、半圆形轨道DE、水平轨道EF组成，已知轨道AB的倾角θ=37°，A、B间高度差H=12m，轨道BCD的半径R=4.8m，轨道DE的半径r=2.4m，轨道最低点C距水平地面高度差h=0.2m，在轨道AB上运动时摩托车(含人)受到的阻力为正压力的0.2倍，其余阻力均不计。表演者从A点驾驶摩托车由静止开始沿轨道AB运动，接着沿轨道BCDEF运动，然后从F点离开轨道，最后落到地面上的G点。已知摩托车功率P恒为2×103W，发动机工作时间由表演者控制，表演者与摩托车总质量m=100kg，表演者与摩托车可视为质点。cos37°=0.8(1)某次表演中，通过C点时摩托车对轨道的压力为6000N，求经过C点的速度vC；(2)满足(1)中的条件下，求摩托车发动机的工作时间t；(3)已知“受力因子k”等于表演者与摩托车整体承受的压力除以整体的重力，在k≤8条件下表演者是安全的，求能在安全完成完整表演的情况下，表演者落点G点与F点的水平距离的可能值。11(20分)在学校组织的趣味运动会上，某科技小组为大家提供了一个寓学于乐的游戏．如图所示，将一质量为0.1kg的钢球放在O点，用弹射装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA和AB运动，BC段为一段长为L=2.0m的粗糙平面，DEFG为接球槽．圆弧OA和AB的半径分别为r=0.2m，R=0.4m，钢球与BC段的动摩擦因数为μ=0.7，C点离接球槽的高度为h=1.25m，到接球槽的水平距离为x=0.5m，接球槽足够大，g取10m/s2.求：(1)要使钢球恰好不脱离圆弧轨道，钢球在A点的速度大小和在B位置对半圆轨道的压力大小；(2)要使钢球不脱离圆弧轨道最终能落入槽中，弹射速度v0的最小值．

1 第二章 圆周运动

解题模型：

一、水平方向的圆盘模型

1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：

（1）当转盘的角速度12gr时，细绳的拉力FT1。

（2）当转盘的角速度232gr时，细绳的拉力FT2。

图2.01

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为0，则mgmr02，解得0gr。

（1）因为102gr，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即FT10。

（2）因为2032gr，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，由牛顿的第二定律得：FmgmrT222，解得FmgT22。

2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为mkgA2，离轴心rcm120，B的质量为mkgB1，离轴心 2 rcm210，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：

（1）当圆盘转动的角速度0为多少时，细线上开始出现张力？

（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（gms102/）

图2.02

解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，Fmr2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而rr12，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB间绳子开始受到拉力。

由Fmrfm1022，得：011111055Fmrmgmrradsfm./

（2）达到0后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为1，绳中张力为FT，对A、B受力分析：