函数间断点的图解法
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函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
间断点及其分类ppt课件
, x0 , x0 ，
x
s
in
1 x
1,
x0
∵ f (00) lim sin x 1， f (00) lim (xsin 1 1) 1，
x0 x
x0
x
∴ lim f (x) 1 ，但 lim f (x) 1 f (0) 0 ，
x0
x0
∴点 x0 是 f (x) 的可去间断点。
若改变定义： f (0) 1 ，则 f (x) 在点x 0 处连续。
x1
x1
1
x
0，
1e1x
lim f (x) lim 1 1 ，
x1
Байду номын сангаас
x1
x
1e1x
∴ x1为跳跃间断点。
8
（2）
f
(
x)
(
x
1)
arc
tan
x
1 2
1
,
x 1 .
x , x 1
解： f (x) 是分段函数，x 1 是“分界点”。
当 x 1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续
的结论，知 f (x) 在(, 1), (1, 1), (1, ) 内连续。
x 1
x 1
x2 1
∴ lim f (x) 不存在，
x 1
故 x 1为跳跃间断点。
10
1.5.5 闭区间上连续函数的性质
定理 4（有界性定理） 设 f C[a, b] ，则 f 在 [a, b] 上有界，即 M 0 ，x [a, b] ，有 f (x) M 。
注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。 例如： f (x) 1C(0, 1) ，但f (x) 在(0, 1) 内无界。 x
高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点
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20XX.XX.XX
高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人：
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续， 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
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THANK YOU
汇报人：
连续函数的应用
微积分：连续 函数是微积分 的基础，用于 计算面积、体
积等
物理：连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程：连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济：连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点：函数在某点处没有定义的点 间断点类型：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等 可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值 无穷间断点：函数在该点处极限不存在 振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一，它 决定了函数的光滑 程度和可导性
20XX.XX.XX
高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人：
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续， 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
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汇报人：
连续函数的应用
微积分：连续 函数是微积分 的基础，用于 计算面积、体
积等
物理：连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程：连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济：连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点：函数在某点处没有定义的点 间断点类型：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等 可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值 无穷间断点：函数在该点处极限不存在 振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一，它 决定了函数的光滑 程度和可导性
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
《二函数的间断点》课件
第二类间断点
定义
在某点附近，函数至少有一个极 限不存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{y}{x}$在点$(0, 0)$处。
分析
在点$(0, 0)$附近，$y$的极限不存 在，因为$x$不能为0。
跳跃间断点
定义
01
在某点附近，函数值的左右极限不相等。
举例
02
函数$f(x, y) = left{ begin{array}{ll} x + y, & x + y > 0 xy, &
连续。这些方法对于理解和分析函数的性质非常有帮助。
03
二元函数的间断点类型
第一类间断点
01
02
03
定义
在某点附近，函数极限都 存在，但在该点函数值不 存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$ 在原点$(0, 0)$处。
分析
在原点附近，函数极限为 0，但原点处函数值不存 在。
