线性回归分析与统计案例

一般线性回归分析案例1、案例为了研究钙、铁、铜等人体必需元素对婴幼儿身体健康的影响，随机抽取了30个观测数据，基于多员线性回归分析的理论方法，对儿童体内几种必需元素与血红蛋白浓度的关系进行分析研究。

这里，被解释变量为血红蛋白浓度（y）,解释变量为钙(ca)、铁(fe)、铜(cu)。

表一血红蛋白与钙、铁、铜必需元素含量(血红蛋白单位为g；钙、铁、铜元素单位为ug)case y（g）ca fe cu1 7.00 76.90 295.30 0.8402 7.25 73.99 313.00 1.1543 7.75 66.50 350.40 0.7004 8.00 55.99 284.00 1.4005 8.25 65.49 313.00 1.0346 8.25 50.40 293.00 1.0447 8.50 53.76 293.10 1.3228 8.75 60.99 260.00 1.1979 8.75 50.00 331.21 0.90010 9.25 52.34 388.60 1.02311 9.50 52.30 326.40 0.82312 9.75 49.15 343.00 0.92613 10.00 63.43 384.48 0.86914 10.25 70.16 410.00 1.19015 10.50 55.33 446.00 1.19216 10.75 72.46 440.01 1.21017 11.00 69.76 420.06 1.36118 11.25 60.34 383.31 0.91519 11.50 61.45 449.01 1.38020 11.75 55.10 406.02 1.30021 12.00 61.42 395.68 1.14222 12.25 87.35 454.26 1.77123 12.50 55.08 450.06 1.01224 12.75 45.02 410.63 0.89925 13.00 73.52 470.12 1.65226 13.25 63.43 446.58 1.23027 13.50 55.21 451.02 1.01828 13.75 54.16 453.00 1.22029 14.00 65.00 471.12 1.21830 14.25 65.00 458.00 1.0002、回归分析表2 变量说明表输入／移去的变量a模型输入的变量移去的变量方法1 cu, fe,ca b. 输入a. 因变量: yb. 已输入所有请求的变量。

回归分析实验内容：基于居民消费性支出与居民可支配收入的简单线性回归分析【研究目的】居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。

影响各地区居民消费支出的因素很多，例如居民的收入水平、商品价格水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、风俗习惯等等。

为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的经济模型去研究。

【模型设定】我们研究的对象是各地区居民消费的差异。

由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，现选用城镇居民消费进行比较。

模型中被解释变量Y选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。

从理论和经验分析，影响居民消费水平的最主要因素是居民的可支配收入，故可以选用“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X，选取2010年截面数据。

1、实验数据表1：2010年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入数据来源：《中国统计年鉴》2010年2、实验过程作城市居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)的散点图，如图1：从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)大体呈现为线性关系，所以建立如下线性模型：Y=a+bX表2模型汇总b模型R R方调整R方标准估计的误差1 .965a.932 .930 877.29128a.预测变量:(常量),可支配收入X（元）。

b.因变量:消费性支出Y(元)表3相关性表4系数a3、结果分析表2模型汇总：相关系数为0.965，判定系数为0.932，调整判定系数为0.930，估计值的标准误877.29128表3是相关分析结果。

