2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(四)学生版

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(四)答案1．B 【解析】因为A ={0，1}，U B ð={0，4，5}，所以A ∩(U B ð)={0}．2．A 【解析】通解 根据题意，设z =a +b i ，则(a +b i)(1+i)=2i+1，化简得12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得a =32，b =12，从而可得z =32+12i ， 因此复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ． 优解 根据z (1+i)=2i+1可得z =2i 11i ++=32+12i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(32，12)，其位于第一象限．故选A ． 3．D 【解析】设等比数列{n a }的公比为q (q >0)，由13a a =16知2a =4，从而有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，得1a =2，q =2， 所以数列{n a }的通项公式为n a =2n，则5a =32．故选D ．4．C 【解析】设AC =x ，则BC =10−x ，0<x <10，由题意π2x +π(10−x )2<58π，得2x −10x +21<0，得3<x <7，故所求的概率为732105-=． 5．D 【解析】对于A ，两个平面垂直，其中一个平面内可以找到无数条直线平行于另一个平面，故选项A 不是假命题．对于B ，两个平面不垂直，α内一定不存在直线垂直于β，选项B 不是假命题．对于C ，两个相交平面垂直另一个平面，其交线也垂直于这个平面，选项C 不是假命题．对于D ，两个平面垂直，α内并非所有的直线都垂直于β，选项D 为假命题．6．D 【解析】依据题意，初始值S =1，i =1；第一次循环：S =1×112e⨯，i =2；第二次循环：S =1×112e⨯×123e⨯，i =3；……；第2 016次循环：S =1×112e⨯×…×120162017e⨯=20162017e，i =2 017．因此输出的x 为ln S =20162017．故选D ． 7．D 【解析】∵AC =λAM +μBN =λ()AB BM + +μ()BC CN +=λ1()2AB AD + +μ1()2AD AB - =1()2AB λμ-+1()2λμ+AD ，又AC AB AD =+ ，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴λ+μ=85．8．A 【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线3x +y −M =0经过点A (−1，2)时，目标函数M =3x +y 取得最小值−1．又由平面区域知−1 x 3，则当x =−1时，N =1()2x−72取得最大值−32．由此可知一定有M >N ，选A ． 9．D 【解析】如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3=15．棱柱的高为8，体积V =15×8=120．故选D ．10．A 【解析】设点P (0x ，208x )，A (1x ，218x )，B (2x ，228x )，Q (a ，2)，R (b ，2)．由2822x y y x ⎧=⎨=-⎩得2x −16x +16=0，12x x =16．由P ，A ，Q 三点共线得 2220110*********x x x x x a x x x --+==--，a =01011210201010116()x x x x x x x x x x x x x x x +++==+++， 同理b =20102()x x x x x ++，ab =10201()x x x x x ++×20102()x x x x x ++=12x x =16，OR OQ ⋅=ab +4=20，故选A ．11．D 【解析】由题意得，3a +2a =3，5a +4a =−5，……，2017a +2016a =−2017，将以上各式相加得，2017S −1a =−1008．又2017S =−1007−b ，所以1a +b =1，又1a b >0， 所以1a >0，b >0． ∴11a +2b =11a b a ++12()a b b +=3+1b a +12a b1b a =12a b时等号成立．12．A 【解析】由已知，问题等价于函数()f x 在[−2，7]上的值域是函数()g x 在[−2，2]上的值域的子集，由分段函数()f x =22,20log (1),07x x x x ⎧--<⎨+⎩≤≤≤，得其值域为[−4，3]．当a >0时，()g x ∈[−2a +1，2a +1]，因而有214213a a -+-⎧⎨+⎩≤≥，解得a 52；当a =0时，()g x =1，不符合题意；当a <0时，()g x ∈[2a +1，−2a +1]，因而有214213a a +-⎧⎨-+⎩≤≥，解得a −52．综上，实数a 的取值范围为(−∞，−52]∪[52，+∞)，故选A ． 13．13【解析】根据题意，1()4f =−1，1(())4f f =(1)f -=13．14解法一 由题意可知，圆心C 在原点和点A (−1，−5)的中垂线x +5y +13=0上，又圆心C 在直线2x +y −1=0上，因此圆心为C (2，−3)所以圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=13．设点C (2，−3)到弦AO 的距离为d ，弦长OA，则 d． 解法二 根据题意，圆心C 在原点和点A (−1，−5)的中垂线x +5y +13=0上，又圆心C 在直线2x +y −1=0上，因此圆心为C (2，−3)，直线OA 的方程为y =5x ，则圆心C 到弦AO 的距离d．15．512【解析】在二项式n的展开式中，前三项分别为n，1Cn1n-2Cn2n-)2，因为前三项的系数成等差数列，所以2×12n=1+(1)8n n+，得n=8，所以二项式n展开式的通项为1rT+=8C r8r-)r=(12)r2438Crr x-．易知当r=0，3，6时为有理项，其余6项为无理项，所以有理项互不相邻的概率P=636799A A5A12=．16．13【解析】由正弦定理及已知，得2sin C cos B=2sin A+sin B，由A+B+C=π，得sin A=sin(B+C)，则2sin C cos B=2sin(B+C)+sin B，即2sin B cos C+sin B=0．又0<B<π，所以sin B>0，故cos C=−12，因为0<C<π，故C=23π，则△ABC的面积S=12absin C=ab=c，即c=3ab．由余弦定理2c=2a+2b−2ab cos C，化简得2a+2b+ab=922a b，因为2a+2b 2ab，当且仅当a=b时取等号，所以2ab+ab 922a b，即ab13，故ab的最小值是13．17．【解析】(1)因为3a=2b，由正弦定理知3sin A=2sin B，又B=45°，解得sin A=3．因为3a=2b，所以a<b，A<B=45°，故cosA．因为A+B+C=180°，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=13+6．（5分）(2)由余弦定理得，2c=2a+2b−2ab cos C=2a+23()2a−2a×32a×23=542a，即c=2a ． 因为cos C =23，且C 为三角形的内角， 所以sin C=3，（8分）由正弦定理得，3322sin sin sin 22a a a a A B C ====， 即sin B =1，sin A =23，即B =90°，cos A所以sin(A −B )=sin(A −90°)=−cos A =−3（12分） 【备注】在解三角函数与解三角形试题时，应注意以下两方面：(1)对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正弦、余弦定理实现边角转化；(2)在求解三角函数值的问题时，要善于把两角和(差)公式恒等变形．18．【解析】(1)由题意得，被调查人员年龄在[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75]内的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．（2分） 故被调查人员的频率分布直方图如图所示．（4分）(2)由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=224622510C C C C =15；P (ξ=1)=12211464462222510510C C C C C 34C C C C 75+=；P (ξ=2)= 11122446442222510510C C C C C 22C C C C 75+=； P (ξ=3)=124422510C C 4C C 75=．（10分）所以ξ的分布列为数学期望Eξ=0×15+1×75+2×75+3×75=5．（12分）19．【解析】(1)∵1AO ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴1AO ⊥BD ，（1分） 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∵1AO ∩AC =O ，∴BD ⊥平面1A AC，（3分） ∵BD ⊂平面11BB D D ，∴平面1ACO ⊥平面11BB D D ．（5分）(2)建立以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．∵AB =1AA =2，∠BAD =60°，∴OB =1，OA （6分） ∵1AA =2， ∴1AO =1．