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第1篇凝聚态物理学是研究物质在固态、液态、等离子态等凝聚态下的性质和行为的学科。
随着科技的不断发展，凝聚态物理学的研究领域不断扩大，涉及材料科学、电子学、光电子学、纳米技术等多个领域。
为了方便读者了解和掌握凝聚态物理学的基本理论、实验技术和应用，以下是一份凝聚态物理学丛书书目，共计1500字。
一、基础理论篇1.《凝聚态物理学导论》（李林平著）本书系统介绍了凝聚态物理学的基本理论、研究方法和实验技术，包括固体物理、液晶物理、超导物理、半导体物理等内容。
2.《固体物理学》（杨茂春著）本书从固体物理的基本概念入手，详细介绍了固体的电子结构、能带理论、电子态密度、晶格振动、声子、缺陷、磁性和光学性质等。
3.《液晶物理学》（李林平著）本书系统介绍了液晶的基本理论、液晶的光学性质、液晶的物理与化学性质、液晶显示器、液晶材料等内容。
4.《超导物理学》（李林平著）本书详细介绍了超导现象、超导态、超导理论、超导材料、超导应用等内容。
5.《半导体物理学》（张维忠著）本书从半导体材料的基本性质出发，介绍了半导体的能带结构、载流子输运、电子能级、半导体器件、半导体材料等内容。
二、实验技术篇1.《凝聚态物理实验》（王海涛著）本书详细介绍了凝聚态物理实验的基本原理、实验方法和实验技术，包括固体物理、液晶物理、超导物理、半导体物理等实验。
2.《凝聚态物理实验技术》（李林平著）本书系统介绍了凝聚态物理实验的基本技术，包括电子显微镜、X射线衍射、核磁共振、光学显微镜、扫描隧道显微镜等。
3.《凝聚态物理实验方法与应用》（杨茂春著）本书从实验方法的角度，介绍了凝聚态物理实验的基本原理、实验技术和应用，包括固体物理、液晶物理、超导物理、半导体物理等实验。
三、应用篇1.《凝聚态物理在材料科学中的应用》（李林平著）本书介绍了凝聚态物理在材料科学中的应用，包括半导体材料、超导材料、磁性材料、光学材料等。
2.《凝聚态物理在电子学中的应用》（张维忠著）本书详细介绍了凝聚态物理在电子学中的应用，包括半导体器件、集成电路、微电子器件等。
射频学习参考书微波振荡器设计经典英文原版书籍五本1. RF and Microwave Oscillator DesignMichal Odyniec, Artech House, Inc. 20022. Oscillator Design and Computer SimulationRandall W. Rhea, Noble Publishing Corporation, 19953. Crystal Oscillator Circuits, Revised EditionRobert J. Matthys, Krieger Publishing Company, 19924. Crystal Oscillator Design and Temperature CompensationMarvin E. Frerking, Litton Educational Publishing, 19785. Fundamentals of RF Circuit Design with Low Noise OscillatorsJeremy Everard, John Wiley & Sons Ltd, 2001经典中文书籍三本1. 《微波振荡源》陈为怀、李玉梅著，2. 《微波固态振荡原理》潘儒沧、刁育才著，3. 《介质谐振器微波电路》4. 《S参数设计放大器和振荡器》设计实例和设计讲义1. 使用ADS设计VCO讲义2. VCO Design using Ansoft Designer3. Oscillator Basics and Low-Noise Techniques for Microwave Oscillators and VCOs4. Oscillator Phase Noise: A Tutorial5. 东南大学振荡器讲义6. 高頻振盪器之簡介滤波器设计经典中文书籍三本：1. 《微带电路》，清华大学《微带电路》编写组，人民邮电出版社,19792. 《现代微波滤波器的结构与设计》上册，甘本袚、吴万春著，科学出版社，19733. 