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第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题可能用到的物理常量和公式：=；2π1、（15岛，卸载后空车返回。
吃泡面大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。
空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，（1（2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？（3请给出发电机的平均输出功率P 与题给的其它物理量的关系。
2、（15分）如图a ，AB 为一根均质细杆，质量为m ，长度为2l ；杆上端B 通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O ，绳长为1l 。
开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖直面内。
（1）现对杆上的D 点沿水平方向施加一瞬时冲量I ，若在施加冲量后的瞬间，B 点绕悬点O 转动的角速度和杆绕其质心转动的角速度相同，求D 点到B 点的距离和B 点绕悬点O 转动的初始角速度0ω。
（21θ和2θ（如图b 所示），绳绕固定点O 和杆绕其质心转动的角速度分别为1ω和2ω，求绳绕固定点O 和杆绕其质心转动的角加速度1α和2α3、（15分）火星大气可视为仅由很稀薄的2CO 组成，此大气的摩尔质量记为μ，且同一高度的大气可视为处于平衡态的理想气体。
火星质量为m M （远大于火星大气总质量），半径为m R 。
假设火星大气的质量密度与距离火星表面的高度h 的关系为 10()(1)n mh h R ρρ-=+ 其中0ρ为常量，(4)n n >为常数。
（1）求火星大气温度()T h 随高度h 变化的表达式。
（2）为了对火星表面进行探测，需将一质量为t m 、质量密度较大的着陆器释放到火星表面。
在某一远小于m R 的高度处将该着陆器由静止开始释放，经过时间l t ，着陆器落到火星表面。
全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分160分）一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。
平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。
平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。
一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。
平板静止在其平衡位置。
水球B 与平板PQ 的质量相等。
现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。
已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。
要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2/8.9s m g =二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。
AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。
BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。
当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。
BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。
求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。
容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。
隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。
整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。
初始时将活塞B 用销钉固定在图示的位置，隔板M 固定在容器PQ 处，使a 、b 两室体积都等于V 0；1K 、2K 关闭。
33届物理竞赛复赛试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：第33届物理竞赛复赛试题将会考察参赛者在物理知识和解题能力方面的实力。
本次考试难度适中，题目设计涵盖了力学、热学、光学、电磁学等各个领域的知识点。
以下是本次复赛试题的部分内容，希望可以帮助参赛者更好地备战。
一、力学部分1. 一辆质量为m的汽车以速度v行驶在水平路面上，其动能为多少？2. 一个质量为m的物体从高为h的斜面上滑下，当物体到达底部时，其速度为多少？3. 一个质点做直线运动，位置随时间t的变化满足公式x(t)=At^2+Bt+C，求该质点的加速度a(t)是多少？1. 一个理想气体的内能与温度之间的关系满足U = 3/2nRT，求该气体的热容比Cv / Cp是多少？2. 一个装满理想气体的容器，容器与外界热源完全绝缘，气体的体积变小了一半，气体的内能变化了多少？1. 一束光射入玻璃介质，入射角为30度，折射角为20度，求玻璃的折射率是多少？2. 一块凸透镜的焦距为10cm，物体放在焦距的前方10cm处，求成像的位置是多少？1. 一根长为L的直导线通以电流I，求该导线周围的磁感应强度是多少？2. 一个电容器的电容为C，电压为V，求电容器中储存的电荷量是多少？以上仅为部分试题内容，参赛者在考试时需要结合物理知识和解题技巧进行答题。