则O (0，0，0)，A 0，0)，B (0，1，0)，1A (0，0，1)，C (0，0)，AB =11A B=(1，0)，OB =(0，1，0)，OC =(0，0)，1OA =(0，0，1)，则1111OB OA A B =+=(1，1)，（8分） 设平面1BOB 的法向量为m =(x ，y ，z)，则100OB y OB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ m m ， 则y =0，令xz =3，即m0，3)为平面1BOB 的一个法向量．（9分） 设平面1OBC 的法向量为n =(1x ，1y ，1z )，则1111100OC OB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ n n ， 则1x =0，令1y =1，则1z =−1，则n =(0，1，−1)为平面1OBC 的一个法向量，（10分） ∴cos<m ，n>=|⋅=⋅m n |m |n |=∵二面角B −1OB −C 是钝二面角， ∴二面角B −1OB −C 的余弦值是（12分） 【备注】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．20．【解析】(1)由题意，得方程组222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2a =4，2b =2，（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=．（4分） (2)根据题意，得P (4，1)，设点Q ，A ，B 的坐标分别为(x ，y )，(1x ，1y )，(2x ，2y )． 由||||||||AP PB AQ QB =知，|AP |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且将||||||||AP PB AQ QB =变形为||||||||AP AQ PB QB =，设λ=||||||||AP AQ PB QB =，则λ>0且λ≠1，（6分） 又A ，P ，B ，Q 四点共线，则AP PB λ=- ，AQ QB λ= ，于是4=121x x λλ--，1=121y y λλ--，（7分）x =121x x λλ++，y =121y y λλ++，从而2221221x x λλ--=4x ①，2221221y y λλ--=y ②，（8分） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124x y += ③，222224x y += ④，（10分） 由①②③④得2x +y =2，即点Q (x ，y )总在定直线2x +y −2=0上．（12分） 21．【解析】(1)由2a −b =4，得()f x =a ln x +1x+(4−2a )x +1， 所以()f x '=a x −21x +(4−2a )=22(42)1a x ax x-+-=2[(2)1](21)a x x x -+-． 令()f x '=0，得1x =12，2x =12a -．（2分） 当a =4时，()f x ' 0，函数()f x 在定义域(0，+∞)内单调递减； 当2<a <4时，在区间(0，12)，(12a -，+∞)上，()f x '<0，()f x 单调递减， 在区间(12，12a -)上，()f x '>0，()f x 单调递增；（4分） 当a >4时，在区间(0，12a -)，(12，+∞)上，()f x '<0，()f x 单调递减，在区间(12a -，12)上，()f x '>0，()f x 单调递增．（6分） (2)由题意知，当a −4时，()F x 在[1，4]上的最大值M 2． 当b =−1时，()F x =()f x −5x =x −4x+a ln x +1， 则()F x '=224x ax x++(1 x 4)．（8分） ①当−4 a 4时，()F x '=222()424a a x x ++-≥0， 故()F x 在[1，4]上单调递增，M =F (4)．（9分）②当a >4时，设2x +ax +4=0(Δ=2a −16>0)的两根分别为1x ，2x ， 则121204x x a x x +=-<⎧⎨=⎩，故1x <0，2x <0，所以在[1，4]上，()F x '=224x ax x++>0， 故()F x 在[1，4]上单调递增，M =F (4)．（11分）综上，当a −4时，()F x 在[1，4]上的最大值M =F (4)=4−1+a ln 4+1 2， 解得a −1ln 2， 所以实数a 的取值范围是[−1ln 2，+∞)．（12分） 【备注】在解答题中，利用导数处理不等式问题主要体现为不等式的证明与不等式恒成立问题，常规的解法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决问题，当然要注意分类讨论思想的应用． 22．【解析】(1)由1cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩可得(x −1)2+y 2=1，得到1C 的普通方程为2x +2y −2x =0．由ρ=4cos θ可得2ρ=4ρcos θ，又2ρ=2x +2y ，x =ρcos θ，得到2C 的直角坐标方程为2x +2y −4x =0．（5分）(2)直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩可化为y =x tan α，由2220tan x y x y x α⎧+-=⎨=⎩得121221tan 2tan 1tan x y ααα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2200x y =⎧⎨=⎩，由2240tan x y x y x α⎧+-=⎨=⎩得323241tan 4tan 1tan x y ααα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，4400x y =⎧⎨=⎩，又t ≠0，故A (221tan α+，22tan 1tan αα+)，B (241tan α+，24tan 1tan αα+)． 因为|AB=所以tan2α=13，又2π<α<π，所以tan α=−3，α=56π．（10分） 【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法；极直互化主要是用好“公式”．与极坐标和参数方程有关的问题一般是先化为直角坐标方程，然后结合图形，合理转化加以求解． 23．【解析】(1) ()g x −1，即−|2x +m | −1，|2x +m | 1，所以1122m m x ---+≤≤． 因为不等式的整数解只有−3，则−4<12m -- −3 12m -+<−2，解得5<m <7．所以整数m =6．（5分）(2)因为y =()f x 的图象恒在函数y =12()g x 图象的上方， 故()f x −12()g x >0， 即a <2|x −1|+|x +3|对任意的x ∈R 恒成立．设()h x =2|x −1|+|x +3|，则()h x =31,35,3131,1x x x x x x ---⎧⎪--<⎨⎪+>⎩≤≤．数形结合得，当x =1时，()h x 取得最小值4． 故当a <4时，函数y=()f x 的图象恒在函数y=12()g x 图象的上方， 即实数a 的取值范围为(−∞，4)．（10分）【备注】(1)零点分段法是求绝对值不等式的常用方法；(2)在证明不等式的题目中，首先考虑比较法，它是最基本的证明不等式的方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法．11。

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四）理科数学第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|30}A x x x =->，{|2}B x x =<，则A B =（ ）A ．(2,0)-B ．(2,3)-C ．(0,2)D ．(2,3)2。

（2017·海口市调研）已知复数12z i =-，22z a i =+(i 为虚数单位，a R ∈）,若12z z R ∈，则a =( ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3.（2017·桂林市模拟）若向量a ，b 满足:1a =，()a b a +⊥，(3)a b b +⊥，则b =（）A ．3 B C ．1D ．34。

(2017·福建省质检）在ABC ∆中，3B π=，2AB =，D 为AB的中点，BCD ∆的面积为4，则AC 等于（ ）A ．2 B CD5.已知,{1,2,3,4,5,6}x y∈，且7x y+=,则2xy≥的概率为（)A．13B．23C．12D．566.(2017·昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3cm）为（）A．24024π-B．24012π-C．2408π-D．2404π-7。

（2017·长春市三模)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112,则判断框中填写的内容可以是（)A．6n=B．6n<C．6n≤D．8n≤8。