消费性支出Y与可支配收入X相关系数为0.965，相关性很高。

表4是回归分析中的系数：常数项b=704.824，可支配收入X 的回归系数a=0.668。

a的标准误差为0.034，回归系数t的检验值为19.921，P值为0，满足95%的置信区间，可认为回归系数有显著意义。

回归经典案例
回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。

以下是一个经典的回归分析案例：
假设我们有一个数据集，其中包含一个人的身高（height）和体重（weight）信息。

我们想要研究身高和体重之间的关系，以便预测一个人
的体重。

1. 首先，我们使用散点图来可视化身高和体重之间的关系。

从散点图中可以看出，身高和体重之间存在一定的正相关关系，即随着身高的增加，体重也会增加。

2. 接下来，我们使用线性回归模型来拟合数据。

线性回归模型假设身高和体重之间的关系可以用一条直线来表示，即 y = ax + b。

其中，y 是体重，x 是身高，a 和 b 是模型参数。

3. 我们使用最小二乘法来估计模型参数 a 和 b。

最小二乘法是一种优化方法，它通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来估计模型参数。

4. 拟合模型后，我们可以使用回归方程来预测一个人的体重。

例如，如果我们知道一个人的身高为米，我们可以使用回归方程来计算他的体重。

5. 最后，我们可以使用残差图来检查模型的拟合效果。

残差图显示了实际值与预测值之间的差异。

如果模型拟合得好，那么残差应该随机分布在零周围。

这个案例是一个简单的线性回归分析案例。

在实际应用中，回归分析可以应用于更复杂的问题，例如预测股票价格、预测疾病发病率等。

专题38 统计案例与线性回归分析1. 变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．体现的不一定是因果关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关． 2. 两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b ˆx ＋a ˆ_，其中其中a ˆ，b ˆ是待定参数，∑=ni 1(y i －bx i －a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3. 独立性检验(1)2×2列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d(2)独立性检验 利用随机变量K 2(也可表示为χ2)的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋ c ＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 常用结论(1)求解回归方程的关键是确定回归系数aˆ，b ˆ，应充分利用回归直线过样本中心点 a ˆ，b ˆ，应充分利用回归直线过样本中心点()y x ,．(2)根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大． (3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． 题型一、线性回归方程例1、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+变式1、下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．．变式2、班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程，ξξy x y bx a =+其中，.121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-题型二、 独立性检验例2、某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)8(0i i x x =-=∑，2021)9000(i i y y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数)()(iinx y r x y --=∑1.414≈．变式1、某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，题型三、统计案例、线性回归分析与概率的综合例3、读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.变式1、近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1()()nix x y y r --=∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2变式2、某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：22⨯95%p p X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++实战演练1、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25B ．45C ．60D ．752、某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异3、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4、某公司为了了解年研发资金投人量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令，，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（ⅰ）若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中公式分别为：，；②参考数据：，.x y 12i x i y 2y x αβ=+x ty eλ+=αβλt e 2i i u x =()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅y x y 90x ()()niix x y y r --=∑y a bx =+()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-308477=⨯9.4868≈ 4.499890e ≈5、近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选），每门科目满分均为分.为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查，其中，女生抽取人. （1）求的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出名女生，再从这名女生中抽取人，设这人中选择“物理”的人数为，求的分布列及期望.附：，33+15063631001000550450n 45n n 22⨯22⨯99%459944X X 22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++n a b c d =+++。

回归分析实验案例数据引言：回归分析是一种常用的统计方法，用于探索一个或多个自变量对一个因变量的影响程度。

在实际应用中，回归分析有很多种，例如简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。

本文将介绍一个回归分析实验案例，并分析其中的数据。

案例背景：一家汽车制造公司对汽车的油耗进行研究。

他们收集了一些汽车的相关数据，并希望通过回归分析来探究这些数据之间的关系。

数据收集：为了进行回归分析，他们收集了以下数据：1. 汽车型号：不同汽车型号的标识符。

2. 汽车价格：每辆汽车的价格，单位为美元。

3. 汽车速度：以每小时英里的速度来衡量。

4. 引擎大小：汽车引擎的容量大小，以升为单位。

5. 油耗：每加仑汽油行驶的英里数。

数据分析：通过对收集的数据进行回归分析，可以得出以下结论：1. 汽车价格与汽车引擎大小之间存在正相关关系。

即引擎越大，汽车价格越高。

2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。

即速度越高，油耗越大。

3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。

即引擎越大，油耗越大。

结论：基于以上分析结果，可以得出以下结论：1. 汽车价格受到引擎大小的影响，即引擎越大，汽车价格越高。

这一结论可以帮助汽车制造公司在制定价格策略时做出合理的决策。

2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。

这一结论可以帮助消费者在购买汽车时考虑速度对油耗的影响，从而选择更经济的汽车。

3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。

这一结论可以帮助汽车制造公司在设计引擎时考虑油耗因素，从而提高汽车的燃油效率。

总结：回归分析是一种有效的统计方法，可以用于探索数据间的关系。

通过对汽车制造公司收集的数据进行回归分析，我们发现了汽车价格、速度和引擎大小与油耗之间的关系。

这些分析结果对汽车制造公司制定价格策略、消费者购车以及提高燃油效率都具有重要的指导意义。

EXCEL线性回归分析实例线性回归分析是一种常用的统计方法，可以用来研究自变量与因变量之间的线性关系。

它的基本思想是通过拟合一条直线来描述自变量与因变量之间的关系，从而预测因变量的值。

在Excel中，我们可以使用内置的工具来进行线性回归分析。

下面以一个实际案例来演示如何在Excel中进行线性回归分析。

案例背景：假设有一个销售部门，需要评估广告支出与销售额之间的关系。

为了帮助部门决策，我们收集了过去6个月的数据，记录广告支出和销售额的值。

步骤1：准备数据首先，在Excel中打开一个新的工作表，并创建两列，一列用于记录广告支出，另一列用于记录销售额。

以下是示例数据：广告支出(自变量)，销售额(因变量)1000，30002000，60003000，9000步骤2：绘制散点图选择广告支出和销售额这两列数据，然后点击Excel的“插入”选项卡，在“图表”区域中选择“散点图”。