希望所有参赛者都能在本次竞赛中取得优异的成绩，加油！第二篇示例：第33届物理竞赛复赛试题欢迎参加第33届物理竞赛复赛！本次试题共分为三部分，包括选择题、填空题和解答题。
希望各位选手发扬科学精神，全力以赴，展现自己的物理才能。
祝你们取得优异的成绩！选择题：1. 下列哪个物理现象不是经典力学能够解释的？A. 光的干涉与衍射B. 行星的运动C. 惯性力的作用D. 弹性碰撞答案：A. 光的干涉与衍射2. 在真空中，光速的数值大小为多少？A. 300,000米/秒B. 200,000米/秒C. 400,000米/秒D. 500,000米/秒答案：A. 300,000米/秒3. 一个物体的质量是10kg，如果它处于地球表面，那么它的重力大小为多少？A. 98NB. 100NC. 105ND. 110N答案：A. 98N填空题：4. 一个在真空中的光波的波长为500nm，求它的频率。
第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷〕f 5678总分910111213141516本卷共M 题，满分200企 一、选择题.本题共5小题,每小题6分.在毎小題给出养」个选项 中■有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合霆意.把符 合题意的选项前面的英文字母写在毎小题后面的方tS 号耳全部 选对的得勺分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得。
分.h 如图，球心枉坐标很点0的球面上有三个彼此绝缘的金属环, 它们分别与—y 平心 7平Iin M Y 平血与球面的交銭（大 ED 章合「各白通有大小相等的电流，电流的流向如图中箭头所 示。
必标原点处的磁场方向与北轴j紬w 轴的夹您分别足B* ancsjnt-已rr&in —-11 aicsin arcsin 亠,-arcsin * A /3 运D. ai<r &in arcsin — t arcsin丄 為 打畐2. 从褛顶边缘以大小为先的初速度竖玄上抛 小球;经过切时间后在楼顶边建讥爭1E 开始释放另…小球。
若要求两小球同时落地,忽略空气阻力，则珂的取值范貳三兀出点的得分阅卷复核I ------------------------- -----arcfiin —r物螂竟赛预赛试卷第】页（共「页）3.如图価牛学径相同的小陳（构成-个体系）置于水平桌面的-条直线上，其中一个是徴永碱琢（新有北擁W利稱极巧’其金三个足钢球;致球与右边两个钢球相互接触二让另一钢球在敛球左边一定距离处从静止释放,逐渐加敢直奎与抜球碰撞毗时最右边的钢球立即以很大的速度战弾开"卅于整个过程的始来，下列说法正确的是工休系动能増加，体系碍能减少乩松系动能减少，体系磁能增加C.休系动能减少.体系磁能减少a休系动能墟加，体系E?•能増加如图，一带£电荷Q的绝缘小球]可視为点电荷）固定呑）t滑絶燥平根上，另-“绝缘小球（可視为点电荷）听带电荷用（其值可任盍选耗）表代可在平桓上移动、并逹在轻弹簧的一燭，轻弹簧的另一端连在固宦拦椀卜昇踴小球的球心在弹薇的轴线上口不考虑可移动小球与固走小球相互接触的情形，且弹賞的光变处于弹性限度内C关于可移动小球的平衡位矍，下列说法正确的星A,若謹有一个平衡的位骨B.若“匸趴没冇平衡位宜G若v<O t可能冇一个或两个平衡位覺D.若7<0,没有平衡位臂I 】乞如鬲，小物块a』和匚静冏于光滑冰平地面上「现让玄以速度V向右运动+与b发生弹性if fit磁后h与瓷也侵牛弹性正确:.若h和c的瞳爼可任意选释，碰后匚的摄大速度接近于A. 2V H, 3V C,4V D 5V [ 1二”填空题.把答案填在题中的横线上.只宴给出结果、不需写出求俺结果的过理•6,（10分）20茁年2月11 R美国国家科学基金会区布：美国的”激光于涉吋为波天立台・心£0）的网台尊生引力波捱测器誉次直接探测到了引力波口该引力波足由得分阅卷夏核门亿光年之外的两颗黑机在合并的兹后阶段产住的。
第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2016 年 9 月 17 日一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为 R 1 、R 2 ，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。
一束在真空中波长为 λ 的可见光沿 Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。
R 1 和 R 2 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为 n 0 = 1.00 。
试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏） 介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折 射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变。
b. sin x ≈ x , 当 x << 1 。