（2017·郑州一预）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1 D9.(2017·海口市调研）若x ,y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为12-，则k 的值为( ）A ．12B ．12- C ．14D ．14-10.(2017·桂林市模拟）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过FA ,B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1211。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 文（四）本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】由题意{}0,1M =，∴{}0,1M N =．故选C ．2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A 【解析】()21f x x x =-+，()()()()i 11i i 12ii i 1i 11i 2z +--+-====-----，()()()()2i i i 1i f z f ∴=-=---+=，故选A ．3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin 13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）ABC．D．【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：()19959692+=π==a a S a ，∴523π=a，则52tan tan3π==a C ． 5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =．6．[2018·漳州调研]已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x【答案】A【解析】函数()cos2=g x x 的图象的对称轴方程为()2π=∈Z k x k ，故函数()=y f x 的图象的对称轴方程为()23ππ=-∈Z k x k ，当1=k 时，6π=x ，故选A ． 7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;nn - B ．21;1nn -+C ．121;n n +- D ．121;1n n +-+【答案】D【解析】当1n =时，正方形的个数有0122+个；当2n =时，正方形的个数有012222++个；，则0121222221n n n S +=++++=-个，最大的正方形面积为1，当1n =时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为1n +，故选D ．8．[2018·防城港模拟]已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ：250x y --=的距离的最小值是（ ）A ．4BC 1D 1【答案】D【解析】圆C ：224240x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=，圆心()2,1C 半径为1，=，则圆上一点P 到直线l ：250x y --=的距离的最1．选D ．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-【答案】A【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f -=， ∴函数()f x 在(),0-∞单调递增，且()20f =． 结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ，即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ，解得03x <<或1x <-．故x 的取值范围为()(),10,3-∞-．选A ．10．[2018·重庆期末]已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标x ，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－8【答案】C【解析】由题意可得：()()()()2244228AP BP x x y y x y ⋅=-+-=-+--，()()2222x y -+-即为点(),P x y 与点()22，的距离的平方，结合图形知，最小值即为点()22，到直线的距离的平方25d ==，故最小值为221968525⎛⎫-=-⎪⎝⎭．本题选择C 选项．11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5x θ=， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ===即()f x =由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10，只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．[2018·石家庄毕业]双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2+C ．2D 1【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -，直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，则y =，即()A ，因为A 平分线段1FB ，根据中点坐标公式可得()B c ，代入双曲线方程可得2222121c c a b-=，由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e =故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（四）理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合2{|230}A x x x x N =--<∈，，集合{|2}xB y y ==，则A B =I（A ）{12}， （B ）{128}， ， （C ）1(8)2，（D ）∅（2）命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（A ）0x ∃>，tan sin x x ≤ （B ）0x ∃≤，tan sin x x > （C ）0x ∀>，tan sin x x ≤（D ）0x ∀≤，tan sin x x ≤（3）已知复数12i z =+，则55izz z-+= （A ）12i +（B ）2i +（C ）12i -（D ）2i -（4）已知向量(12)a =r ，，(11)b =-r ， ，(2)c m =r ， ，且(2)a b -r r⊥c r ，则实数m = （A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）任意实数（5）已知ππ()42α∈，，3log sin a α=，sin 3b α=，cos 3c α=，则a b c ，，的大小关系是 （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a << （6）不等式20x ax b -+<的解集为{|12}x x <<，则6)xa的展开式中常数项为 （A ）64-（B ）16027-（C ）2027（D ）803（7）抛物线24y x =的焦点到双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，线的离心率为（A （B （C ）2（D ）3（8）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）919（B ）1021 （C ）1819 （D ）2021（9）山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙（D ）丁（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（A ）12π （B ）16π （C ）36π（D ）48π（11）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x R ∈均有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()e xf x <的x 的取值范围是（A ）(0)-∞，（B ）(1)-∞，（C ）(0)+∞，（D ）(1)+∞， （12）已知0a b >， ，a b ba =-2)1(，则当b a 1+取最小值时，221ba +的值为 （A ）2（B ）22（C ）3（D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（四）本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·丹东期末]设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin 13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）AB． C．D．5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．[2018·漳州调研]已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x 7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．[2018·防城港模拟]已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ：250x y --=的距离的最小值是（ ）A ．4B ．C 1D 19．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．[2018·重庆期末]已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),Pxy 的坐标x ，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－811．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．[2018·石家庄毕业]双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） AB．2C ．2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A．3B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．2-B ．