线面垂直公开课2016
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线面垂直的判定定理公开课9.15ppt课件
整理版课件
28
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线面垂直
整理版课件
23
例题示范,巩固新知
例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并 说明这些直线有怎样的位置关系？
D′ A′
C′ B′
D
C
A
B
整理版课件
24
典型例题
例2 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
因为直线 a，
根据直线与平面垂直的定义知 m am,an.
V
求 V证 B AC
练习2.如图,PA垂直于圆O所在面,AB
A
DC
P
是圆O的直径,C是圆周上一点,那么图
中有几个直角三角形?
B
答案：４个
O
B
A
C
课堂小结．
1．直线与平面垂直的定义 2．直线与平面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
又因为 b//a
所以 bm,bn.
又 m ,n ,m ,n 是两条相交直线，
所以 b.
整理版课件
b
n
25
例3.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,
满足MA=MC,求证:AC平面 BDM M
整理版课件
D
C
O
A
B
26
巩固运用．
练习2 1.如 ,在 图三 V A 棱 中 B ,V C 锥 A V,A C B B
20
直线与平面垂直的判定公开课优质课课件
直线与平面垂直的判定公开课优质 课课件
目录
• 引言 • 直线与平面垂直的定义与性质 • 判定方法及其应用场景 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动环节 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
介绍直线与平面垂直的基本概念， 以及其在几何学、工程学等领域的 应用。
课程目标
通过本课程的学习，使学生掌握直 线与平面垂直的判定方法，理解其 几何意义，并能够在实际问题中加 以应用。
符号表示
如果直线 $l$ 与平面 $alpha$ 垂直， 记作 $l perp alpha$。
直线与平面垂直的性质
性质一
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线上的 任意一点到这个平面的距 离都是相等的。
性质二
如果两条直线都与同一个 平面垂直，那么这两条直 线平行。
性质三
如果一条直线与一个平面 垂直，那么过这条直线的 任意平面都与这个平面垂 直。
典型例题解析 回顾课程中的典型例题，通过解析例题的解题思 路和步骤，加深对直线与平面垂直判定的理解。
学生学习成果展示
学生优秀作业展示
选取部分学生的优秀作业进行展 示，让学生互相学习、借鉴优秀
的解题思路和方法。
学生课堂表现评价
对学生在课堂上的表现进行评价， 肯定学生的积极参与和进步，鼓励 学生继续努力。
05
课堂互动环节
学生提问与讨论
学生可以提出关于直线与平面垂 直的定义、性质、判定方法等方
面的问题。
学生可以就直线与平面垂直在实 际生活中的应用进行讨论，例如
建筑、工程等领域中的实例。
学生可以分享自己对于直线与平 面垂直的理解和学习心得，促进
课堂交流和互动。
目录
• 引言 • 直线与平面垂直的定义与性质 • 判定方法及其应用场景 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动环节 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
介绍直线与平面垂直的基本概念， 以及其在几何学、工程学等领域的 应用。
课程目标
通过本课程的学习，使学生掌握直 线与平面垂直的判定方法，理解其 几何意义，并能够在实际问题中加 以应用。
符号表示
如果直线 $l$ 与平面 $alpha$ 垂直， 记作 $l perp alpha$。
直线与平面垂直的性质
性质一
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线上的 任意一点到这个平面的距 离都是相等的。
性质二
如果两条直线都与同一个 平面垂直，那么这两条直 线平行。
性质三
如果一条直线与一个平面 垂直，那么过这条直线的 任意平面都与这个平面垂 直。
典型例题解析 回顾课程中的典型例题，通过解析例题的解题思 路和步骤，加深对直线与平面垂直判定的理解。
学生学习成果展示
学生优秀作业展示
选取部分学生的优秀作业进行展 示，让学生互相学习、借鉴优秀
的解题思路和方法。
学生课堂表现评价
对学生在课堂上的表现进行评价， 肯定学生的积极参与和进步，鼓励 学生继续努力。
05
课堂互动环节
学生提问与讨论
学生可以提出关于直线与平面垂 直的定义、性质、判定方法等方
面的问题。
学生可以就直线与平面垂直在实 际生活中的应用进行讨论，例如
建筑、工程等领域中的实例。
学生可以分享自己对于直线与平 面垂直的理解和学习心得，促进
课堂交流和互动。
线面垂直的性质(公开课)
l1 1 2 l3 a A b l2
1 2 分析法：
证明：a b A, 故设a与b确定的平面为 .