参考解答：如图 a 所示，光线 1 在上侧柱面 P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ ，折 射角为 θ0 ，由折射定律有n sin θ = n 0 sin θ0①其中 n 和 n 0 分别玻璃与空气的折射率。
光线在下侧柱面 Q 点处反射，入射角 与反射角分别为 i 和 i ' ，由反射定律有i = i ' ②光线在下侧柱面 Q 点的反射线交上侧柱面于 P ' 点，并由 P ' 点向上侧柱面折射，折射光线用1' 表 示；光线1'' 正好与 P ' 点处的入射光线 2 的反射光线 2' 相遇，发生干涉。
考虑光波反射时的半波损 失，光线1'' 与光线 2' 在 P ' 点处光程差 ∆L 为⎡λ ⎤ λ∆L = ⎢⎣n (-z p ) + n 0 (PQ + P 'Q) + 2 ⎥⎦ - n (-z p ' ) = n 0 (PQ + P 'Q) - n (z p - z p ' ) +2③( ) 式中 λ 为入射光线在真空中的波长， n 0 = 1.00 。
全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令 表达质子的质量, 和 分别表达质子的初速度和到达a 球球面处的速度, 表达元电荷, 由能量守恒可知2201122mv mv eU =+ （1）由于a 不动, 可取其球心 为原点, 由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心, 所以此力对原点的力矩始终为零, 质子对 点的角动量守恒。
所求 的最大值相应于质子到达a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。
以 表达 的最大值, 由角动量守恒有 max 0mv l mvR = （2）由式（1）、（2）可得20max 1/2eU l R mv =- （3） 代入数据, 可得max 22l R = （4） 若把质子换成电子, 则如图复解20-1-2所示, 此时式（1）中 改为 。
同理可求得 max 62l R =（5）评分标准: 本题15分。
式（1）、（2）各4分, 式（4）2分, 式（5）5分。
二、参考解答在温度为 时, 气柱中的空气的压强和体积分别为, （1）1C V lS = （2）当气柱中空气的温度升高时, 气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。
设温度升高届时 , 气柱右侧水银刚好所有压到B 管中, 使管中水银高度增大C BbS h S ∆= （3） 由此导致气柱中空气体积的增大量为C V bS '∆= （4）与此同时, 气柱左侧的水银也有一部分进入A 管, 进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大 , 使两支管的压强平衡, 由此导致气柱空气体积增大量为A V hS ''∆=∆ （5）所以, 当温度为 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+∆+∆ （6）21p p h =+∆ （7）由状态方程知112212p V p V T T = （8） 由以上各式, 代入数据可得2347.7T =K （9）此值小于题给的最终温度 K, 所以温度将继续升高。
第33届全国中学生物理竞赛决赛试卷第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题可能用到的物理常量和公式：真空中的光速$c=2.998\times10^8\text{m/s}$；地球表面重力加速度大小为$g$；普朗克常量为$h$，$h=2\pi\hbar$；int\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C,x<1$。
1、（15分）山西大同某煤矿相对于秦皇岛的高度为$h_c$。
质量为$m_t$的火车载有质量为$m_c$的煤，从大同沿大秦铁路行驶路程$l$后到达秦皇岛，卸载后空车返回。
从大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平均转换效率为$\eta_1$，电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。
空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化为对外做功的平均转换效率为$\eta_2$。
假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，比例系数为常数$\mu$，火车由大同出发时携带的电能为零。
1）若空车返回大同时还有剩余的电能，求该电能$E$。
2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？3）已知火车在从大同到达秦皇岛的铁轨上运行的平均速率为$v$，请给出发电机的平均输出功率$P$与题给的其它物理量的关系。
2、（15分）如图a，AB为一根均质细杆，质量为$m$，长度为$l$；杆上端B通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O，绳长为$l_1$。
开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖直面内。
1）现对杆上的D点沿水平方向施加一瞬时冲量$I$，若在施加冲量后的瞬间，B点绕悬点O转动的角速度和杆绕其质心转动的角速度相同，求D点到B点的距离和B点绕悬点O转动的初始角速度$\omega$。