选择一个合适的散点图样式，并生成散点图。

步骤3：计算回归方程在Excel中，我们可以使用“数据分析”工具进行线性回归分析。

首先，点击Excel的“数据”选项卡，在“分析”区域中选择“数据分析”。

在弹出的窗口中，选择“回归”并点击“确定”。

在“回归”对话框中，填写以下信息：-输入Y范围：选择销售额列的值；-输入X范围：选择广告支出列的值；-勾选“新工作表上”复选框，以便在新的工作表中输出结果。

点击“确定”后，Excel将会在新的工作表中生成回归分析的结果。

步骤4：解读结果在新的工作表中，我们可以看到回归分析的结果。

其中，我们关注的是方程的系数和拟合优度。

回归方程的一般形式为：Y = a + bX，其中，a是截距，b是斜率。

根据Excel输出的结果，我们可以得到回归方程为：Y = -2000 + 3.5X。

拟合优度是衡量拟合程度的指标之一，它的取值范围在0到1之间。

拟合优度越接近1，说明回归方程越能够解释因变量的变化。

在Excel输出的结果中，我们可以找到R平方（R^2）值，它表示拟合优度。

线性回归案例线性回归是统计学中一种常见的建模方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在本文中，我们将通过一个实际的案例来介绍线性回归的应用和分析过程。

假设我们是一家房地产公司的数据分析师，公司希望了解房屋的售价与其面积之间的关系，以便更好地定价和销售房屋。

我们收集了一些房屋的数据，包括房屋的面积和售价，现在我们将利用线性回归模型来分析这些数据。

首先，我们需要对数据进行可视化分析，以便更直观地了解变量之间的关系。

我们可以绘制散点图来展现房屋面积与售价之间的关系，通过观察散点图，我们可以大致判断出是否存在线性关系，并初步了解数据的分布情况。

接下来，我们可以利用线性回归模型来拟合数据，建立房屋面积与售价之间的数学模型。

线性回归模型的数学表达式为，Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量（售价），X表示自变量（面积），β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差。

通过拟合线性回归模型，我们可以得到最优的截距和斜率的估计值，从而建立起房屋面积与售价之间的线性关系。

同时，我们还可以利用拟合的模型对房屋售价进行预测，从而帮助公司更好地制定定价策略。

除了建立模型和进行预测，我们还需要对模型的拟合效果进行评估。

常用的评估指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R-squared）等，这些指标可以帮助我们判断模型的拟合程度和预测精度，从而更好地理解房屋面积与售价之间的关系。

最后，我们需要对线性回归模型的结果进行解释和分析，从统计学的角度来解释房屋面积对售价的影响程度。

通过对模型结果的解释，我们可以为公司提供更深入的市场分析和房屋定价建议，从而更好地满足客户的需求。

通过以上实例，我们可以看到线性回归在实际数据分析中的应用和重要性。

通过建立数学模型、进行预测和评估，线性回归可以帮助我们更好地理解变量之间的关系，为决策提供更有力的支持。

希望本文的案例分析能够帮助读者更好地理解线性回归的应用和分析过程，为实际工作中的数据分析提供一些启发和帮助。

《统计学》案例 -- 相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。

通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。

经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。

2、数据的收集序号回流温度（C）液化气收率（%序号回流温度（C）液化气收率（%13613.1164212.3 23912.8174311.9 34311.3184610.9 44311.4194410.4 53912.3204211.5 63812.5214112.5 74311.1224511.1 84410.8234011.1 93713.1244611.1 104011.9254710.8 113413.6264510.5 123912.2273812.1 134012.2283912.5 144111.8294411.5 154411.1304510.9目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。

3. 方法的确立设线性回归模型为y = * [x * ；，估计回归方程为? = b Q biX将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y具有随着回流温度x的提高而降低的趋势。

因此，建立描述y 与x 之间关系的模型时，首选直线型是 合理的。

从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b °=21.263和b i =-0.229，于是最小二乘直线为$ =21.263 -0.229X这就表明，回流温度每增加1C,估计液化气收率将减少0.229%。