l1 a, l1 b; l2 a, l2 b
l1与l2垂直同一平面（ a与b构成的面）
l1 // l2
a , b
l1 a, l1 b l1 .同理l2 .
a AC, a AB l AC, l BC AC AC , BC
a // l.
l AC, l BC l 面ABC 又 a , AC a AC 又a AB, AB AC A a 面ABC
2.3.3直线与平面垂直的性质
学习目标
1.探索并理解线面垂直的性质定理。 2.掌握线面垂直的性质定理，并能 运用定理进行证明与计算。 3.体验自己作为发现者、探索者的 过程。
自主探究
动手并思考：
准备一本书和两支笔，让这两支笔 垂直于书面。你发现这两支笔是什么位置 关系？
平行
合作探究
请与你的同桌一起动手并讨论： 准备两本书和两支笔，这两本书不平 行，让这两支笔分别垂直于一个书面。你 还能得到同样的结论吗？ 得到该结论的条件是： 必要垂直同一本书.
a α
性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.
b
图像语言：
例题讲解
例1.线段AB在平面α的同侧，A、B到平 面α的距离分别为3和5，则AB的中点到平 4 面α的距离是
B A
E
C
F
D α
例题讲解
l1 , l2 是 a , b 是两条相交直线， 例2.如图， 与 a , b都垂直的两条直线，且直线 l3 与l1 , l2 1 2. 都相交，求证：
1 2 分析法：
证明：a b A, 故设a与b确定的平面为 .
l1 a, l1 b; l2 a, l2 b
l1与l2垂直同一平面（ a与b构成的面）
l1 // l2
a , b
l1 a, l1 b l1 .同理l2 .
a AC, a AB l AC, l BC AC AC , BC
a // l.
l AC, l BC l 面ABC 又 a , AC a AC 又a AB, AB AC A a 面ABC
2.3.3直线与平面垂直的性质
学习目标
1.探索并理解线面垂直的性质定理。 2.掌握线面垂直的性质定理，并能 运用定理进行证明与计算。 3.体验自己作为发现者、探索者的 过程。
自主探究
动手并思考：
准备一本书和两支笔，让这两支笔 垂直于书面。你发现这两支笔是什么位置 关系？
平行
合作探究
请与你的同桌一起动手并讨论： 准备两本书和两支笔，这两本书不平 行，让这两支笔分别垂直于一个书面。你 还能得到同样的结论吗？ 得到该结论的条件是： 必要垂直同一本书.
a α
性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.
b
图像语言：
例题讲解
例1.线段AB在平面α的同侧，A、B到平 面α的距离分别为3和5，则AB的中点到平 4 面α的距离是
B A
E
C
F
D α
例题讲解
l1 , l2 是 a , b 是两条相交直线， 例2.如图， 与 a , b都垂直的两条直线，且直线 l3 与l1 , l2 1 2. 都相交，求证：
直线与平面垂直的判定(公开课) ppt课件
3、如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 写出图中所有的 直角三角形。
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
20
PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
14
三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
19
六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
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PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
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三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
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六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
线面垂直的判定定理ppt课件
A
A
l
A
C
D
B
P
DC
C
B
D
C
BD B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
ABC 过
的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于
桌面接触）
11
;.
建构数学
2、线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
形的第三边.(
)
E
2.已知: CD, EA 于 A,
求证: EB 于 B ,如图所示。
A
CD AB
D
B
14
C ;.
找出几何体(正方体一角)中的线面垂直关系.
找一找
AC ⊥面BCD BC⊥面ACD DC⊥面ABC BD⊥面ACE
15
A
C E
B
D ;.
总结反思:
1、线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与 这个平面相互垂直。
a面ABC
C
A
B
BC 面 ABC
13
;.