二元函数连续性的判定方法
总结词
判断一个二元函数在某点是否连续的方法包括，利用连续性的定义、利用极限的运算法 则和性质、利用复合函数的连续性等。
详细描述
根据连续性的定义，可以通过计算函数在该点的极限值并与该点的函数值进行比较来判 断函数是否连续。此外，可以利用极限的运算法则和性质来判断函数的极限是否存在， 从而判断函数的连续性。对于复合函数，可以利用复合函数的连续性来判断原函数是否
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在这一点有确定的左右极限 ，但该点处的函数值可能不存在 。
第二类间断点
函数在这一点没有确定的左右极 限，或者左右极限不相等。
《间断点及其分类》课件
分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
函数间断点精品课件
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
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y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
函数的间断点课件
函数间断点是指函数在某一点处不连续的点，即函数在该点的左 右极限不相等或不存在。
函数间断点的分类
根据左右极限的性质，函数间断点可以分为可去间断点、跳跃间断 点和无穷间断点等类型。
函数间断点的判断方法
通过计算函数在某一点的左右极限，比较它们的值或是否存在，可 以判断该点是否为间断点。
对函数间断点的思考
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在间断点的左右极限都存在 ，但极限值不相等。
第二类间断点
函数在间断点的左右极限存在， 但至少有一个极限值为无穷大。
函数间断点的判断方法
利用极限的定义判断
如果函数在某一点的左右极限都存在且相等，则该点是函 数的连续点；如果左右极限存在但不相等，或者极限不存 在，则该点是函数的间断点。
函数间断点与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，而间断点则是连续性的破坏。 因此，研究函数的间断点有助于深入理解函数的连续性。
函数间断点在数学中的应用
在数学中，函数的间断点常常出现在一些重要的概念和定理中，例如函数的可导性、积分 和级数等。因此，掌握函数的间断点对于深入理解数学概念和定理也是非常重要的。
特点
可去间断点在函数图像上 表现为一个“尖点”，即 函数值在间断点处不连续 ，但左右极限相等。
例子
$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处为可去间断点。
跳跃间断点
定义
在第一类间断点中，如果函数在 间断点的左右极限不相等，则称
此间断点为跳跃间断点。
特点
跳跃间断点在函数图像上表现为一 个“断崖”，即函数值在间断点处 不连续，且左右极限也不相等。
撞、断裂等。
在其他领域的应用
函数间断点的分类
根据左右极限的性质，函数间断点可以分为可去间断点、跳跃间断 点和无穷间断点等类型。
函数间断点的判断方法
通过计算函数在某一点的左右极限，比较它们的值或是否存在，可 以判断该点是否为间断点。
对函数间断点的思考
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在间断点的左右极限都存在 ，但极限值不相等。
第二类间断点
函数在间断点的左右极限存在， 但至少有一个极限值为无穷大。
函数间断点的判断方法
利用极限的定义判断
如果函数在某一点的左右极限都存在且相等，则该点是函 数的连续点；如果左右极限存在但不相等，或者极限不存 在，则该点是函数的间断点。
函数间断点与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，而间断点则是连续性的破坏。 因此，研究函数的间断点有助于深入理解函数的连续性。
函数间断点在数学中的应用
在数学中，函数的间断点常常出现在一些重要的概念和定理中，例如函数的可导性、积分 和级数等。因此，掌握函数的间断点对于深入理解数学概念和定理也是非常重要的。
特点
可去间断点在函数图像上 表现为一个“尖点”，即 函数值在间断点处不连续 ，但左右极限相等。
例子
$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处为可去间断点。
跳跃间断点
定义
在第一类间断点中，如果函数在 间断点的左右极限不相等，则称
此间断点为跳跃间断点。
特点
跳跃间断点在函数图像上表现为一 个“断崖”，即函数值在间断点处 不连续，且左右极限也不相等。
撞、断裂等。
在其他领域的应用
§1.8 函数的连续性与间断点
lim f ( x ) = lim cos x = 1,
x →0− x → 0−
lim f ( x ) = lim(a + x ) = a , + +
x→0 x→0
要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0), ⇒ a = 1,
故当且仅当 a = 1时, 函数 f ( x )在 x = 0处连续 . 时
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线
15
例如, 有理整函数 多项式) 多项式 例如, 有理整函数(多项式
P ( x ) = a0 + a1 x + L + an x
x → x0
n
∀x0 ∈ ( −∞ , + ∞ ) , lim P ( x ) = P ( x0 ) 第五节中已证
x→0
13
4. 连续函数 连续函数(continous function)与连续区间 与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 连续函数,或称函数在该区间上连续. continuous 这时也称该区间为 连续区间. 连续区间.
1 证 Q lim x sin = 0, x →0 x
x ≠ 0, x = 0,
在x = 0
又 f ( 0) = 0, lim f ( x ) = f (0), x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续 .