线性回归案例线性回归是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量和因变量之间的线性关系。

在实际应用中，线性回归可以帮助我们预测未来的趋势、分析变量之间的关联程度，以及发现影响因变量的主要自变量。

本文将通过一个实际的案例来介绍线性回归的应用。

假设我们是一家电商公司的数据分析师，现在我们手头上有一份包含用户购买金额和广告投入金额的数据集，我们希望通过线性回归分析来探究广告投入对用户购买金额的影响。

首先，我们需要加载数据集，并对数据进行初步的观察和处理。

在加载数据后，我们可以通过描述性统计分析来了解数据的基本情况，比如平均值、标准差、最大最小值等。

同时，我们还需要对数据进行缺失值和异常值的处理，以确保数据的准确性和完整性。

接下来，我们可以利用散点图来观察广告投入金额和用户购买金额之间的关系。

通过观察散点图，我们可以初步判断两者之间是否存在线性关系，以及可能的异常值情况。

然后，我们可以利用线性回归模型来建立广告投入金额和用户购买金额之间的数学关系。

线性回归模型的基本形式为，Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量（用户购买金额），X表示自变量（广告投入金额），β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。

我们可以利用最小二乘法来估计模型参数，并通过显著性检验和拟合优度来评估模型的拟合程度和统计显著性。

最后，我们可以利用建立的线性回归模型来进行预测和分析。

通过模型的参数估计和显著性检验，我们可以得出广告投入金额对用户购买金额的影响程度，以及预测未来的用户购买金额。

同时，我们还可以利用残差分析来检验模型的假设前提和误差项的独立性、正态性和同方差性。

通过以上步骤，我们成功地利用线性回归分析了广告投入金额对用户购买金额的影响，并建立了相应的数学模型。

在实际应用中，线性回归可以帮助我们更好地理解变量之间的关系，进行预测和决策，为实际问题的解决提供有力的支持。

总结，本文通过一个实际的案例介绍了线性回归的应用过程，包括数据加载和处理、散点图观察、线性回归模型建立和参数估计、模型预测和分析等步骤。

问题的提出研丸学校中的教师的人均丁资和对学生的人均经费投入是否存在统计关系（所谢的统计关系足循变址存音不完全的线性义系人如果仃陡沓用米此檢型米做统计推帕二问题的处理如下表是1985年羌国50个州和哥伦比亚特区公立学枝中数师的人均工资y（美冗）和则学生的人均经费投入賈（荚尤九（数据來自应IIJMW分析第二版何曉群刘文卿著P6I习JS 2,16〉序号y X序巧y X1 19583 3346 27 22795 33662 20263 3114 28 21570 29203 20325 3554 29 22080 2980I 26800 1512 30 22250 3731L 3 29170 1669 31 209 10 28536 26610 1688 32 21800 © 25337 30678 5710 33 22934 27298 27170 5536 34 18143 23059 25853 4168 35 19538 264210 24500 354T 3G 204 CO 312411 24274 3159 37 21419 275212 27170 3621 38 25160 342913 30168 3782 39 22482 391711 26525 1217 10 20969 250915 27360 3982 41 27224 511016 21690 3568 12 25892 101217 2197 1 3155 43 22GI4 340218 20816 3059 44 24610 2«2919 18095 2967 45 22311 229720 20939 3285 46 25610 293221 22614 3914 47 26015 370522 24624 4517 48 25788 412323 27186 1349 49 29132 360821 33990 5020 50 41480 834925 23382 3591 51 258 15 37GG26 20627 2821处理过程1）作散点图井添加趋势线（用践性人yUpkxid Uy Xlky QQ2838J(M !1h yulkygUph^ic! Uy Yelky QQ2«：W3(>4IIhrt 卩丿Avvrw. 由散点图可知数据大致落在回归直线两侧•有异常值，但回归拟合优度如何有待进一步讨论•研九2）作回归（在excle中点工数据分析中的回归选项）111模？卩综述可知.相关泵数尺土0. 839128209.和关泵数的平方用=0.701639717.回归的拟合优度较好•回归标准差a»2287.1829S1,此处只逸取了50个样本副除了梵中一个〔共51个样本）•由散点图可知存在一个异常6000040000 20000由方差分析农可知.回归平方和=599043117. 5.自由度是1 •残差平方和 -251097887. 1.自由度£ 18. F 值司14.513387•仁在给定显善性水平a = 0.05 F ・ 显著性P 值=2. 6999H.由系数表可知.菽距顶=1271.0699.回归蔡数=3.29061603.回归方程为 尸1271.069943. 29061603.在显弟性水平« = 0.05T.回归乘数的压侑度为93% 的置倍X 间为也67231022. 3, 90889185］回山系数通过检翼‘ 7泗川系数显苦 不为（）•3346 Line Fit Plot• 19583 ■预测195832000 4000 6000 8000 100003346上图为回归拟合巴线图.人致呈线性关系:hrSIDlA .