2CD ．7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C ．D ．班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞- D ．()()1,01,3- 10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B．CD11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B．C ．D．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（四）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A、B，再求A∩B即可．【详解】∵集合={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知复数，（为虚数单位，），若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．【详解】∵z1=2﹣i，z2=a+2i，∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，又z1z2∈R，∴4﹣a=0，即a=4．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3. 若向量，满足：，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】∵向量，满足：，，，∴，解得=．故选：B．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．4. 在中，，，为的中点，的面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得结果．【详解】由题意可知在△BCD中，B=，AD=1，∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=，解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=22+32﹣2•2•3•=7，∴AC=，故选：B．【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.5. 已知，且，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据古典概型概率公式计算即可．【详解】由题基本事件空间中的元素有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2）（6，1），满足题意的有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），故则的概率为=故选：B．【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为（单位：），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知该零件是：一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，且长方体的长、宽、高分别为：8、6、5，圆柱底面圆的半径为1，母线长是8，∴该零件的体积V=8×6×5﹣=240﹣12π（cm3），故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出，故填.考点：算法与程序框图．视频8. 函数在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求函数的导数，因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．详解：∴函数图象在点处的切线的斜率为1．故选：C．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题．9. 若，满足，且的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【详解】由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 10. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点.若线段的垂直平分线与轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），则直线AB的方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．【详解】由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），设直线AB的方程为：y=（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P（x0，y0），，整理得：3x2﹣5px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，由中点坐标公式可知：x0=，则y0=，由P在垂直平分线上，则y0=﹣（x0﹣11），即p=﹣（﹣11），解得：p=6，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及垂直平分线的性质，考查计算能力，属于中档题．11. 四面体的一条棱长为，其余棱长为，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【详解】底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径R==；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S==15π；故选：D．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13. 函数的单调递增区间是__________．【答案】【解析】化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，又由x∈[0，]可取交集得x∈[0，]，故答案为：[0，]．14. 展开式中的常数项是，则__________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得，，所以展开式的常数项为，令，解得．考点：二项式定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中涉及到多项式的化简与二项式定理的通项等知识，解答中把化为是解答问题的关键，再根据二项展开式，得到展开式的常数项，即可求解的值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．15. 在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为__________．【答案】40【解析】【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．【详解】如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．【点睛】解决测量角度问题的注意事项(1)明确仰角、俯角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．16. 设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数的平移关系得到函数g（x）的单调递增区间，根据函数的单调性解不等式即可得到结论．【详解】∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）向左平移1个单位得到f（x+1），则f（x+1）在[0，+∞）上为增函数，即g（x）在[0，+∞）上为增函数，且g（2）=f（2+1）=0，∵g（x）=f（x+1）为偶函数∴不等式g（2﹣2x）＜0等价为g（2﹣2x）＜g（2），即g（|2﹣2x|）＜g（2），则|2﹣2x|＜2，则﹣2＜2x﹣2＜2，即0＜2x＜4，则0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）b n=|11﹣2n|，设数列{11﹣2n}的前n项和为T n，则．当n≤5时，S n=T n；当n≥6时，S n=2S5﹣Tn．【详解】（1）证明：由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.则，.（2），设数列前项和为，则，当时，；当时，；所以.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 如图，在四棱柱中，，，，，，，侧棱底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥平面A1ACC1．（2）设Q（x，y，z），直线QC与平面A1ACC1所成角为θ，求出平面A1ACC1的一个法向量，利用向量法能求出直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值．【详解】（1）证明：∵平面，，∴以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以，.所以，，因为，平面，平面，所以平面.（2）设，直线与平面所成角为，由（1）知平面的一个法向量为. ∵，∴，，平面法向量，.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表.（1）求表中，，，，的值；（2）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（2）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【详解】（1）由题意知，参赛选手共有（人），所以，，，.