变式练习:
1 判断下列命题是否正确:
(1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于
平行四边形所在的平面.( )
(2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直线垂直于梯形所在的
平面.( )
(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角
想一想b1c1如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直我们说直线l与平面互相垂直平面的垂线垂足直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义建构数学和一个平面内的无数条直线都垂直则直线和平面互相垂直线线垂直线面垂直abab垂直于平面则直线垂直于平面中的任意一条直线定义判定定义性质过空间一点有几条直线和已知平面垂直
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
线面垂直优秀课件(含动画)
a
b
α
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？ 师生活动：请同学们准备一 块三角形的纸片，我们一起 来做如图所示的试验：过 △ABC的顶点A翻折纸片， A 得到折痕AD，将翻折后的 A 纸片竖起放置在桌面上 （BD、DC与桌面接触）， B D 问:折痕AD与桌面垂直吗？ 如何翻折才能保证折痕 C B D AD C 与桌面所在平面垂直？
l m
P
n
线面垂直
,
例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
D1 A1 B1 C1
(1)请列举与平面ABCD垂直 的直线 ；
D
(2)请列举与直线A1A垂直的 平面 ； C
B
A
(3)你还能找出一条与平面 D1DBB1垂直的 如图，已知 a // b, a ，求证：
C C1
α
B
B1
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B B1 C1 C
直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
b
α
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？ 师生活动：请同学们准备一 块三角形的纸片，我们一起 来做如图所示的试验：过 △ABC的顶点A翻折纸片， A 得到折痕AD，将翻折后的 A 纸片竖起放置在桌面上 （BD、DC与桌面接触）， B D 问:折痕AD与桌面垂直吗？ 如何翻折才能保证折痕 C B D AD C 与桌面所在平面垂直？
l m
P
n
线面垂直
,
例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
D1 A1 B1 C1
(1)请列举与平面ABCD垂直 的直线 ；
D
(2)请列举与直线A1A垂直的 平面 ； C
B
A
(3)你还能找出一条与平面 D1DBB1垂直的 如图，已知 a // b, a ，求证：
C C1
α
B
B1
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B B1 C1 C
直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
【公开课课件】线面垂直的判定
线面垂直的判定
问题讨论（一）线面垂直的概念
1、竖立的旗杆与地面的位置关系给人以 什么感觉？
一、线面垂直的概念
如果一条直线和平面内的任意一条直线都 垂直，则称这条直线和这个平面垂直.其中 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 .交点叫做垂足.
l
α
A
l 为垂线 记作l α 为垂面 A为垂足
符号表示？
lm ln m l n m n B
l
m
n
思考：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条与该平面的位置关系？
a // b 符号表示：
b a
a
b m
α
n
思考：
a 符号表示： a // b b
问题讨论（二）线面垂直的判定
1、若直线 l 与平面α 内的一条直 线垂直，能保证 l 吗？
l
2、若直线 l 与平面α 内的两条直 线垂直，能保证 l 吗？
l
l
二（一）直线和平面垂直的判定定理（1）
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
垂直于同一平面的两直线位置关系？
a
b
α
已知：ABCD-A’B’C’D’是正方体
求证：AC⊥面BD’
变式练习：已知：ABCD-A’B’C’D’是正方 体 D ’ 求证：AC⊥BD’ A’ 探究P66
C’ B’ C
D A
B
练习题 1、如图, AB是圆的直径， PA⊥圆面， 点C在圆上 求证: BC⊥平面PAC P
C
A
B
C 变 :已知 PA 平面ABC ， AB 是⊙ O 的直径， PC CB ． O 上的任一点，求证： 是⊙
问题讨论（一）线面垂直的概念
1、竖立的旗杆与地面的位置关系给人以 什么感觉？
一、线面垂直的概念
如果一条直线和平面内的任意一条直线都 垂直，则称这条直线和这个平面垂直.其中 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 .交点叫做垂足.