()L1观测（fi 魚丹y 復艺i4dt 宦;«»ffL 備测r杯准找2；) 22518.0482 2255.0482 -0.9961674 26 23317 2831 -552.283 佔-0.24397122 23965.9193 -36 W. 9193 I.60837S9 27 21879.6fi87 -309. 66R7 0. 1367963 27217.0479 -417.047$ 0.18423QS 28 22077. 1(157 2.89434162 U. UO127<s4 27631.9561 1835.01386 0. 81063054 2151S. 35«3 -2298. 3583 1. QI 529975 28355. 601 -1715,601 -0.7711192 30 21659.1974 -719.19742 0.31770516 31060. 487, <W2・ 1X7 n -0.1翎9638 31 2U606 2(X)3 1193.79971 0.527360967 30487.9202 ■3317. 9202 -1.4656911 32 21251.16L 1682.83897 U. 7J33JH039 2598(?. 3$?5 -i, . •-O.O5$yiO7 33 19835.9：J9S -H12. 9?ys -0.621166.9 23912.88 49 557.115051 U. 24610555 :n 2U96I.«77I -14M. 8774 -0.63032310 22666. 1259 1607.87407 U. 71027829 35 22550. 9511 -20M. 9544 -0. 92367911 24186.3905 29S3. 605)46 1.31800934 36 21326. 8152 92.1547971 U. (H0709胡12 24716.1797 * •・、02S 2. 40834135 37 23551 3923 1605.40774 0. 7091^7913 26246.3162 27M CA2H2H0. 12310857 :•- 25259.1314 -2777. 1314 -1.226797614 25371. 3029 iy»5.6y7os U.87718159 39 2U527.2255 44L・ 774493 U. IM 1538615 21011.9879 2321. 9879 -I.025738 •1030172.0211 -2948. 0211 -I.3U22S8?16 22652.9635 678.963 36 -0.2949321 4l 25571.7399 320. 260115 U. I ll 17ISO17 22337.0613 521.0613 -0.6719301 42 23465.7456 -821.71562 -0. 363006118 22031.3276 -3938. 3276 -1.740)978 •1321580.2226 3059.77736 1. 3516茴523OSQ.7135 ■2111. 7135-0.9161151 H 19829. CH9 25L 1.38509 1. 1Q94QI24 •25150. 541 -2506.541 -1.1072644 i" 21919. 1561 3690.81391 63(11301221 27134.7825 ■251U. 7«25-1. 1U9138 46 21162. KU23 1552. 19772 U. 68.S6H327■26581 •601 LHU993 (J. 26663506 47 2583S. 27y«-50. 279781 -0. 0222111 2? 2S?«9.96 2 5200.03763 2. 29711637 48 211416125 4988.3674? 2. 2036199224 21097.5439 -715.5139 -0.3160915 49 39711. 1231 1735.57686 U 76(^9099亠|21553.8977 -926.89771 -0. 109457 5U 24665.5299 11S1.47011 U. 5219UJ83346 Residual Plot10000 枇5000望050003346山残差图可知.数据大致分布在0左右.满足G-M条件中的均值为0的条件•PROBABILITY OUTPUT分t匕排仓L y 分比井位y18036 51 242742 18443 W 245M5 1953S S5 2462120263 57 24640 ? 2Q325 5? 251&O11 20160 61 2561013 20627 2578815 20816 2584517 20939 2585319 20910 2589221 20969 26015肉21119 药52 321570 26610 Z7 21690 2680029 21800 2717031 21974 2717033 22080 2718635 22250 2722437 2234】273339 22482 2913241 22644 2947043 22644IS 22795 3067047 22934 33列0旧23382 41480Normal Probabi1i(y P1ot6000040000200000 20 40 60 80 100 120Sample Percentile【h正态杵概率检验可知.数据大致眼从iF•态分布.反过来说明残羌祸足G-M条件中的正态性位必三结论1综上所if. 1985年美国50个州和哥伦比亚特区公立学校中教师的人均工资y （黄元）与对学生的人均经费投入X （黄元）存在统计关系，回归方程为y-127L 0699-^3. 29061603,所采集的数据存在一个异常值，将Z別除再做回归便能消除其不R影响.回归系数显著不为S回归方程高度显苦.残差大致禰足GHM条件（均值为0、等方差.不相关人参孑文献哲⑴何晓鮮刘文御编著•应用回归分折•北京，中国人民大学出版补.2007o。