（2）由（1）知，参加决赛的选手共人，随机变量的可能取值为，，，，，，随机变量的分布列为：因为，所以随机变量的数学期望为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，（2）设l1，l2的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算k AB．【详解】（1）由已知，动点到定点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为.（2）由题意可知直线，的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.设，，直线的方程为，.直线的方程为，由得，已知此方程一个根为，∴，即，同理，∴，，∴，∴，所以，直线的斜率为定值.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 设，函数，函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的取值集合；（3）对于，，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）当n=1时，f（x）=，f′（x）=（x＞0），确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的零点个数；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，∀n∈N*，函数f（x）有最大值f（）=＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方，可得g（n）=＞1求n的取值集合A；（3）∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣g（x2）|的最小值等价于，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f（x1）﹣g（x2）|的最小值．【详解】（1）当时，，. 由得；由得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以函数在上存在一个零点；当时，恒成立，所以函数在上不存在零点.综上得函数在上存在唯一一个零点.（2）由函数求导，得，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值；由函数求导，得，由得；由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数有最小值；因为，函数的最大值，即函数在直线的下方，故函数在直线：的上方，所以，解得.所以的取值集合为.（3）对，的最小值等价于，当时，；当时，；因为，所以的最小值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）若直线的斜率为，判断直线与曲线的位置关系；（2）求与交点的极坐标（，）.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法和平方消元法消去参数t，可把直线l与曲线C1的参数方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系，可得结论；（2）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的坐标，进而可化为极坐标．【详解】（1）斜率为时，直线的普通方程为，即.①将消去参数，化为普通方程得，②则曲线是以为圆心，为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线与曲线（圆）相交.（2）的直角坐标方程为，由，解得，所以与的交点的极坐标为.【点睛】本题考查的知识点是参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系，圆的交点，难度中档．23. 已知函数在上的最小值为，函数.（1）求实数的值；（2）求函数的最小值.【答案】（1）5；（2）4【解析】【分析】（1）由f（x）=+ax=a[（x﹣1）++1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．【详解】（1）∵，，，∴，即有，解得.（2）由于，当且仅当时等号成立，∴的最小值为.【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 文（四）本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】由题意{}0,1M =，∴{}0,1M N =．故选C ．2．[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A 【解析】()21f x x x =-+，()()()()i 11i i 12ii i 1i 11i 2z +--+-====-----，()()()()2i i i 1i f z f ∴=-=---+=，故选A ．3．[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）ABC．D．-【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：()19959692+=π==a a S a ，∴523π=a，则52tan tan3π==a C ． 5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =．6．[2018·漳州调研]已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x【答案】A【解析】函数()cos2=g x x 的图象的对称轴方程为()2π=∈Z k x k ，故函数()=y f x 的图象的对称轴方程为()23ππ=-∈Z k x k ，当1=k 时，6π=x ，故选A ． 7．[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;nn - B ．21;1nn -+C ．121;n n +- D ．121;1n n +-+【答案】D【解析】当1n =时，正方形的个数有0122+个；当2n =时，正方形的个数有012222++个；，则0121222221n n n S +=++++=-个，最大的正方形面积为1，当1n =时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为1n +，故选D ．8．[2018·防城港模拟]已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ：250x y --=的距离的最小值是（ ）A ．4BC 1D 1【答案】D【解析】圆C ：224240x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=，圆心()2,1C 半径为1，=，则圆上一点P 到直线l ：250x y --=的距离的最1．选D ．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-【答案】A【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f -=， ∴函数()f x 在(),0-∞单调递增，且()20f =． 结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ，即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ，解得03x <<或1x <-．故x 的取值范围为()(),10,3-∞-．选A ．10．[2018·重庆期末]已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标x ，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－8【答案】C【解析】由题意可得：()()()()2244228AP BP x x y y x y ⋅=-+-=-+--，()()2222x y -+-即为点(),P x y 与点()22，的距离的平方，结合图形知，最小值即为点()22，到直线的距离的平方25d ==，故最小值为221968525⎛⎫-=-⎪⎝⎭．本题选择C 选项．11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5xθ=， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ===即()f x =由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10， 只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．[2018·石家庄毕业]双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2+C ．2D 1【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -，直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，则y =，即()A ，因为A 平分线段1FB ，根据中点坐标公式可得()B c ，代入双曲线方程可得2222121c c a b-=，由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e =故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合22{|2}xxA y y -+==，1{|lg}1x B x y x +==-，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{x |0<x <1}B ．