《现代微波滤波器的结构与设计》下册，甘本袚、吴万春著，科学出版社，1973经典英文原版书籍三本：1. HF Filter Design and Computer SimulationRandall W. Rhea, Noble Publishing Corporation, 19942. Microstrip Filters for RF/Microwave ApplicationsJia-Sheng Hong, M. J. Lancaster, John Wiley & Sons Inc. 20013. Microwave Filters, Impedance Matching networks and Coupling StructuresGeorge L. Matthaei, Leo Young, E. M. T. Jones, Artech House, INC. 1980设计实例：1. ADS2003C关于微波滤波器设计和制作实例（中文56页）2. Ansoft Designer 关于微波滤波器设计和制作实例（英文43页）3. 微带抽头线发夹型滤波器设计4. Practical T echniques for Designing Microstrip Tapped Hairpin Filters on FR4 Laminates5. Design of Band Pass Filters With Ansoft HFSS and Serenade6. 浙大微波滤波器设计讲义微波功率放大器 ( PA ) 设计经典英文原版书籍八本1. Advanced Techniques in RF Power Amplifier DesignSteve C. Cripps, ARTECH HOUSE, INC. 20022. Radio Frequency Transistors and Practical Applications, Second EditionNorman Dye, Helge Granberg, Newnes, 20013. Feedback Linearization of RF Power AmplifiersJOEL L. DAWSON, THOMAS H. 4. LEE, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 20044. High Linearity RF Amplifier DesignPeter B. Kenington, ARTECH HOUSE, INC. 20005. RF Power Amplifier for Wireless CommunicationsSteve C. Cripps, ARTECH HOUSE, INC. 19996. RF Power AmplifiersMihai Albulet, Noble Publishing Corporation, 20017. Distortion in RF Power AmplifiersJoel Vuolevi, Timo Rahkonen, Artech House, Inc. 20038. Microwave Engineering, second editionDavid M. Pozar, JOHN WILEY & SONS, INC.,1998设计讲义：1. 清华大学功放设计讲义2. 东南大学功放设计讲义3. 浙江大学功放设计讲义4. MESFET 功率放大器设计：小信号法。
三重串联四极杆气质联用在生命科学中的应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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聚合物共混改性原理与应用5聚合物共混改性原理与应用51.化学相容性：聚合物共混改性的成功关键在于所选择的聚合物之间的化学相容性。
如果两种聚合物能够形成相互溶解的体系，即聚合物链能够相互扩散并与对方形成强的相互作用力，就可以达到物理共混，从而改变聚合物材料的性能。
2.相互作用力：共混聚合物中，不同聚合物之间的相互作用力起到了关键作用。
常见的相互作用力包括范德华力、氢键、弱键、离子相互作用等。
通过选择合适的相互作用力和控制共混聚合物中的相互作用力强度，可以实现聚合物材料的性能的调控和优化。
3.共混机理：共混聚合物的形成遵循着一定的共混机理。
常见的共混机理包括相互扩散和混合、溶解组成物实现物理相互作用、交联反应实现化学相互作用等。
在共混改性中，了解和理解聚合物共混机理对于实现想要的改性效果至关重要。
1.提高材料性能：通过将不同的聚合物共混在一起，可以使材料具备更多的优点和特性。
例如，将具有较高强度和刚性的聚合物与具有耐磨性和耐氧化性的聚合物共混，可以使材料具备优良的机械性能和耐用性。