线性回归案例分析【篇一：线性回归案例分析】散布图—练习总评估价某建筑公司想了解位于某街区的住宅地产的销房产 79,760售价格y与总评估价x之 98,480间的相关程度到底有多 110,655大？于是从该街区去年 96,859售出的住宅中随机抽10 94,798的总评估价和销售资料 139,850如右表 170,34110 corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 相关分析案例justin tao 销售价格y美元 95,000 116,500 156,900 111,000 110,110 100,000 130,000 170,400 211,500 185,000 绘制散布图，观察其相关关系输入数据点击graph scatterplot 弹出对话框，依次对应x、y输入变量列点击ok 散布图及关系分析从散布图可以看出：总评估价值x与销售价格y存在线性正相关，相关程度较大；随x增大，y有增长趋corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 计算相关系数输入数据点击stat basic statistics correlation… 弹出对话框，输入x、y变量列点击ok 散布图(相关分析)案例下面是表示某公司广告费用和销售额之间关系的资试求这家公司的广告费和销售额的相关系数广告费 (10万) 销售额 (100万) 2022 15 17 23 18 25 10 20 得出相关系数及检验p值corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 0.002 0.05 (留意水准) ，广告费和销售额的相关关系是有影响的 corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 回归分析案例通过下例观察回归分析和决定系数。

《统计学》案例——相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。

通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。

经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。

2、数据的收集序号回流温度（℃）液化气收率（%）序号回流温度（℃）液化气收率（%）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1536 39 43 43 39 38 43 44 37 40 34 39 40 41 4413.1 12.8 11.3 11.4 12.3 12.5 11.1 10.8 13.1 11.9 13.6 12.2 12.2 11.8 11.116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3042 43 46 44 42 41 45 40 46 47 45 38 39 44 4512.3 11.9 10.9 10.4 11.5 12.5 11.1 11.1 11.1 10.8 10.5 12.1 12.5 11.5 10.9目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度和液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。

3.方法的确立设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y10ˆ+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。

因此，建立描述y 和x 之间关系的模型时，首选直线型是合理的。

从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为x y229.0263.21ˆ-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。

