高一数学实数与向量的积人教版知识精讲

高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：向量、向量的加法与减法，实数与向量的积二. 本周教学重、难点：1. 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运算律，共线向量的充要条件，平面向量基本定理。

2. 难点：向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对共线向量，平面向量基本定理的理解。

【典型例题】[例1] 判断下列各命题是否正确（1=则=（2）若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。

（3）若=，=则=（4）两向量、相等的充要条件是⎪⎩⎨=//（5=是=的必要不充分条件（6）CDAB=的充要条件是A与C重合，B与D重合解：（1）不正确（2）正确（3）正确（4）不正确[例∴ KL ∥AC 且AC KL 21=∴ KL 与AC 同向，且AC KL 21= 同理可证：NM 与AC 同向且AC NM 21=∴ KL 与NM 同向，且NM KL = ∴ NM KL =[例3] 如图，在ABC ∆中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列三式。

（1）EA CE BC ++ （2）EA AB OE ++ （3）DC FE AB ++ABCDEFO解：（1）BA EA BE EA CE BC =+=++（2）OB AB OA AB EA OE EA AB OE =+=++=++)( 或原式OB EB OE AB EA OE =+=++=)(（3）AC DC AD DC BD AB DC FE AB =+=++=++[例4] 已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若a AB =，b BC =，c OD =，证明：OB b a c =-+。

证明：CB AB OD BC AB OD b a c ++=-+=-+在ABCD 中，=，则=+=+∴ OB DB OD b a c =+=-+[例5] 设1e 、2e 是两个不共线的非零向量，若向量2123e e -=，2142e e +-=，2142e e --=，试证：A 、C 、D 三点共线。

●备课资料1.错例分析［例1］判断向量a ＝－2e 与b ＝2e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：解：∵a ＝－2e ，b ＝2e ，∴b ＝－a ， ∴a 与b 共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然a ＝0，b ＝0，此时，a 不符合定理中的条件，且使b ＝λa 成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b ＝λa 成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下： 解：(1)当e ＝0时， 则a ＝－2e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a 与b 共线. (2)当e ≠0时，则a ＝－2e ≠0，b ＝2e ≠0∴b ＝－a (这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b ＝λa 成立)∴a 与b 共线.综合(1)、(2)可知，a 与b 共线. 2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简单.［例2］如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC .证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以＝21，＝21，＝－＝21－21＝21(－) ＝21. 因此，NM ＝21BC 且MN ∥BC . 3.0与任一向量共线［例3］下列说法正确的是( )(1)a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；(2)a 与b 共线，b 与c 不共线，则a 与c 不共线； (3)a 与b 不共线，b 与c 不共线，则a 与c 不共线. 分析：以上说法皆是错误的.(1)若b =0，a 与c 是非零向量，则结论不正确. (2)若a =0，则a 与c 共线.(3)如a =2c ，任一非零向量b 若与a 不共线，则与c 不共线，但a 与c 共线. 4.共线向量的充要条件的推广定理推广：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b =λa . 定理中的向量b 可为0.［例4］下列说法正确的是( )(1)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a =λb ; (2)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa ;(3)向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa 或a =λb ; (4)向量a 与b 不共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa 且a =λb . 分析：只有(3)正确. (1)中b =0时不正确； (2)中a =0时不正确；(4)中向量a 与b 不共线的充要条件是不存在一个实数λ，使得b =λa 或a =λb . ●备课资料 1.向量法应用［例1］已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF .证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴＝21，＝21， 由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－21＝－(＋21)＝－CF ∴∥， ∴AE ∥CF 2.参考例题 ［例2］已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，证明AO =OC ，BO =OD .分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，∴存在实数λ和μ，使得AO =λAC ，BO =μBD . 设=a ，=b ，则=a +b ，=b －a ∴=λ (a +b )，=μ(b －a ). 又∵+= ， ∴a +μ(b －a )= λ (a +b )，即 (1－μ－λ)a +(μ－λ)b =0， 又∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理，⎩⎨⎧=-=--001λμλμ，∴μ=λ=21， ∴AO =21AC ，BO =21BD ， 即AO =OC ，BO =OD .［例3］已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG =31(PA +PB +PC ). 证明：如图，设△ABC 三条中线分别为AM 、BK 和CL ，则易知AM =3GM ，由向量中线公式有：GM =21(GB +GC )，=21(+)，∴+=31(+)① 同理可得+=31(+)②+=31(+)③由式①+②+③得：2(GA +GB +GC ) =31(AB +BA +AC +CA +CB +BC )=0 ∴++=0 ∴3=++=(+)+(+)+(+) =(PA +PB +PC )+(AG +BG +CG ) =++， ∴PG =31(PA +PB +PC ). ［例4］AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，若直线EG ∥AB ，FG ∥BE . 求证：ADGC .证明：如图，因为四边形BEGF 是平行四边形. 所以=又因为D 是BC 的中点， 所以BD =DC ，所以－=－， 所以=21(+AC ) =+ =+ =GC所以AD GC .［例5］设四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 的中点分别是E 、F ，求证：21｜AB －CD ｜≤EF ≤21(AB +CD ).证明：如图，∵++=，++=，∴2EF =(EA +EC )+(AB +CD )+(BF +DF ) ∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点， ∴+=0，+=0， ∴=21(+) 又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜+｜≤｜｜+｜｜，∴21｜｜｜－｜｜｜ ≤｜｜≤21(｜｜+｜｜)，即21｜AB －CD ｜≤EF ≤21(AB +CD ). 3.高考真题［例1］(2003年全国高考)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足=+λ||||AC AC AB AB +)，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心分析：此题首先应理解||AB AB 即AB 的单位向量，||AC AC即AC 的单位向量，设||AB AB =a ||AC AC=b ，则|a |=|b |=1，如图，在AEDF 中，a +b =，又|a |=|b |，故AEDF 为菱形，因λ≥0，故λ与同向共线，设λ=，则点M 在射线AD 上，由菱形性质可知：AD 为∠FAE 即∠BAC 的平分线，由OP =OA +AM =OM ，则点P 轨迹即点D 轨迹，所以点P 轨迹一定通过△ABC 内心.故选(B).。