2.改善加工性能：将具有较低熔点的聚合物和具有较高熔点的聚合物共混，可以降低材料的熔点和粘度，提高材料的流动性，从而改善材料的加工性能。
这种方法在塑料加工和合成纤维等领域中得到广泛应用。
3.调控界面性能：聚合物共混改性可以调控界面效应，从而改善材料的界面性能。
例如，在聚合物共混体系中添加亲水性或疏水性添加剂，可以改变材料的表面性质，使其具备阻燃性、防水性或亲油性等特性。
4.实现多功能化：通过将具有不同功能的聚合物共混在一起，可以实现材料的多功能化。
例如，将具有导电性的聚合物与具有光学性能的聚合物共混，可以制备出具有导光、导电和防静电等功能的材料，广泛应用于电子和光电器件中。
总之，聚合物共混改性是一种重要的材料改性方法，通过调控聚合物之间的化学和物理相互作用，可以实现材料性能的调控和优化。
在不同领域和应用中，聚合物共混改性具有广泛的研究和应用价值。
The Principles of Polymerization聚合物化学是化学领域的一个重要分支，涉及到诸多化学原理和实践技能。
其中，聚合反应是聚合物化学的核心，它是指将单体与引发剂等反应物混合后，通过化学键的重新排列形成高分子链的过程。
本文将重点介绍聚合反应中的几个关键原理，包括自由基聚合、阴离子聚合、阳离子聚合和环氧基团开环聚合。
自由基聚合自由基聚合是聚合反应中最常见的一种类型。
它的特点在于，引发剂会引发单体中的一个自由基反应，产生新的自由基，这些自由基继续引发其他单体反应，从而形成高分子链。
自由基聚合的反应速度快，适用于许多常见的单体类型，如乙烯、苯乙烯、丙烯酸甲酯等。
此外，自由基聚合的条件也相对宽松，可以在常温下进行。
阴离子聚合阴离子聚合是另一种常见的聚合类型。
在这种反应中，引发剂会引发单体中的一个阴离子反应，产生新的阴离子，这些阴离子继续引发其他单体反应，形成高分子链。
与自由基聚合不同，阴离子聚合的反应速度较慢，并且容易受到水和其他杂质的干扰。
然而，阴离子聚合也具有很多优点，例如可以制备出具有高纯度和高分子量的聚合物。
阳离子聚合阳离子聚合是另一种主要的聚合类型。
在这种反应中，引发剂会引发单体中的一个阳离子反应，产生新的阳离子，这些阳离子继续引发其他单体反应，形成高分子链。
阳离子聚合的反应速度也较慢，并且较为复杂，但仍然被广泛应用于聚合物化学中。
阳离子聚合通常用于制备粘接剂、催化剂和电子器件等。
环氧基团开环聚合环氧基团开环聚合是最后一种要介绍的聚合类型。
在这种反应中，环氧基团会通过引发剂或催化剂的作用，在反应物中断裂，形成新的官能团，这些官能团再与其他单体反应，形成高分子链。
环氧基团开环聚合的反应速度较快，并且可以用于制造各种聚合物，例如环氧树脂、环氧涂料和环氧胶水等。
总而言之，聚合反应是一种重要的化学原理，被广泛应用于许多行业和应用领域。
以上介绍的几种聚合类型都有其自身的优缺点和适用范围。
高分子化学参考书目1. 金关泰.《高分子化学的理论和应用》，中国石化出版社，19972. 黄葆同.《茂金属催化剂及烯烃聚合物》，化学工业出版社，20003. 焦书科, 孙以实.《高分子化学习题及解答》，化学工业出版社，20044. 周其凤, 胡汉杰.《跨世纪的高分子科学高分子化学》，化学工业出版社，20015. 李善君纪才圭等.《高分子光化学原理及应用》第二版，复旦大学出版社，20036. G Odian. Principles of Polymerization, 4 edition, Wiley-Interscience7. 韩哲文.《高分子科学教程》，华东理工大学出版社，20018. 何天白，胡汉杰《海外高分子科学的新进展》，化学工业出版社，19979. 李克友, 张菊华, 向福如. 《高分子合成原理及工艺学》，科学出版社，199910. 王国建.《高分子合成新技术》，化学工业出版社，200411. 李光亮.《有机硅高分子化学》，科学出版社，199912. 周宁琳.《有机硅聚合物导论》，科学出版社，200013. 赵德仁, 张慰盛.《高聚物合成工艺学》第二版，化学工业出版社，199714. 王国建, 肖丽.《高分子基础实验》，同济大学出版社，199915. 潘才元.《高分子化学》，中国科学技术大学出版社，199716. 夏炎.《高分子科学简明教程》，科学出版社，198717. G 奥迪安.《聚合反应原理》，科学出版社，198718. J F 拉贝可《高分子科学实验方法》，科学出版社，198719. 李青山, 王雅珍, 周宁怀. 《微型高分子化学实验》，化学工业出版社，200320. 