2）设在某时候，绳和杆与竖直方向的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$（如图b所示），绳绕固定点O和杆绕其质心转动的角速度分别为$\omega_1$和$\omega_2$，求绳绕固定点O和杆绕其质心转动的角加速度$\alpha_1$和$\alpha_2$。
第33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2016 年9 月17 日一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1 、R2 ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点 O 为直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O的母线为 Y 轴。
一束在真空中波长为 ? 的可见光沿 Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
R1 和R2 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为n0 ?。
试推导第k 级亮纹在 X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin x ? x, 当x ?? 1 。
二、（20 分）某秋天清晨，气温为?C ，一加水员到实验园区给一内径为 m 、高为 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。
罐体导热良好。
罐外有一内径为cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。
加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。
此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至 ?C ，问此时观察柱内水位为多少假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少求这个过程中罐内空气的热容量。
已 知 罐 外 气 压 始 终 为 标 准 大 气 压50 1.0110a p p =⨯, 水 在 ?C 时 的 密 度 为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 ? ? ? 10?4 K ?1，重力加速度大小为29.80g m s -=⋅，绝对零度为 ??C.三、（20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。
选择题：在双缝干涉实验中，当两缝间距增大时，干涉条纹的间距会如何变化？A. 增大B. 减小（正确答案）C. 不变D. 无法确定一个物体在恒力作用下做匀加速直线运动，如果突然撤去这个力，物体的运动状态将如何变化？A. 继续做匀加速直线运动B. 立即停止运动C. 先做匀减速直线运动，后静止（正确答案）D. 做匀速圆周运动关于光电效应，下列说法正确的是？A. 任何频率的光都能使金属发生光电效应B. 入射光强度越大，单位时间内逸出的光电子数越多（正确答案）C. 入射光频率越高，光电子的最大初动能越小D. 逸出光电子的速度与入射光的频率成正比在电磁感应现象中，下列说法正确的是？A. 感应电流的磁场总是与引起感应电流的磁场方向相同B. 感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化（正确答案）C. 感应电流的磁场总是与引起感应电流的磁场方向相反D. 感应电流的大小与线圈的匝数无关在电路理论中，关于基尔霍夫定律，下列说法正确的是？A. 基尔霍夫电流定律适用于任何电路，包括含有电源的电路（正确答案）B. 基尔霍夫电压定律只适用于不含电源的电路C. 基尔霍夫定律只适用于直流电路，不适用于交流电路D. 基尔霍夫定律是电路分析的基本定律之一，但只适用于简单电路关于波动，下列说法正确的是？A. 横波的传播方向与质点的振动方向相同B. 纵波的传播方向与质点的振动方向垂直C. 机械波在传播过程中，质点不会随波迁移（正确答案）D. 波在传播过程中，频率和波长都会发生变化在相对论中，关于时间膨胀效应，下列说法正确的是？A. 当物体以接近光速运动时，其内部时间相对于静止观察者会减慢（正确答案）B. 时间膨胀效应只存在于理论中，实际观测中无法验证C. 时间膨胀效应与物体的运动状态无关D. 时间膨胀效应只适用于高速运动的物体，低速运动时不存在关于量子物理，下列说法正确的是？A. 量子力学中的波函数可以精确描述粒子的位置和动量B. 不确定性原理表明，无法同时精确测量粒子的位置和动量（正确答案）C. 量子隧穿效应是指粒子无法穿越经典理论预言的势垒D. 量子纠缠是一种经典物理现象，与量子力学无关。
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z如图a 入射角为sin n θ=其中n 和n 面Q 射定律有i 由P '发生干涉。
(L n ⎡∆=-⎢⎣式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。