{x |1x <2}C ．{x |0<x 1}D ．{x |1<x <2}2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若21zz z =，则z 的共轭复数z=A ．13i 22+ B ．13i 22- C ．13i 22-+ D ．13i 22-- 3．已知双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角是3π，则该双曲线的离心率为AB ．2C 5D ．34．2016年巴西里约热内卢奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是 A ．25 B ．58 C ．34 D ．455．已知正项数列{n a }满足22112n n n n a a a a ++--=0，{n a }的前n 项和为n S ，则53S a = A ．314 B ．312 C ．154 D ．1526．函数()f x =2ln 1||x x 的图象大致是 A ． B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A ．3B ．2C ．4D ．58．如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M ，N ，P ，Q 分别是边BF ，AB ，CD ，DH 的中点，则在这个正四棱锥中，下列四个结论正确的个数有(1)MN 和CD 平行 (2)CE 和PQ 平行(3)MN 和PE 所成的角为60° (4)EP 和AB 垂直A ．1B ．2C ．3D ．49．若x ，y 满足不等式组30600x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z =y −3|x |的最大值为A ．3B ．2C ．1D ．−1 10．将函数()f x =2sin2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x −1)sin ϕ (|ϕ|<2π)的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则g (6π)=AB ．12C ．3D ．12- 11．已知圆224210x y x y ++++=的圆心M 与抛物线C ：22y px =的焦点F 恰好关于直线3x +y +2=0对称，O 为坐标原点，直线l 过点P (2，0)且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|BF |=32，|AP |=t |BP |，则t = A ．1 B ．2 C ．4 D ．812．已知函数()f x =2x −2x −1，若函数()g x =(|1|)|1|4xxf a k a k -+-+ (其中a >1)有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 A ．(15，25] B ．(15，25) C ．(14，25] D ．(14，25) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 满足|a，|b |=1，且(a +2b )·(a −3b )=4，则向量a ，b 的夹角为 ．14．若(ax −1)(1x+x )6的展开式中含x 3的系数为30，则a 的值为 ． 15．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ．16．若等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1a =9，2a 为整数，且n S ≤5S ，则|1a |+|2a |+…+|n a |= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 23sin B C Ab c += (1)求b 的值；(2)若cos B 3B =2，求a +c 的取值范围． 18．(本小题满分12分)随着人民生活水平的提高，越来越多的人重视自身健康，除了加强身体锻炼，也会购买保健品服用，从而提高身体健康水平．某调查机构现对某市年龄在30至50岁的人进行了统计，得到2017年购买保健品的开支(单位：百元)与年龄的折线图如图所示．该市为减轻市民的开支，对18周岁及其以上的人给予适当的生活医疗补贴，生活医疗补贴可以抵消购买保健品的开支，具体规定是：18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴，年龄每增加一岁，则生活医疗补贴相应增加20元．(1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合购买保健品开支y 与年龄x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y 关于x 的回归方程；(3)估计2017年该市70岁的人购买保健品的开支，并求在适当的生活医疗补贴下个人的付款额． 附注：参考数据：51i ii x y =∑=2 360，521ii x=∑=8 250552211()()iii i x x y y ==--∑∑．参考公式：相关系数r 12211()()()()niii n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑，回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P −ABC 中，AC 3，AB =2BC ，D 为线段AB 上一点，且AD =3DB ， PD ⊥平面ABC ，P A 与平面ABC 所成的角为45°．(1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ；(2)求二面角P −AC −D 的平面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，焦距为2，左焦点到右顶点的距离为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线y kx m =+(k ≠0)，使得以AB 为直径的圆过原点且该圆的面积最大?若存在，求出面积最大的圆的面积；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =5+ln x −1kxx +(k ∈R )． (1)若曲线y =()f x 在点(1，(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直，求k 的值与曲线在点(1，(1)f )处的切线方程； (2)若k ∈N *，且当x ∈(1，+∞)时，()f x >0恒成立，求k 的最大值．2)≈1.76)选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x t y t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos(θ+4π)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P (0，−1)，求|P A |+|PB |；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求∆MAB 面积的最大值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()f x =|x −m |+|x −1|． (1)若m =−1，解不等式()f x ≥4；(2)如果对任意的x ∈R ，()f x ≥3恒成立，求实数m 的取值范围．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)答案1．C 【解析】∵集合22{|2}xxA y y -+==={y |0<y 2}，1{|lg}1x B x y x +==-={x |11x x +->0} ={x |x >1或x <−1}，∴U B ð={x |−1x 1}，又阴影部分表示的集合是()U AB ð，∴()U AB ð={x |0<x1}，故选C ． 2．A 【解析】由题意知1z =1+2i ，2z =−1+i ，故z (−1+i)=1+2i ，即z =12i (12i)(1+i)13i 1i (1i)(1+i)2++-==-+-+=13i 22-，13i 22z =+，故选A ． 3．B 【解析】由题意知b a =tan 3π3，则该双曲线的离心率 22222113c a b b e a a a+===+=+=2． 4．B 【解析】根据条件概率的计算公式P (B |A )=()()P AB P A ，得所求概率为152485=．5．A 【解析】由22112n n n n a a a a ++--=0得(1n a ++n a )(1n a +−2n a )=0，又{n a }为正项数列，所以1n a +=2n a ，所以数列{n a }是等比数列，且公比q =2，设首项为1a ，则515(12)12a S -=-=311a ，3a =221a =41a ，则53S a =314．6．C 【解析】因为()f x -=2ln()||x x --+1=2ln ||x x +1=()f x ，所以()f x 是偶函数．当x >0时，()f x =2ln ||x x +1，则()f x '=222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x x x x⨯---==． 当0<x <e 时，()f x '>0，所以()f x =2ln x x+1在区间(0，e )上单调递增，当x >e 时，()f x '<0，所以()f x =2ln x x +1在区间(e ，+∞)上单调递减，排除A ，B ．又()f e =2ln ||e e +1=2e+1>0，排除D ，故选C ．7．A 【解析】第一次循环：m =11b -，k =2；第二次循环：m =1b b-，k =3；第三次循环：m =b ，所以满足题意．故输出的k 的值为3，选A ．8．