何卫东.《高分子化学实验》，中国科学技术大学出版社，200321. 梁晖, 卢江.《高分子化学实验》，化学工业出版社，200422. 顾雪蓉, 陆云. 《高分子科学基础》，化学工业出版社，200323. 肖超渤, 胡运华.《高分子化学》，武汉大学出版社，199824. 谭惠民, 罗运军.《超支化聚合物》，化学工业出版社，200525. 廖明义, 陈平主. 《高分子合成材料学》，化学工业出版社，20051高分子物理参考书目1. 胡华强卢秀娟. 《现代高分子物理学（上、下册）》，科学出版社，20012. [法]P G 德热纳.《高分子物理学中的标度概念》（吴大诚等译），化学工业出版社，20023. M Rubinstein, Ralph H Colby.《Polymer Physics》，Oxford University Press4. 董炎明胡晓兰.《高分子物理学习指导》，科学出版社，20055. 冯开才, 李谷, 符若文, 刘振兴.《高分子物理实验》，化学工业出版社，20046. 马德柱等.《高聚物结构与性能》，科学出版社，19957. 杨玉良, 胡汉杰.《跨世纪的高分子科学高分子物理》，化学工业出版社，20018. 李琼芬.《高分子材料学概论》，中国人民大学出版社19869. 张留成.《高分子材料导论》，化学工业出版社，199310. 国家自然科学基金委员会编著.《高分子材料科学》，科学出版社，199411. 邓云祥, 刘振兴, 冯开才.《高分子化学、物理和应用基础》，高等教育出版社，199712. 施良和,胡汉杰.《高分子科学的今天与明天》，化学工业出版社，199413. 钱保功，王洛礼，王霞瑜.《高分子科学技术发展简史》，科学出版社，199414. 何天白，胡汉杰编.《海外高分子科学的新进展》，化学工业出版社，199715. 张留成, 瞿雄伟, 丁会利.《高分子材料基础》，化学工业出版社，200216. 平郑骅, 汪长春.《高分子世界》，复旦大学出版社，200117. 马光辉, 苏志国.《新型高分子材料》，化学工业出版社，2003218. 焦书科, 张晨, 励杭泉.《高分子物理、高分子材料习题及解答》，中国石化出版社，200519. 董炎明, 张海良.《高分子科学教程》，科学出版社，200420. 潘文群.《高分子材料分析与测试》，化学工业出版社，200521. 吴其晔, 冯莺.《高分子材料概论》，机械工业出版社，2004/pw/poly04_3.htm3。
国外著名振动教材书籍今天从陈立群老师的科学网博客看到一篇介绍国外振动力学教材的博文,觉得挺有参考价值，于是转载了这篇博文。
值得一提的是，陈老师介绍的一部专著--William T. Thomson和Marie Dillon Dahleh合作完成的Theory of Vibration withApplication（5th edtion),是我学习振动力学的主要书籍之一。
记得这本书是几年前在清华大学校园的书店购买，由清华大学出版社影印，到现前我虽已反复仔细阅读了很多遍，但仍旧经常拿出来翻阅参考，爱不释手。
陈老师介绍的另一部教材是Daniel J. Inman的Engineering Vibrations，也是国际上广受好评的振动力学书籍，由于这本书没有电子版，于是我就从图书馆借来（由于山口大学图书馆没有，还是从其他大学图书馆转借），复印后我反复阅读了多遍，获益很深，他的另一部专著--Vibration with Control,是学习振动控制的优秀教材，也是我经常翻阅参考的振动专业书籍之一。
另外，有一部陈老师没有提到的专著就是Ray W. Clough和Joseph Penzien合著的Dynamics of Structures，这是一部极其经典的结构动力学著作，它偏重于土木结构方面，这本书的电子版在网上广泛流传，也因此它成为我开始学习振动力学的第一本书籍，后来在深入学习有限元时，才知道在有限元发展历程中，‘有限元’这一名词是Ray W. Clough 在20世纪50年代首先提出的，他对有限元的发展以及有限元的工程应用做出了了很大贡献。
振动是国内理论与应用力学专业和工程力学专业本科必修课，也是机械、土木、航空等专业本科生或研究生的选修课。
北美大学的情况基本类似，机械、土木、航空、航天和工程力学系一般都开设振动课程。
初级课程由学过工程力学(静力学和动力学)的二、三年级本科生选修，高级课程主要是研究生选修甚至必修。
《高分子化学》各章要求及重点内容第一章 绪论一、基本要求1、掌握高分子化学的基本概念。