高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e AB +=，213e e CB +=，212e e CD -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。

解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量AB 与BD 共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明： 即 令 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量μλ+与μλ-共线的充要条件是与共线。

事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。

充分性，由//，则存在唯一R t ∈，使t =，故t )(μλμλ+=+b t b a )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则0=-b a μλ，故 b a μλ+与b a μλ-共线 若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+=b a 2161+=故-= 即与共线则AC t AM t AP +-=)1(于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM t -+=t tt +-=-+=)331()31(31 设s = 同理s s +-=)1(s +=+=41s s+-=)441( 故有s s t t +-=+-)441()331( 由与不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331st s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以112113+= [例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。

实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义 实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同. 2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4a -3b )+31b -41 (6a -7b )］= . 例2 设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB =2a +k b ，BC =a +b , CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断AE 、CF 是否平行，就是判断AE 能否用CF 表示出来. 解：设AB =a ,AD =b 因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点所以DE =21 DC =21 AB =21a 例5 求向量x ,y :【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DC BD =λ.试证：AD =λλ++1AB AB 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知OP =m ·OA +n ·OB ,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若=31e , CD =-51e 且｜｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反 (2)λ＞0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相同 (3)λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2||CD AB ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则BC = .。

高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e +=，213e e +=，212e e -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。

解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量与共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明： 即 令 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量b a μλ+与b a μλ-共线的充要条件是与共线。

事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。

充分性，由b a //，则存在唯一R t ∈，使b t a =，故t )(μλμλ+=+t )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则=-μλ，故b a μλ+与b a μλ-共线 若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+= b a 2161+=故-= 即与OF 共线于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM AC t a -+=b t a ta bt a +-=-+=)331()31(31 设NB s NP = 同理AB s AN s AP +-=)1(NB s AC NP AN AP +=+=41a s b s+-=)441(故有a s b s b t a t +-=+-)441()331( 由a 与b 不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331s t s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以b a AP 112113+=[例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。