由题意，1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有0θ≈，1i i '=<<①式成为00n n θθ≈④ 亦即010n θθ>>≈≈⑤在傍轴条件下，柱面上P 、Q 两处切平面的法线近似平行，因此010i i θ'>>=≈≈⑥从而，在P 、Q 两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z 轴，从而P '与P 点近似重合，即p p z z '≈⑦且PQ 近似平行于Z 轴，因而长度P Q P Q PQ z z '≈≈-⑧由③⑧式得()00P Q 2PQ 222L n n z z λλ∆=⋅+=-+⑨可以将⑨式右端的-z 坐标近似用-x 或-y 坐标表出。
为此，引入一个近似公式。
e ，即端的2e ，故22r e R=?PQ//Z 点的根据?e 0 2n =若P 、Q 两点在XOY 平面的投影点(,)x y 落在第k 级亮(暗)纹上，则L ∆须满足条件 22012, 1,2,, 12(,0,1,2,, 2k k x y L n R R k k λλλ=⎧⎛⎫⎪∆=++=⎨ ⎪+=⎝⎭⎪⎩亮环暗环??式中亮环条件对应于第k 级亮纹上的点(,,)x y z 的x -、y -坐标满足的方程。
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为0 1.00n =。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin , 1x x x ≈<<当。
参考解答：如图a 所示，光线1在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为0θ，由折射定律有00sin sin n n θθ= ①其中n 和0n 分别玻璃与空气的折射率。
光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i '，由反射定律有i i '= ②光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表示；光线1''正好与P '点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。
考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ∆为p 0p 0p p ()(P Q P Q )()(P Q P Q )()22L n z n n z n n z z λλ''⎡⎤''∆=-+++--=+--+⎢⎥⎣⎦③ 式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。
由题意，1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有0θ≈，1i i '=<<①式成为00n n θθ≈ ④ 亦即010n θθ>>≈≈ ⑤在傍轴条件下， 柱面上P 、Q 两处切平面的法线近似平行，因此010i i θ'>>=≈≈ ⑥从而，在P 、Q 两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z 轴，从而P '与P 点近似重合，即p pz z '≈⑦且PQ 近似平行于Z 轴，因而长度P QP Q PQ z z '≈≈-⑧由③⑧式得()00P Q 2PQ 222L n n z z λλ∆=⋅+=-+⑨可以将⑨式右端的-z 坐标近似用-x 或-y 坐标表出。
为此，引入一个近似公式。
如图b 所示，设置于平面上的柱面透镜与平面之间的空气隙的厚度为e ，柱面半径为R 。
对三边边长分别为R 、R e -和r 的直角三角形有()222=R R e r -+⑩即222Re e r -= ⑪在光线傍轴垂直入射时，e R <<，可略去⑪式左端的2e ，故22r e R = ⑫ 在光线傍轴垂直入射时， 前面已证近似有PQ//Z 轴。
故可将上、下两个柱面上的P 、Q 两点的坐标取为P P (,,)x y z 、Q Q (,,)x y z ，如图c所示。
根据⑫式可知，P 、Q 两点到XOY 切平面的距离分别为21P 12x e z R ==，22Q 22y e z R =-= ⑬ 最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差L ∆为()()0P Q 0122222L n z z n e e λλ∆≈-+=++2222001212 22222x y x y n n R R R R λλ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑭若P 、Q 两点在XOY 平面的投影点(,)x y 落在第k 级亮(暗)纹上，则L ∆须满足条件 22012, 1,2,, 12(),0,1,2,, 2k k x y L n R R k k λλλ=⎧⎛⎫⎪∆=++=⎨ ⎪+=⎝⎭⎪⎩亮环暗环 ⑮ ⑮式中亮环条件对应于第k 级亮纹上的点(,,)x y z 的x -、y -坐标满足的方程。
更具体地，不妨假设12R R >，根据⑮式中的亮环条件，可得第k 级亮纹的方程为 22221, 1,2k kx y k A B +== ⑯它们是椭圆亮环纹，其半长轴与半短轴分别为1,2,k A k ==， 1,2,k B k ==⑰评分参考：①②式各1分，③式2分，④⑤式各1分，⑥式2分，⑦式1分，⑧式2分，⑨⑩⑪⑫式各1分，⑬式2分，⑭式1分，⑮式（亮环条件正确）2分。
二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ︒，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。
罐体导热良好。
罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。