2、对重要的相关概念进行辨析。
3、掌握聚合物的分类与命名。
4、正确写出常用聚合物的名称、分子式、聚合反应式。
二、主要内容 1、基本概念单体、高分子、大分子、聚合物、低聚物（齐聚物）； 结构单元、重复单元、单体单元、链节； 主链、侧链、端基、侧基；聚合度、相对分子质量、相对分子质量分布等；加聚反应、缩聚反应、加聚物、缩聚物、连锁聚合、逐步聚合； 2、聚合物的分类、命名及典型聚合物的命名、来源、结构特征 - 表1-5、1-6、1-7、1-8、内容合成高分子、天然高分子；碳链聚合物、杂链聚合物、元素有机聚合物、无机高分子； 聚酯、聚酰胺、聚氨酯、聚醚、聚脲、聚砜。
3、聚合反应的分类及聚合反应式 聚合物分子式（结构式）、结构单元-重复单元的区别与联系； 聚合反应的分类及聚合反应式写法；加成聚合与缩合聚合、连锁聚合与逐步聚合的联系与区别。
第二章 逐步聚合要求一、基本要求1、掌握逐步聚合的基本概念；2、逐步聚合反应分类（从不同的角度分类）3、比较线形逐步聚合与体型逐步聚合反应；4、线形逐步聚合反应聚合度的计算与控制（单体等摩尔比反应与非等摩尔比反应）；5、体型逐步聚合凝胶点的控制；6、正确书写重要逐步聚合聚合物的合成反应式；7、比较连锁聚合与逐步聚合，讨论影响两类反应速率及产物分子量的因素。
二、主要内容 1、基本概念平衡缩聚与不平衡缩聚、线形缩聚与体形缩聚、均缩聚、混缩聚、共缩聚； 缩合聚合、逐步加聚反应（聚加成反应）、氧化偶取联聚合、加成缩合聚合、分解缩聚。
官能团与官能度、平均官能度、官能团等活性理论、反应程度与转化率、当量系数与过量分率； 热塑性树脂与热固型树脂、凝胶点、结构预聚物与无规预聚物； 2、线性逐步聚合相对分子质量控制方法及其计算（1）等物质量反应：PX n -=11封闭体系： )1/(+=K K P 1+=K X n开放体系： wnPnKC X0=（2）非等物质量反应：aAa + bBb （过量）体系：当量系数：B A N N r = 过量分率：AA B N N N q -= 关系：r=1/(1+q) rPr r X n 211-++= )1(22P q q X n -++= aAa + bBb + Cb 体系：,2BBANNN r +=AB NN q ,2= 聚合度计算公式同前3、体型逐步聚合凝胶点的控制官能团等当量：平均官能度：∑∑=iii Nf N f 凝胶点： fP c2=官能团非等当量：所有分子数未过量官能团数⨯=2f 凝胶点： fP c 2= 三、分析应用（1）官能团等活性理论的分析、运用（与自由基聚合、共聚合中等活性理论比较）。
Pólya原理及其应用华东师大二附中符文杰Pólya原理是组合数学中，用来计算全部互异的组合状态的个数的一个十分高效、简便的工具。
下面，我就向大家介绍一下什么是P ólya原理以及它的应用。
请先看下面这道例题：【例题1】对2*2的方阵用黑白两种颜色涂色，问能得到多少种不同的图像？经过旋转使之吻合的两种方案，算是同一种方案。
【问题分析】由于该问题规模很小，我们可以先把所有的涂色方案列举出来。
一个2*2的方阵的旋转方法一共有4种：旋转0度、旋转90度、旋转180度和旋转270度。
(注：本文中默认旋转即为顺时针旋转) 我们经过尝试，发现其中互异的一共只有6种：C3、C4、C5、C6是可以通过旋转相互变化而得，算作同一种；C7、C8、C9、C10是同一种；C11、C12是同一种；C13、C14、C15、C16也是同一种； C1和C2是各自独立的两种。
于是，我们得到了下列6种不同的方案。
但是，一旦这个问题由2*2的方阵变成20*20甚至200*200的方阵，我们就不能再一一枚举了，利用Pólya原理成了一个很好的解题方法。
在接触Pólya原理之前，首先简单介绍Pólya原理中要用到的一些概念。
群：给定一个集合G ={a ,b ,c ,…}和集合G 上的二元运算，并满足:(a) 封闭性：∀a ,b ∈G , ∃c ∈G , a ＊b =c 。
(b) 结合律：∀a ,b ,c ∈G , (a ＊b )＊c=a ＊(b ＊c )。
(c) 单位元：∃e ∈G , ∀a ∈G , a ＊e =e ＊a =a 。
(d) 逆元：∀a ∈G , ∃b ∈G , a ＊b =b ＊a =e ，记b =a -1。
则称集合G 在运算＊之下是一个群，简称G 是群。
一般a ＊b 简写为ab 。