1.2 回归分析1．线性回归模型(1)线性回归模型y ＝a ＋bx ＋ε，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差． (2)随机误差产生的原因主要有以下几种： ①所用的确定性函数不恰当引起误差； ②忽略了某种因素的影响； ③存在观测误差．(3)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －(其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1n ∑i ＝1ny i )．其中，a ^，b ^分别为a ，b 的估计值，a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值． 2．相关系数(1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2∑i ＝1ny 2i －n y －2(2)r 具有如下性质：①|r |≤1；②|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强； ③|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱． 3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在教材附录1中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r ；(4)作出统计推断：若|r |>r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式y ^＝a ^＋b ^x 就是回归直线方程．求回归直线方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出b ^，再由a ^＝y －－b ^x －求出a ^，写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^.计算时应注意：(1)求b ^时，利用公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x－2，先求出x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )，y －＝1n(y 1＋y 2＋…＋y n )，∑i ＝1nx i y i ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n ，∑i ＝1nx 2i ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n .再由a ^＝y －－b ^x －求出a ^的值，并写出回归直线方程．(2)线性回归方程中的截距a ^和斜率b ^都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致估计结果的偏差．(3)回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中的b ^表示x 增加1个单位时，y ^的变化量为b ^，而a ^表示y ^不随x 的变化而变化的部分．(4)可以利用回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 求在x 取某一个值时y 的估计值．[例1] 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由数据可知，y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[思路点拨] 由于题目条件已经指明y 对x 呈线性相关关系，所以可直接利用公式求a ^与b ^，然后求出线性回归方程，最后把10代入，估计维修费用．[精解详析] (1)列表如下：经计算得：x －＝4，y －＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，于是b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1.23，a ^＝y －－b ^·x －＝0.08，所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．[一点通] 若题目中没有指明y 对x 呈线性相关关系，而只给出资料，则需根据散点图或利用线性相关系数先确定变量是否线性相关，再求线性回归方程．1．(辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2542．(湖北高考改编)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________．解析：由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，知当b ^＞0时，x 与y 正相关，当b ^＜0时，x 与y 负相关，所以①④一定错误．答案：①④3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为________万元．解析：∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42.又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)， ∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案：65.54．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －－b x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －bx ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.[例2] 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． (1)y 与x 是否具有相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．[思路点拨] 可先计算线性相关系数r 的值，然后与r 0.05比较，进而对x 与y 的相关性做出判断．[精解详析] (1)由已知表格中的数据，求得x －＝71，y －＝72.3，r＝∑i ＝110x i －x－y i －y－∑i ＝110x i －x－2∑i ＝110y i －y－2≈0.78.由检验水平0.05及n －2＝8，在课本附录1中查得r 0.05＝0.632，因为0.78>0.632， 所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系． (2)y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则有b ^＝∑i ＝110x i －x－y i －y－∑i ＝110x i －x－2≈1.22，a^＝y －－b ^x －＝72.3－1.22×71＝－14.32.所以y 关于x 的回归直线方程为y ^＝1.22x －14.32.[一点通] 判断x 与y 是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关．有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x 与y 的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能准确反映变量x 与y 间的变化规律．另外，要注意计算的正确性．5．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则r 1与r 2的关系为________．解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以有r 2＜0＜r 1.答案：r 2＜0＜r 16．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x ＋1上，样本的相关系数应为1.答案：17．为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ 解：作线性相关性检验． x －＝110×(159＋160＋…＋157)＝158.8， y －＝110×(158＋159＋…＋156)＝159.1，∑i ＝110x 2i －10(x －)2＝(1592＋1602＋…＋1572)－10×158.82＝47.6， ∑i ＝110x i y i －10x －y －＝(159×158＋160×159＋…＋157×156)－10×158.8×159.1＝37.2，∑i ＝110y 2i －10(y －)2＝(1582＋1592＋…＋1562)－10×159.12＝56.9， 因此r ＝∑i ＝110x i y i －10x －y－[∑i ＝110x 2i －x－2][∑i ＝110y 2i －y－2]＝37.247.6×56.9≈0.71.由检验水平0.05及n －2＝8，在课本附录1中查得r 0.05＝0.632，因为0.71>0.632，所以可以认为x 与y 有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要．又b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y －∑i ＝110x 2i －x－2＝37.247.6≈0.78， a ^＝159.1－0.78×158.8≈35.2，由此得回归直线方程为y ^＝35.2＋0.78x ，回归系数b ^＝0.78反映出当母亲身高每增加1 cm 时女儿身高平均增加0.78 cm ，a ^＝35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161 cm 时女儿身高为y ^＝0.78×161＋35.2＝160.78≈161(cm)，这就是说当母亲身高为161 cm 时，女儿身高大致也为161 cm.1．求线性回归方程的方法 确定线性回归方程的基本步骤为：(1)先求b ^；(2)再求a ^；(3)写出方程y ^＝b ^x ＋a ^. 2．分析两个变量的相关关系常用的方法(1)散点图法．该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法．该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r |越接近于1，相关程度越强，|r|越接近于0，相关程度越弱．一、填空题1．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的序号是________．①直线l 过点(x ，y )；②x 和y 的相关系数为直线l 的斜率； ③x 和y 的相关系数在0到1之间；④当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同．解析：因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以②③错误；④中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以④错误；根据回归直线方程一定经过样本中心点可知①正确．答案：①2．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则下列说法正确的是________．(填序号) ①a >0，b >0 ②a >0，b <0 ③a <0，b >0 ④a <0，b <0 解析：由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b <0，a >0，故②正确． 答案：②3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y ________． 解析：由回归系数的意义可知当变量x 增加一个单位时，y ^的平均改变量为b ^，由题目回归方程y ^＝2－2.5x ，可得当变量x 增加一个单位时，y ^平均减少2.5个单位．答案：平均减少2.5个单位4．某数学老师的身高是176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x ＝173，y ＝176，b ^＝0×（－6）＋（－3）×0＋3×602＋9＋9＝1，a ^＝y －b ^x －＝176－1×173＝3，∴y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^＝185.答案：1855．为了对学业水平测试成绩进行分析，在得分60分以上的全体同学中随机抽取8位．他们的物理、化学成绩如下：若用变量x ，y 分别记作物理成绩和化学成绩，则x ，y 之间的线性相关系数r 为________． (参考数据：x －≈85，y －＝81，∑i ＝18(x i －x －)2≈457，∑i ＝18(y i －y －)2≈550，∑i ＝18(x i －x －)(y i－y －)≈501，457≈21.4，550≈23.5)解析：r ＝∑i ＝18（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝18（x i －x －）2∑i ＝18（y i －y －）2≈501457×550≈50121.4×23.5≈0.996.答案：0.996 二、解答题6．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：且已知产量x 与单位成本y 具有线性相关关系． (1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 解：(1)n ＝6，x －＝3.5，y －＝71，＝1 481－6×3.5×7179－6×3.52≈－1.82， a ^＝y －－b ^x －＝71＋1.82×3.5＝77.37，则线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝－1.82x ＋77.37.(2)因为单位成本平均变动b ^＝－1.82＜0，且产量x 的计量单位是千件，所以根据回归系数b ^的意义有产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元．(3)当产量为6 000件， 即x ＝6时，代入线性回归方程， 得y ^＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．即当产量为6 000件时，单位成本大约为66.45元．7．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：(1)利用散点图或相关系数r 的大小判断变量y 对x 是否线性相关？为什么？ (2)如果y 对x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(最后结果精确到0.001，参考数据：656.26≈25.617，16×11＋14×9＋12×8＋8×5＝438，162＋142＋122＋82＝660，112＋92＋82＋52＝291)解：(1)∵x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14(x i －x －)(y i －y －)＝25.5，∑i ＝14x i －x－2∑i ＝14y i －y－2＝656.25≈25.617，∴r 0.05≈0.995，由检验水平0.05及n －2＝2，在附录1中查得r 0.05＝0.950，因为0.995>0.950，∴y 与x 有线性相关关系．(2)∵∑i ＝14(x i －x －)2＝35，∴b ^≈0.729，a ^＝y －－b ^x －≈－0.863.∴线性回归方程为y ^＝0.729x －0.863. (3)0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.901. 故机器运转速度应在14转/秒之内．8.(重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)依题意得：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。