8
3. 左、右连续
若 lim f ( x ) = f ( x0 ) ( f ( x0 − 0) = f ( x0 ) ), x→ x −0
x →0− x → 0−
lim f ( x ) = lim(a + x ) = a , + +
x→0 x→0
要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0), ⇒ a = 1,
故当且仅当 a = 1时, 函数 f ( x )在 x = 0处连续 . 时
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线
15
例如, 有理整函数 多项式) 多项式 例如, 有理整函数(多项式
P ( x ) = a0 + a1 x + L + an x
x → x0
n
∀x0 ∈ ( −∞ , + ∞ ) , lim P ( x ) = P ( x0 ) 第五节中已证
x→0
13
4. 连续函数 连续函数(continous function)与连续区间 与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 连续函数,或称函数在该区间上连续. continuous 这时也称该区间为 连续区间. 连续区间.
1 证 Q lim x sin = 0, x →0 x
x ≠ 0, x = 0,
在x = 0
又 f ( 0) = 0, lim f ( x ) = f (0), x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续 .
8
3. 左、右连续
若 lim f ( x ) = f ( x0 ) ( f ( x0 − 0) = f ( x0 ) ), x→ x −0
函数的间断点(PPT课件)
因为当x >1时，f (x) = x+1 所以
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
f (x)=x2 2 1 1 f (x)=x+1
x=1 是函数的第一类间断点，
且为跳跃间断点.
小结
如果函数 f (x) 在 x0 点处不连续， 即 x0 是间断点。 可去的间断点---x0点的左右极限 存在且相等 跳跃间断点---x0点的左右极限存 在不相等 无穷间断点---x0点的左右极限至 少有一个等于∞ … …
x x0
称x0是函数 f(x) 的 可去间断点，
2）
x x0
lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
称x0是函数 f(x) 的 跳跃间断点，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的间断 点？
x0 x0
如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即是 x0 函 数的间断点，
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断) 1） lim f ( x ) 或
第一类 间断点 间断点 的分类 第二类 间断点
F(x)
x
3. lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
函数的间断点 ？
x0 x0 如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即 x0 是函 数的间断点，
1）
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断)
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
间 断 点 的 分 类
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函数间断点的图解法
李小平
(株洲职业技术学院 株洲 412001)
在高等数学教学中，当讲到函数的连续性概念时，就要讲到第一类间断点和第二类间断点的概念，倘若用文字来说明它们的区别，学生是很难理解透彻，倘若将抽象问题具体化，用图像的方法来说明，其教学效果是显著的。
1、间断点的概念
根据函数()y f x =在点0x 处的极限情况，函数的间断点可分为两类：
①00lim ()x x f x →+、00
lim ()x x f x →−都存在的间断点，就是第一类间断点； ②不为第一类间断点的间断点，就是第二类间断点[1]。
第一类间断点的定义，学生从字面上可以理解，但第二类间断点的定义，太抽象了，单从定义上看，学生难以接受，理解不透彻，教学中需要从其他方面着手帮助学生理解，直观的图像法是最好的教学手段，下面讲到的就是第一、二类函数间断点的图像和实例。
2、用图像来说明
2.1第一类间断点的图像
以下图1至图4是第一类间断点的图像。
对图1来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，00lim ()x x f x →+=00
lim ()x x f x →−，但0()f x 不存在。
例如2(,2)()2(2,)