置换：n 个元素1,2,…,n 之间的一个置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a n 2121表示1被1到n 中的某个数a 1取代，2被1到n 中的某个数a 2取代，直到n 被1到n 中的某个数a n 取代，且a 1,a 2,…,a n 互不相同。
本例中有4个置换：转0︒ a1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1615141312111098765432116151413121110987654321转90︒ a2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1514131611129871054362116151413121110987654321 转180︒ a3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1413161512118710943652116151413121110987654321转270︒ a4=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1316151411127109836542116151413121110987654321 置换群：置换群的元素是置换，运算是置换的连接。
例如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1342432113424213421343211234432142134321 可以验证置换群满足群的四个条件。
本题中置换群G={转0︒、转90︒、转180︒、转270︒}我们再看一个公式：│E k│·│Z k│=│G│ k=1…n该公式的一个很重要的研究对象是群的元素个数，有很大的用处。
Z k (K不动置换类)：设G是1…n的置换群。
若K是1…n中某个元素，G 中使K保持不变的置换的全体，记以Z k，叫做G中使K保持不动的置换类，简称K不动置换类。
如本例中：G是涂色方案1~16的置换群。
对于方案1，四个置换都使方案1保持不变，所以Z1={a1, a2, a3, a4}；对于方案3，只有置换a1使其不变，所以Z3={a1}；对于方案11，置换a1和a3使方案其保持不变，所以Z11={a1, a3}。
E k(等价类)：设G是1…n的置换群。
若K是1…n中某个元素，K在G作用下的轨迹，记作E k。
即K在G的作用下所能变化成的所有元素的集合。
如本例中：方案1在四个置换作用下都是方案1，所以E1={1}；方案3，在a1下是3，在a2下变成6，在a3下变成5，在a4下变成4，所以E3={3,4,5,6}；方案11，在a1、a3下是11，在a2、a4下变成12，所以E11={11,12}。
本例中的数据，也完全符合这个定理。
如本例中：│E1│·│Z1│= 1⨯4 = 4 =│G││E3│·│Z3│= 4⨯1 = 4 =│G││E11│·│Z11│= 2⨯2 = 4 =│G│限于篇幅，这里就不对这个定理进行证明。
接着就来研究每个元素在各个置换下不变的次数的总和。
见下表：其中D(a j ) 表示在置换a j 下不变的元素的个数如本题中：涂色方案1在a 1下没变动，S 1,1=1；方案3在a 3变动了， S 3,3=0；在置换a 1的变化下16种方案都没变动，D(a 1)=16；在置换a 2下只有1、2这两种方案没变动，D(a 2)=2。
一般情况下，我们也可以得出这样的结论：我们对左式进行研究。
不妨设N={1，……，n}中共有L 个等价类，N=E 1+ E 2+……+E L ，则当j 和k 属于同一等价类时，有│Z j │=│Z k │。
所以这里的L 就是我们要求的互异的组合状态的个数。
于是我们得出：利用这个式子我们可以得到本题的解 L=(16+2+4+2)/4=6 与前面枚举得到的结果相吻合。
这个式子叫做Burnside 引理。
⎩⎨⎧∈∉=的变化下没有变在即当的变化下变动了在即当i j i i j i ij a j Z a a j Z a S ,1,0|||||||||Z|111kG L Z E Z Li i i L i E k k nk i⋅=⋅==∑∑∑∑==∈=∑∑===||si in j a D 11j)(Z∑∑====sj j n k k a D G Z G L 11)(||1||||1但是，我们发现要计算D(a j )的值不是很容易，如果采用搜索的方法，总的时间规模为O(n ⨯s ⨯p)。
(n 表示元素个数，s 表示置换个数，p 表示格子数，这里n 的规模是很大的) 下一步就是要找到一种简便的D(a j )的计算方法。