B 【解析】把平面展开图还原成正四棱锥如图所示，可知MN 和CD 是异面直线，故(1)不正确；因为P ，Q 分别是CD ，DH 的中点，所以CE 和PQ 平行，故(2)正确；设正四棱锥的棱长为a ，因为MN ∥AE ，则∠AEP 为MN 和PE 所成的角，在Rt ∆ADP 中，AP 22154a a +=， 在Rt ∆EPD 中，EP 22134a a -=，故cos ∠AEP 22235()()322632a a a+-=⨯⨯，故(3)不正确； 因为EP ⊥CD ，AB ∥CD ，所以EP 和AB 垂直，故(4)正确． 故正确的有2个，选B ．9．A 【解析】作出30600x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所对应的可行域如图中阴影部分所示，当x ≥0时，可行域为四边形ABOC ，目标函数可化为z =y −3x ，即y =3x +z ，平移直线y =3x 可知当直线经过点B (0，3)时，z 取得最大值3；当x <0时，可行域为∆BOD ，目标函数可化为z =y +3x ，即y =−3x +z ，平移直线y =−3x 可知当直线经过点B(0，3)时，z 取得最大值3．综上可得z =y −3|x |的最大值为3，故选A ． 10．A 【解析】函数()f x =2sin2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x −1)sin ϕ=sin x cos ϕ+cos x sin ϕ=sin(x +ϕ)的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为()g x =sin(x +3π+ϕ)．由()g x =sin(x +3π+ϕ)的图象关于y 轴对称，可得()g x 为偶函数，故ϕ+3π=kπ+2π，k ∈Z ，即ϕ=kπ+6π，k ∈Z ．又|ϕ|<2π，故ϕ=6π，可得函数()g x =sin(x +2π)=cos x ，则g(6π3A ．11．C 【解析】将224210x y x y ++++=化为圆的标准方程为(x +2)2+(y +1)2=4，故圆心为M (−2，−1)，抛物线22y px =的焦点为F (2p，0)， 依题意可得13(1)20420(1)13(2)2p p ⎧⨯--+=⎪⎪--⎨=⎪--⎪⎩，解得p =2，故抛物线的方程为2y =4x ，焦点为F (1，0)，准线为x =−1，由|BF |=32及抛物线的定义知点B 的横坐标为12，代入抛物线方程得B (12，±2)，不妨取B (12，2)，又直线l 过点P (2，0)，解得l 的方程为y=223(x −2)，联立得2422(2)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ，得22x −17x +8=0，解得1x =8，2x =12， 所以11842x y =⎧⎪⎨=⎪⎩22122x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得A (8，2， 于是22226(42)||2171||317()(2)22AP t BP +===+=4，故选C ．12．C 【解析】设|1|xt a =-，t ≥0，则函数()g x =(|1|)|1|4xxf a k a k -+-+可换元为()h t =2t +(k −2)t +4k −1．若函数()g x 有三个不同的零点，则方程()0h t =有两个不相等的实数解1t ，2t ，且解的情况有如下三种：①1t ∈(1，+∞)，2t ∈(0，1)，此时h (0)>0，且h (1)<0，解得14<k <25； ②1t =0，2t ∈(0，1)，此时由h (0)=0，得k =14，所以()h t = 2t −74t ，即2t =74，不符合题意； ③1t =1，2t ∈(0，1)，此时h (1)=0，得k =25，所以()h t =2t −85t +35，即2t =35，符合题意．综上，14<k ≤25，即实数k 的取值范围是(14，25]．13．34π【解析】(a +2b )·(a −3b )=a 2−6b 2−a ·b 2)2−6×12−a ·b =4，解得a·b =−2．所以cos<a ，b >||||221⋅=⨯a b a b 2所以向量a ，b 的夹角为34π． 14．2【解析】因为(1x +x )6的展开式的通项1r T +=6C rx −6+2r ，所以(ax −1)(1x+x )6的展开式中含x 的奇数次方的通项为a 6C rx −5+2r ，令−5+2r =3，解得r =4．所以含x 3的系数为a ×46C =30，解得a =2．15．25π【解析】由三视图可得，该几何体的外接球与以俯视图为底面，以3为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示，易知底面是底边长为4，高为2的等腰直角三角形，故底面外接圆的半径r =2，又棱柱的高为3，故四棱锥的外接球半径R 22352()22+=，所以外接球的表面积S =4πR 2=25π．16．2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】因为1a =9，2a 为整数，所以等差数列{n a }的公差d 为整数．又n S ≤5S ，故5a ≥0，6a ≤0，即9+4d ≥0，9+5d ≤0，解得−94≤d ≤−95，故d =−2，所以n a =11−2n ， 当n ≤5时，|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +…+n a =(9112)2n n+-⨯=10n −n 2．当n >5时，|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +3a +4a +5a −(6a +7a +…+n a )=2(1a +2a +3a +4a +5a )−( 1a +2a +3a +4a +5a +…+n a ) =25S −n S =50−(10n −n 2)=n 2−10n +50，综上可得，|1a |+|2a |+…+|n a |=2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩．17．【解析】(1)通解 由cos cos 23sin B C A b c +=cos cos 23sin c B b C Abc +=， 由正弦定理得，sin cos sin cos 23sin sin C B B C Ab C +=（2分）又sin A =sin[π−(B +C )]=sin C cos B +sin B cos C ， 故sin 23sin 3sin A A b C C =，解得b =32．（5分）优解 由正弦定理得cos cos 233B C ab c c+=， 由余弦定理得2222222322a c b a b c aabc abc +-+-+=化简得2b 3b 3． (2)解法一 由cos B 3B =2可得12cos B +32sin B =1，即sin(6π+B )=1，又B ∈(0，π)，解得B =3π． 由正弦定理得32sin sin sin 32a b cA B C ====1， 故a =sin A ，c =sin C ．（8分）所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin A cos B +cos A sin B=32sin A +32cos A 3A +6π)．又A ∈(0，23π)，所以A +6π∈(6π，56π)，sin(A +6π)∈(12，1]， 所以a +c ∈3]．（12分） 解法二 由cos B 3B =2可得12cos B +32sin B =1，即sin(6π+B )=1，又B ∈(0，π)，解得B =3π． 因为b =32，由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ， 得34=2a +2c −ac =2()a c +−3ac ． 又ac ≤2()2a c +，所以34=2()a c +−3ac ≥2()a c +−32()2a c +，解得2()a c +≤3，即a +c 3a =c 3又a +c >b =32，所以a +c ∈(323]． 【备注】解三角形的常见类型和方法：(1)已知两角及一边，首先根据三角形内角和求出第三角，再利用正、余弦定理求解相关问题；(2)已知两边及夹角，先用余弦定理求出第三边，再利用正弦定理求另外两边；(3)已知三边，可先用余弦定理求对应的三个角，再求解相关问题． 18．【解析】(1)由折线图中数据及附注中数据可得，30354045505x ++++==40，581014185y ++++==11，51()()iii x x y y =--∑=(30−40)×(5−11)+(35−40)×(8−11)+ (40− 40)×(10−11)+(45−40)×(14−11)+(50−40)×(18−11)=60+15+15+70=160，（3分），故r5()()iix x y y --∑≈160161≈0.99．（5分） 因为y 与x 的相关系数近似为0.99，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（6分） (2)因为521()ii x x =-∑=(30−40)2+ (35−40)2+(40−40)2+(45−40)2+(50−40)2=250，所以51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑=160250=0.64， ˆˆa y bx =- =11−0.64×40=−14.6，所以y 关于x 的回归方程为ˆy =0.64x −14.6．（8分）(3)由ˆy=0.64x −14.6，当x =70时，ˆy =0.64×70−14.6=30.2， 故2017年该市70岁的人购买保健品的开支大约为3 020元．18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴，年龄每增加一岁，则生活医疗补贴相应增加20元．由于70−18=52，故该市70岁的人生活医疗补贴为120+20×52=1 160元，个人需付款3 020−1 160=1 860元．（12分）19．【解析】(1)因为AC 3，AB =2BC ，所以2AB =2(3)BC +2BC =42BC ，所以∆ABC 是直角三角形，AC ⊥BC ．