x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩，函数()f x 在2x =处为第一类间断点（因为函数
()f x 在2x =时未定义）。
对图2来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，000
lim ()()x x f x f x →−=，但
[作者简介]：李小平，株洲职业技术学院副教授、程序员。
0000
lim ()lim ()x x x x f x f x →+→−≠ 例如2
(,2]()3(2,)x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩，函数()f x 在2x =处为第一类间断点。
对图3来说：与图1类似，00lim ()x x f x →+、00
lim ()x x f x →−、0()f x 都存在，但00lim ()x x f x →+=00
lim ()x x f x →−0()f x ≠ 例如2(,2)()1022(2,)x x f x x x x ⎧∈−∞⎪==⎨⎪∈+∞⎩
当时，函数()f x 在2x =处为第一类间断点。
对图4来说：与图2类似，00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →−都存在，000
lim ()()x x f x f x →+=，但0000
lim ()lim ()x x x x f x f x →+→−≠ 例如2(,2()3[2,)
x x f x x x ⎧∈−∞=⎨∈+∞⎩），函数()f x 在2x =处为第一类间断点。
2.2第二类间断点的图像
以下图5至图7是第二类间断点的图像。
对图5来说：000lim ()()x x f x f x →−=、00lim ()x x f x →+=+∞（或00
lim ()x x f x →+=−∞），即00lim ()x x f x →+不存在。
例如(,1]()1(1,)1
x f x x x ∈−∞=⎨∈+∞⎪−⎩，函数()f x 在1x =处为第二类间断点。
对图6来说：类似图5，000lim ()()x x f x f x →+=、00
lim ()x x f x →−=+∞（或00lim ()x x f x →−=−∞），即00
lim ()x x f x →−不存在。
例如1[0,1]1()(1,)x x f x x ⎧∈⎪−=∈+∞，函数()f x 在1x =处为第二类间断点。
对图7来说：00lim ()x x f x →−=+∞（或00lim ()x x f x →−=−∞）、00
lim ()x x f x →+=−∞（或00lim ()x x f x →+=+∞），即函数()y f x =在0x 的左右极限都不存在。
例如2
1(,)2()3(,)22x x f x tgx x ππππ⎧∈−∞⎪−⎪=⎨⎪∈⎪⎩
，函数()f x 在2x π=处为第二类间断点。
3、图解法的优缺点
3.1优点
①可以帮助学生更好地理解函数连续性的有关概念，图像法比文字定义法更具体；
②图像法可以帮助学生更好地复习左右极限知识，函数是否有左右极限，一目了然；
③培养学生在高等数学中应用数形结合的能力，为今后的学习做了一个很好的开端，增强了学生对学习的自信心，克服了畏惧心里；
④培养学生分析实际问题的能力——在高等数学中如何做到从抽象思维到形象思维、再从形象思维回到抽象思维的分析能力，避免了学生数学基础差、教师上课学生难以理解的尴尬局面；
⑤培养了学生严密的数学思维能力。
3.2不足之处
因函数间断点的教学不是教材中的重点内容，课堂上占用了主课时间，影响了教学进度，但它对主课内容所起的辅助作用相当大。
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奖学金对获奖者而言不仅是经济上的奖励，更重要是一种荣誉，是对前一阶段表现的肯定。
要让学生全面了解奖学金的标准和评比方法，使学生自觉主动用奖学金的评定标准内化自己的行动。
奖学金评定的过程是学生自我回顾、自我评价、发现问题的过程，也是受教育的过程，奖学金评定中反映出来关于学生思想道德、学习态度、生活秩序等方面的信息，可以成为学生思想政治工作再输出。
奖学金评定结束后，应召开表彰大会对获奖者进行宣传，并对获奖者进行引导和教育，促使获奖者合理使用奖学金，在学生中树立标杆形象。
5、让学生真正参与到奖学金的评定中来
确保奖学金评定过程的公平、公正，邀请学生参加评奖的过程，并且让更多的奖学金实现差额产生，体现奖学金的竞争性而不仅仅根据一些固定的指标一刀切排个座。
科学的评分、审核、公开、回避、时效、申诉程序是保障奖学金评定公平的重要措施。
在奖学金评定评分、评定、申诉这几个环节应组织专门的小组，这些小组中要有学生成员。
评分主要针对主要是在奖学金评定前对学生的专业素质和综合素质的量化过程，这一过程一般按照统一标准统一实施，确保奖学金评定的前提是统一；评定主要指审核学生的申请材料确定那些同学可以申请奖学金，这一过程除了传统的资格审查外，如果进行答辩、差额产生奖学金候选人对学生的激励作用将更大，也能使学生明白相互之间的差距，便于学生找准努力方向。