l
α
A
l 为垂线 记作l α 为垂面 A为垂足
符号表示？
lm ln m l n m n B
l
m
n
思考：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条与该平面的位置关系？
a // b 符号表示：
b a
a
b m
α
n
思考：
a 符号表示： a // b b
问题讨论（二）线面垂直的判定
1、若直线 l 与平面α 内的一条直 线垂直，能保证 l 吗？
l
2、若直线 l 与平面α 内的两条直 线垂直，能保证 l 吗？
l
l
二（一）直线和平面垂直的判定定理（1）
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
垂直于同一平面的两直线位置关系？
a
b
α
已知：ABCD-A’B’C’D’是正方体
求证：AC⊥面BD’
变式练习：已知：ABCD-A’B’C’D’是正方 体 D ’ 求证：AC⊥BD’ A’ 探究P66
C’ B’ C
D A
B
练习题 1、如图, AB是圆的直径， PA⊥圆面， 点C在圆上 求证: BC⊥平面PAC P
C
A
B
C 变 :已知 PA 平面ABC ， AB 是⊙ O 的直径， PC CB ． O 上的任一点，求证： 是⊙
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件
β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直 问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理： 问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解 例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述： 如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究： 问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m
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垂直，能否得到 l ⊥α ？
思考：空间中 m∥n,m ⊥ l⇒ n⊥ l 是否正确？
思考： A1A与BD垂直吗？
A1A与过BD平面α 垂直吗？ A1C1与BD垂直吗？
A1C1与过BD平面α 垂直吗？
α
探究2：直线 l与平面α 内两条直线垂 直，能否得到l ⊥α ？ 平面内两条直线关系：平行、相交
思考：A1C1与BD、EF垂直吗？ A1C1与过BD、EF平面α 垂直吗？ A1A与AB、AD垂直吗？ A1A与过AB、AD平面α 垂直吗？ 如果直线 l 与平面α 内两条相交直线垂直，则l ⊥α .
直线与平面垂直的判定
河南省实验中学 宋苗珂
生活中的线面垂直
直线与平面垂直的定义
文字语言： 如果一条直线 l 和一个平面α 内的任意一条直线都垂
直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记做 l ⊥α
符号语言： 任意 m⊂ α ，l ⊥m 图形语言：
⇒ l ⊥α
α 叫做 l 的垂面
相关概念： l 叫做α 的垂线 法线
在的平面；
若直线垂直于平面，则平面垂直与平面内任意直线； 若直线不垂直于平面，则平面内没有与该直线垂直的直线； 若直线不垂直于平面，则平面内有无数条直线与该垂直。
例题 三棱锥V-ABC中，VA=VC , AB=BC,K是AC的中点.
V
求证： VB⊥ AC （ 1）求证： AC ⊥平面VKB （2）求证：VB⊥AC 线线垂直
直线与平面垂直的判定定理延伸
思考2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平
面，那么它是否也垂直于另一个平面？
问题转化： α∥β 推论2： α∥β
，l ⊥ α ⇒ l ⊥ β
α
l
，l ⊥ α ⇒ l ⊥ β
β
快速判断
若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； 如果直线与平面内某一条直线不垂直，则该直线与平面不垂直； 若直线与一个三角形的两边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面； 若一条直线与一个平行四边形的两边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所
（2）求证： AE⊥平面PBC 线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的判定定理
定义 判定定理 推论1 线面垂直 推论2
性质 线面垂直 线线垂直 线面垂直
空间到平面
无限到有限
线线垂直
本课结束
符号语言：
a⊂α b⊂α a∩b＝P
l⊥a l⊥b
图形语言：
l
⇒ l⊥α
b
A
a
线线垂直
线面垂直
空间到平面 无限到有限
直线与平面垂直的判定定理延伸
思考1：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，
那么另一条直线是否也垂直于这个平面？
问题转化： a∥b 推论1： a∥b
，a⊥α ⇒ b ⊥α
，a⊥α ⇒ b ⊥α
A
K
B
C
证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，进而得 到线线垂直是我们以后证明线线垂直常用的重要方法
线面垂直
变式 如图，已知 PA ⊥圆 O 所 思考：是否存在四个面均是直 在平面， AB 为圆 O 的直径， C 角三角形的四面体？ 是圆周上的任意一点，过 A 作
AE ⊥PC于E. 能否借本题中的四面体 P-ABC （ 1 ） 求证： BC ⊥平面 PAC 说明？
l与α 的交点P叫做垂足
思考：能否在题目中用定义判定线面垂直？ 为什么？
“任意一条”操作性不强 回顾: 线面平行，面面平行问题的解决思路是什么？
转化为线线平行问题！ 空间到平面 无限到有限 思考：类比平行问题，如何将线面垂直问题转化？
转化为线线垂直问题！从l与平面α 内直线垂直入手！
探究1：直线 l 与平面α 内一条直线
α
E F
探究3：直线 l与平面α 内三条直线
垂直，能否得到l ⊥α ？ 四条呢？
无数条呢？ 思考：A1C1与BD、EF、GH垂直吗? A1C1与过BD、EF、GH 的
E G F H
平面α 垂直吗？
线不在多，相交则行!