⼀元线性回归模型案例第⼆章⼀元线性回归模型案例⼀、中国居民⼈均消费模型从总体上考察中国居民收⼊与消费⽀出的关系。

表2.1给出了1990年不变价格测算的中国⼈均国内⽣产总值（GDPP）与以居民消费价格指数（1990年为100）所见的⼈均居民消费⽀出（CONSP）两组数据。

1) 建⽴模型，并分析结果。

输出结果为：对应的模型表达式为：201.1070.3862CONSP GDPP =+(13.51) (53.47) 20.9927,2859.23,0.55R F DW ===从回归估计的结果可以看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t 检验。

中国⼈均消费增加10000元，GDP 增加3862元。

⼆、线性回归模型估计表2.2给出⿊龙江省伊春林区1999年16个林业局的年⽊材采伐量和相应伐⽊剩余物数据。

利⽤该数据（1）画散点图；（2）进⾏OLS 回归；（3）预测。

表2.2 年剩余物y 和年⽊材采伐量x 数据（1）画散点图先输⼊横轴变量名，再输⼊纵轴变量名得散点图（2）OLS估计弹出⽅程设定对话框得到输出结果如图：由输出结果可以看出，对应的回归表达式为：0.76290.4043t t yx =-+ (-0.625) (12.11)20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测⽅法⾸先修改⼯作⽂件范围将⼯作⽂件范围从1—16改为1—17确定后将⼯作⽂件的范围改为包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改为1—17打开x的数据⽂件，利⽤Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改为17—17，即只预测x=20时的y的值。

由上图可以知道，当x=20时，y的预测值是7.32，yf的分布标准差是2.145。

三、表2.3列出了中国1978—2000年的参政收⼊Y和国内⽣产总值GDP的统计资料。

一元线性回归模型案例一元线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。

在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍一元线性回归模型的应用和分析过程。

案例背景：假设我们是某家电商平台的数据分析师，我们希望通过用户的年龄来预测其在平台上的消费金额。

我们收集了100位用户的年龄和其在平台上的消费金额的数据，现在我们希望利用一元线性回归模型来分析这些数据，以便更好地了解用户消费行为。

数据分析：首先，我们需要对收集到的数据进行初步的分析。

我们可以使用散点图来观察年龄和消费金额之间的关系。

通过观察散点图，我们可以初步判断年龄和消费金额之间是否存在线性关系，以及线性关系的方向和强度。

模型建立：在确认了年龄和消费金额之间存在线性关系后，我们可以建立一元线性回归模型。

模型的基本形式为，Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量（消费金额），X表示自变量（年龄），β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。

我们需要通过最小二乘法来估计β0和β1的值，从而建立回归方程。

模型评价：建立回归模型后，我们需要对模型进行评价。

我们可以通过计算回归方程的拟合优度R^2来评价模型的拟合程度，R^2的取值范围为0到1，值越接近1表示模型拟合得越好。

此外，我们还可以利用残差分析来检验模型的假设是否成立，以及检验模型的稳健性和可靠性。

预测分析：最后，我们可以利用建立的回归模型进行预测分析。

通过输入不同年龄的值，我们可以利用回归方程来预测用户在平台上的消费金额。

预测分析可以帮助电商平台更好地了解不同年龄段用户的消费特点，从而制定针对性的营销策略和服务方案。

结论：通过以上一元线性回归模型的应用分析，我们可以得出结论，用户的年龄和在平台上的消费金额之间存在一定的线性关系，通过建立回归模型，我们可以对用户的消费金额进行预测和分析。

这对于电商平台来说具有重要的参考价值，可以帮助平台更好地了解用户消费行为，从而提升用户体验和增加销售额。