“函数的单调性”教学案例
【中图分类号】g623.5【文献标识码】b【文章编号】1001-4128（2011）04-0142-02
教学课题：函数的单调性
“函数的单调性”涉及增函数、减函数、单调性以及单调区间的定义，在理解定义的基础上还要求掌握判断函数单调性的具体方法。讲解定义时要采用数形结合的方法，运用对比，把数值大小的变化与图象的变化趋势联系起来，体会定义，更能感悟函数的单调性。
教学目的：1、利用数形结合的方法，理解函数单调性的定义及单调函数的图象特征；
2、根据函数单调性的图象特征，掌握函数单调性的判断方法——图像法；
3、利用定义，掌握函数单调性的判断方法——定义法（作差法、作商法）。
4、通过本节知识的学习，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的兴趣，培养学生观察函数图象，发现、分析、解决问题和严密的逻辑思维能力，用数形结合的思想方法去观察分析图象，对比总结特征，以提高学生的思维品质；
教学重点：1、理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的图象特征；
2、定义法证明函数的单调性。
教学难点：利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性。重点研究两种方法：作差和作商，对比学习。
教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用
教学用具：黑板、粉笔、直尺、计算机多媒体
教学过程：
复习并引入：(提出研究问题，明确学习目标)
师：（多媒体演示例题）观察下列函数的图象,请同学们回答：下面的函数分别是什么函数？当自变量x 的值增加时,函数值是如何变化的？
学生1：（1）函数是一次函数。（k>0）
在整个定义域r上，x增大时，也在增大。
学生2：（2）函数是二次函数。
在区间 (-∞,0]上，即在y轴左侧，x增大时，是在减小。
在区间（0,+∞)上，即在y轴右侧，x增大时，也在增大。
师（总结）：像这样，在生活中，我们会遇到很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的。这就是我们今天要研究的函数的单调性。
那么如何用数学语言来描述函数的单调性呢？
2 学习新课：（利用上述实例，引导学生总结归纳函数单调性的定义，学习新知）
定义：（师生共同总结，学生猜测，教师用合适的数学语言表述）
对于给定区间上的函数y= ,
如果对于属于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增函数。
如果对于属于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是减函数。
如果函数y= 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y= 在这一区间上具有(严格的)单调性，该区间叫做函数y= 的单调区间。
总结定义后，为了帮助学生理解，教师应该强调以下注意方面：（1）单调性是针对区间而言的，是函数在某个区间上的局部性质，不是整体性质。在整个定义域内，函数y= 不一定具有单调性。比如上述例题中的函数，在定义域r上，引导学生任取三个不同数值，比较大小，进行验证。
（2）x1、x2的三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定
（3） y与x的变化趋势一致增函数；（y随x的增大而增大）y与x的变化趋势相反减函数。（y随x的增大而减小）
判断函数单调性的方法：
引导学生观察函数图象，看清图象走向，发现规律，总结
图象法：（从左向右看）增函数的图象呈上升趋势；减函数的图象呈下降趋势。
总结图象特征后，及时进行训练，请同学们完成下面的题目。
例1：该图是定义在闭区间［-5，8］上的函数y= 的图象。根据图象说出此函数的单调区间，以及在每一区间上此函数是增函数还是减函数？
（分析：以每一个转弯点为分界，首先将区间分解为几个不同的单调区间，然后再根据每个不同区间上图象的变化趋势来确定其单调性。）
学生3答：函数的单调区间有［-5，-2］，(-2，2］,(2,5］,(5,8］；函数在［-5，-2］上是减函数，在(-2，2］是增函数,在(2,5］上是减函数,在(5,8］上是增函数。
师：图象法是判断函数单调性的比较直观简单易学的一种方法。如果我们所给的题目中的函数没有图象，那么该用什么方法来判断呢？
学生4：我先做出函数图象来再进行判断。
学生5：可是有些函数图象很难做的，而且作图象需要很多时间，考试的时候恐怕会做不完题了。老师有什么更好更快的方法吗？师：那我们就来学习一种新的更为科学的方法。
（2）定义法：根据单调性定义进行判断或证明。
例2．证明函数 =－2x+3 在上是单调减函数.（教师详细讲解证明过程）
所以函数 =－2x+3 在上是减函数.
总结证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且；
2.作差变形:差变形的常用方法有:因式分解、配方、通分、有理化等；
3.判断差符号（定号）:确定的正负；
4.下结论:由定义得出函数的单调性.
（选讲）例3. 证明函数 = 在（0，+∞）上是减函数。
证明：设x1＞0、x2＞0，且，
则 =，= （作差）－ = － =依据：a-b＞0等价于a＞b
∵ x1＞0、x2＞0∴＞0 a-b＜0等价于a＜b
又∵∴＞0
则－＞0，即＞
（作商）÷ = ÷ =
依据：＞1等价于（1）当b＞0时，a＞b;(2)当b＜0时，a＜b. ∵x1＞0、x2＞0,且∴＞1
则÷＞1，即＞
所以函数 = 在（0，+∞）上是减函数。
通过上述例题讲解，训练学生一题多解的解题能力，提高优等生的学习兴趣。
3 课堂练习
3.1 p21,练习1.根据函数图象说出函数的单调区间，以及每个区间上，函数是什么单调性。（图象略）
3.2 证明函数在区间（0,+∞）上是增函数.（分别请两位同学板演，其他同学在练习本上完成）