加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。
此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ︒，问此时观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。
已知罐外气压始终为标准大气压501.0110P a p =⨯，水在4.0C ︒时的密度为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为413.0310K κ--=⨯，重力加速度大小为29.80m s g -=⋅，绝对零度为273.15C -︒。
参考解答：（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为000p V nRT =①式中n 为罐内空气的摩尔数，0p 、30π m V =和0277.15K T =分别是此时罐内空气的压强、体积和温度。
至中午时，由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为1p 、1V 和1T ，相应的状态方程为111pV nRT =②式中1297.15K T =。
空气和水的体积都发生变化，使得观察柱中水位发生变化，此时观察柱内水位和罐内水位之差为，101010120122()(+)V V V V T T S S l h S S S κ---∆=++③ 式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，01.00 m l =为早上加水后观测柱内水面的高度，21πm S =、4224π10m S -=⨯分别为罐、观察柱的横截面积。
由力平衡条件有1011p p g h ρ=+∆④式中1101()T T ρρκ=+- ⑤是水在温度为1T 时的密度。
联立①②③④⑤式得关于h ∆的一元二次方程为 2110110000()()()0T gS h p S gV h p V T ρλρλ'∆++∆--= ⑥ 式中1212S S S S S '=+，101()T T λκ=-- ⑦ 解方程⑥得10.812m h ∆== ⑧另一解不合题意，舍去。
由③⑤⑦⑧式和题给数据得 3101010()0.0180m V V S h T T S l κ'-=∆--=- 由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为10101+1.82m V V l h l S -=∆-= ⑨（2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功。
（解法一）早上罐内空气压强50 1.0110Pa p =⨯；中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高h ∆，罐内空气压强升高了3317.91310Pa 7.9110Pap g h ρ∆=∆=⨯=⨯⑩由于0p p ∆<<，可认为在准静态升温过程中，罐内空气平均压强为55011.049510Pa 1.0510Pa2p p p =+∆=⨯=⨯⑪罐内空气体积缩小了30.0180m V ∆= ⑫可见0/1V V ∆<<，这说明⑪式是合理的。
罐内空气对外做功331.88910J 1.910J W p V =∆=-⨯=-⨯⑬（解法二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。
水温为T 时水的密度为01()T T ρρκ=+- ⑩将②③④式中的1V 、1T 和1p 换为V 、T 和p ，利用⑩式得，罐内空气在温度为T 时的状态方程为()()00010010001000()/() 1()gp p V V T T S l S V V S l T T gS l p S T T ρκκρκ=+-+-⎡⎤⎣⎦'-+-=+'+- ⑪由题设数据和前面计算结果可知010()()0.0060T T T T κκ-<-=0101010=0.0057V V V V S l S l --< 这说明⑪式右端分子中与T 有关的项不可略去，而右端分母中与T 有关的项可略去。
于是⑪式可 ()()0001001000100 ()/()gp p V V T T S l S gS l p V V S l T T S ρκρκ=+-+-⎡⎤⎣⎦'=+-+-⎡⎤⎣⎦'利用状态方程，上式可改写成0000101000110()1gnRp V T S l nRS S l p gl S S l VnRS ρκκκρκ-++'=--'⑫ 从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为110000001010001100011010*******11001003()d d 11()()ln 11.89010J 1.9V V V V g nR p V T S l nR S S l W p V Vgl S S l VnR S gl S V nR S g nR nR S V V p V T S l gl S S l g S S l V nR S ρκκκρκκρρκκρκρκ⎡⎤-++⎢⎥'==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥'⎣⎦⎧⎫-⎪⎪'⎡⎤'=----++⎨⎬⎢⎥'⎣⎦⎪⎪-'⎩⎭=-⨯=-⨯⎰⎰310J⑬ （解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。