（1分）在Rt ∆ABC 中，由AC 3得，∠CAB =30°，不妨设BD =1，由AD =3BD 得，AD =3，BC =2， AC 3（2分） 在∆ACD 中，由余弦定理得2CD =2AD +2AC −2AD×AC×cos 30°=32+2−2×3×3，故3所以2CD +2AD =2AC ，（3分）所以CD ⊥AD ．因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ．又PD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面P AB ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD ．（5分）(2)解法一 因为PD ⊥平面ABC ，所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD ， 即∠P AD =45°，可得∆P AD 为等腰直角三角形，PD =AD ，（6分）由(1)得PD =AD =3，如图，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，连接PE ， 因为PD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故PD ⊥AC ．又DE ∩PD =D ， 所以AC ⊥平面PDE ，∠PED 为二面角P −AC −D 的平面角．（8分） 在Rt ∆ACD 中，AC ·DE =AD ·CD ，即3×DE =3×3DE =32， 在Rt ∆PDE 中，PE 223353()2+=， 所以cos ∠PED =352535DE PE ==． 故二面角P −AC −D 的平面角的余弦值为55（12分） 解法二 因为PD ⊥平面ABC ，所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD ，即∠P AD =45°，可得∆P AD 为等腰直角三角形，PD =AD ，（6分）由(1)得PD =AD =3，以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，C 3，0，0)，A (0，−3，0)，P (0，0，3)，则DP =(0，0，3)为平面ACD 的一个法向量．（7分）设n =(x ，y ，z )为平面P AC 的法向量，因为PA =(0，−3，−3)，PC0，−3)，则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得30330z y z -=--=⎪⎩令z=1，则x 3，y =−1，故n 3−1，1)为平面P AC 的一个法向量，（10分） 故cos<n ，DP 5553=⨯． 故二面角P −AC −D 的平面角的余弦值为55（12分） 【备注】(1)在判定线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但转化的方向根据题目的具体条件而定，决不可过于模式化．(2)用向量法求解空间角的关键是合理建系，在利用向量法求二面角的平面角时，应注意角的大小及相互关系，法向量的夹角与二面角可能相等，也可能互补．(3)解题时注意符号语言的规范应用．20．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=(a >b >0)，半焦距为c ．依题意2c =2，故c =1，又a +c =3，所以a =2． （2分） 所以b 223a c -，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（4分） (2)假设存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线y kx m =+，使得以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=．由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，（6分） Δ=222(8)4(34)(412)km k m -+->0，化简得2234k m +>．设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则1x +2x =2834kmk -+，1x 2x =2241234m k -+．因为0OA OB ⋅=，所以1x 2x +1y 2y =0，1x 2x +(k 1x +m )(k 2x +m )=0，(1+2k )·2241234m k -+−km ·2834km k++2m =0， 化简得，72m =12+122k ，（8分）将2m =212127k +代入3+42k >2m 得，3+42k >212127k +，此不等式恒成立．（9分）因为|AB 221212(1)[()4]k x x x x ++-， （11分） 当且仅当2k =34时等号成立，所以|AB |max 7． 故以AB 为直径的圆的面积的最大值为π×27=74π．（12分）21．【解析】(1)因为()f x ' =1x −2(1)k x + ，所以(1)f =5−2k ，(1)f '=1−4k， 又曲线y =()f x 在点(1，(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直， 故1−4k=2，解得k =−4，所以(1)f =7，(1)f '=2． 所以曲线y=()f x 在点(1，(1)f )处的切线方程为y −7=2(x −1)，即2x −y +5=0．（5分） (2)当x ∈(1，+∞)时，()f x >0恒成立等价于5+ln x >1kxx +恒成立， 等价于当x ∈(1，+∞)时，k <(1)(5ln )x x x++恒成立．（6分）设()h x =(1)(5ln )x x x ++(x >1)，则()h x '=24ln x xx -- (x >1)，记()p x =x −4−ln x (x >1)，则p '(x )=1−1x=1x x ->0，所以()p x 在x ∈(1，+∞)上单调递增．又(5)p =1−ln 5<0，(6)p =2−ln 6>0，所以()p x 在x ∈(1，+∞)上存在唯一的实数根m ∈(5，6)，（9分） 使得()p m =m −4−ln m =0，①因此当x ∈(1，m )时，()p x <0，即()h x '<0，则()h x 在x ∈(1，m )上单调递减； 当x ∈(m ，+∞)时，()p x >0，即()h x '>0，则()h x 在x ∈(m ，+∞)上单调递增．所以当x ∈(1，+∞)时，()h x min =()h m =(1)(5ln )m m m++，（10分）由①可得ln m =m −4，所以()h m =(1)(1)m m m ++=m +1m+2．因为m ∈(5，6)，m +1m+2∈(365，496)，又h 2，p 22)>0，所以m ∈(5，2)， 因此()h m ∈(365，8)，又k ∈N*，所以k max =7．（12分） 【备注】函数的单调性与极值、最值的应用是高考命题的重点与热点，预测2017年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查，但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂，因而本题在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的变化，在不增加考生理解题意难度的基础上，力争更多地考查知识与能力．22．【解析】(1)ρθ+4π)可化为ρ=2cos θ−2sin θ，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+(y +1)2=2．将直线l 的参数方程化为132213x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，代入(x −1)2+(y +1)2=2，得2t −23t −1=0，设方程的解为1t ，2t ，则1t +2t =23，1t 2t =−1， 因而|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=2121222210()22||3t t t t t t +-+．（5分） (2)将直线l 的参数方程化为普通方程得2x −y −1=0， 设M 2cos θ，−2sin θ)，由点到直线的距离公式， 得M 到直线AB 的距离为 d|224cos 2sin |θθ+-=，最大值为23，由(1)知 |AB |=|P A |+|PB |=2103， 因而∆MAB 面积的最大值为1522101052339⨯=．（10分） 23．【解析】(1)当m =−1时，()f x =|x +1|+|x −1|．由()f x ≥4得|x +1|+|x −1|≥4．解法一 当x ≤−1时，不等式化为−x −1−x +1≥4， 即−2x ≥4，解集为(−∞，−2]．当−1<x <1时，不等式化为1+x +1−x >4，不成立， 当x ≥1时，不等式化为x +1+x −1≥4， 即2x ≥4，解集为[2，+∞)．综上，()f x ≥4的解集为(−∞，−2]∪[2，+∞)．（5分）解法二 因为|x −1|+|x +1|表示数轴上的动点x 到两个定点−1，1的距离之和， 数形结合可知当x ≤−2或x ≥2时，()f x ≥4． 故()f x ≥4的解集为(−∞，−2]∪[2，+∞)．（5分）(2)当m =1时，()f x =2|x −1|不满足题意．当m <1时，()f x =21,1,12(1),1x m x m m m x x m x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为1−m ， 依题意得1−m ≥3，即m ≤−2．当m >1时，()f x =21,11,12(1),x m x m x m x m x m -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为m −1． 依题意得m −1≥3，即m ≥4．综上，实数m 的取值范围是(−∞，−2]∪[4，+∞)．（10分）。