直线与平面垂直的判定定理
文字语言： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直．
思考：空间中 m∥n,m ⊥ l⇒ n⊥ l 是否正确？
思考： A1A与BD垂直吗？
A1A与过BD平面α 垂直吗？ A1C1与BD垂直吗？
A1C1与过BD平面α 垂直吗？
α
探究2：直线 l与平面α 内两条直线垂 直，能否得到l ⊥α ？ 平面内两条直线关系：平行、相交
思考：A1C1与BD、EF垂直吗？ A1C1与过BD、EF平面α 垂直吗？ A1A与AB、AD垂直吗？ A1A与过AB、AD平面α 垂直吗？ 如果直线 l 与平面α 内两条相交直线垂直，则l ⊥α .
直线与平面垂直的判定
河南省实验中学 宋苗珂
生活中的线面垂直
直线与平面垂直的定义
文字语言： 如果一条直线 l 和一个平面α 内的任意一条直线都垂
直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记做 l ⊥α
符号语言： 任意 m⊂ α ，l ⊥m 图形语言：
⇒ l ⊥α
α 叫做 l 的垂面
相关概念： l 叫做α 的垂线 法线
在的平面；
若直线垂直于平面，则平面垂直与平面内任意直线； 若直线不垂直于平面，则平面内没有与该直线垂直的直线； 若直线不垂直于平面，则平面内有无数条直线与该垂直。
例题 三棱锥V-ABC中，VA=VC , AB=BC,K是AC的中点.
V
求证： VB⊥ AC （ 1）求证： AC ⊥平面VKB （2）求证：VB⊥AC 线线垂直
直线与平面垂直的判定定理延伸
思考2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平
面，那么它是否也垂直于另一个平面？
问题转化： α∥β 推论2： α∥β
，l ⊥ α ⇒ l ⊥ β
α
l
，l ⊥ α ⇒ l ⊥ β
β
快速判断
若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； 如果直线与平面内某一条直线不垂直，则该直线与平面不垂直； 若直线与一个三角形的两边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面； 若一条直线与一个平行四边形的两边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所
（2）求证： AE⊥平面PBC 线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的判定定理
定义 判定定理 推论1 线面垂直 推论2
性质 线面垂直 线线垂直 线面垂直
空间到平面
无限到有限
线线垂直
本课结束
符号语言：
a⊂α b⊂α a∩b＝P
l⊥a l⊥b
图形语言：
l
⇒ l⊥α
b
A
a
线线垂直
线面垂直
空间到平面 无限到有限
直线与平面垂直的判定定理延伸
思考1：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，
那么另一条直线是否也垂直于这个平面？
问题转化： a∥b 推论1： a∥b
，a⊥α ⇒ b ⊥α
，a⊥α ⇒ b ⊥α
A
K
B
C
证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，进而得 到线线垂直是我们以后证明线线垂直常用的重要方法
线面垂直
变式 如图，已知 PA ⊥圆 O 所 思考：是否存在四个面均是直 在平面， AB 为圆 O 的直径， C 角三角形的四面体？ 是圆周上的任意一点，过 A 作
AE ⊥PC于E. 能否借本题中的四面体 P-ABC （ 1 ） 求证： BC ⊥平面 PAC 说明？
l与α 的交点P叫做垂足
思考：能否在题目中用定义判定线面垂直？ 为什么？
“任意一条”操作性不强 回顾: 线面平行，面面平行问题的解决思路是什么？
转化为线线平行问题！ 空间到平面 无限到有限 思考：类比平行问题，如何将线面垂直问题转化？
转化为线线垂直问题！从l与平面α 内直线垂直入手！
探究1：直线 l 与平面α 内一条直线
α
E F
探究3：直线 l与平面α 内三条直线
垂直，能否得到l ⊥α ？ 四条呢？
无数条呢？ 思考：A1C1与BD、EF、GH垂直吗? A1C1与过BD、EF、GH 的
E G F H
平面α 垂直吗？
线不在多，相交则行!
直线与平面垂直的判定定理
文字语言： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直．