先介绍一个循环的概念： 循环：记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-13212121)(a a a aa a a a a a a nn n n称为n 阶循环。
每个置换都可以写若干互不相交的循环的乘积，两个循环(a 1a 2…a n )和(b 1b 2…b n )互不相交是指a i ≠b j , i ,j =1,2,…,n 。
例如：)4)(25)(13(2415354321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛这样的表示是唯一的。
置换的循环节数是上述表示中循环的个数。
例如(13)(25)(4)的循环节数为3。
有了这些基础，就可以做进一步的研究，我们换一个角度来考虑这个问题。
我们给2*2方阵的每个方块标号，如下图：构造置换群G'={g 1,g 2,g 3,g 4},｜G'｜＝4，令g i 的循环节数为c(g i )(i=1,2,3,4)在G'的作用下，其中g 1表示转0° , 即g 1=(1)(2)(3)(4) c(g 1)=4 g 2表示转90°, 即g 2=(4 3 2 1) c(g 2)=1 g 3表示转180°, 即g 3=(1 3)(2 4) c(g 3)=2 g 4表示转270°, 即g 4=(1 2 3 4) c(g 4)=1 我们可以发现，g i 的同一个循环节中的对象涂以相同的颜色所得的图像数m c(g i) 正好对应Ｇ中置换a i 作用下不变的图象数，即 2c(g 1)=24=16=D(a 1) 2c(g 2)=21=2= D(a 2)2c(g 3)=22=4=D(a 3) 2c(g 4)=21=2= D(a 4) 由此我们得出一个结论：设G 是p 个对象的一个置换群，用m 种颜色涂染p 个对象，则不同染色方案为：其中G={g 1 ,…g s } c(g i )为置换g i 的循环节数(i=1…s) 这就是所谓的P ólya 定理。
我们发现利用P ólya 定理的时间复杂度为O(s ⨯p) (这里s 表示置换个数，p 表示格子数)，与前面得到的Burnside 引理相比之下，又有了很大的改进，其优越性就十分明显了。
P ólya 定理充分挖掘了研究对象的内在联系，总结了规律，省去了许多不必要的盲目搜索，把解决这类问题的时间规模降到了一个非常低的水平。
现在我们把问题改为：n ⨯n 的方阵，每个小格可涂m 种颜色，求在旋转操作下本质不同的解的总数。
【问题分析】先看一个很容易想到的搜索的方法。
(见附录)这样搜索的效率是极低的，它还有很大的改进的余地。
前面，我们采用的方法是先搜后判，这样的盲目性极高。
我们需要边搜边判，避免过多的不必要的枚举，我们更希望把判断条件完全融入到搜索的边界中去，消灭无效的枚举。
这个美好的希望是可以实现的。
我们可以在方阵中分出互不重叠的长为[(n+1)/2]，宽为[n/2]的四个矩阵。
当n 为偶数时，恰好分完；当n 为奇数时，剩下中心的一个格子，它在所有的旋转下都不动，所以它涂任何颜色都对其它格子没有影响。
令m 种颜色为0~m-1，我们把矩阵中的每格的颜色所代表的数字顺次(左上角从左到右，从上到下；右上角从上到下，从右到)m m (m ||1)c(g )c(g )c(g s 21+++= GL左；……)排成m 进制数，然后就可以表示为一个十进制数，其取值范围为0~m [n 2/4]-1。
(因为[n/2]*[(n+1)/2]=[n 2/4]) 这样，我们就把一个方阵简化为4个整数。
我们只要找到每一个等价类中左上角的数最大的那个方案(如果左上角相同，就顺时针方向顺次比较) 这样，在枚举的时候其它三个数一定不大于左上角的数，效率应该是最高的。
进一步考虑，当左上角数为i 时,(0≤i ≤R-1) 令R=m [n 2/4] 可分为下列的4类：其它三个整数均小于i ，共i 3个。
右上角为i ，其它两个整数均小于i ，共i 2个。
右上角、右下角为i ，左下角不大于i ，共i+1个。
右下角为i ，其它两个整数均小于i ，且右上角的数不小于左下角的，共i(i+1)/2个。
因此，当n 为奇数时，还要乘一个m 。
由此我们就巧妙地得到了一个公式。
但是，我们应该看到要想到这个公式需要很高的智能和付出不少的时间。
另一方面，这种方法只能对这道题有用而不能广泛地应用于一类试题，具有很大的不定性因素。
因此，如果能掌握一种适用面广的原理，就会对解这一类题有很大的帮助。
