济南市南山区九年级上册期末模拟试卷(有答案)-(数学)

九年级上册济南数学期末试卷综合测试（Word 版 含答案） 一、选择题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x +=B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=2．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－1 3．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( ) A ．30πcm 2 B ．15πcm 2 C ．152π cm 2 D ．10πcm 24．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．195．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．3mC ．150mD ．3 6．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k ≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k ＞﹣1且k≠0 7．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：1 8．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.59．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A ．25°B ．40°C ．45°D ．50° 10．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 11．2的相反数是（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-12．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2二、填空题13．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.14．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .15．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.16．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．17．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ．18．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0（a 、b 、m 为常数，a ≠0）的解是x 1＝2，x 2＝﹣1，那么方程a （x +m +2）2+b ＝0的解_____．19．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．20．方程290x 的解为________.21．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______. 22．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．23．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 24．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()2,3-，则下列各点中，在这个函数图象上的是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3-- C ．()1,6 D ．()1,6-2．已知反比例函数1y x=-，下列结论；①图象必经过点(1,1)-；②图象分布在第二，四象限；③在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（ ）个. A ．3 B ．2C ．1D ．0 3．如图，已知AB 是ʘO 的直径，点P 在B 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若⊙O 的半径为1．BC ＝9，则PA 的长为（ ）A ．8B ．43C ．1D ．54．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD =88°，则∠BCD 的度数是A ．88°B ．92°C ．106°D ．136° 5．二次函数()2214y x =-+-下列说法正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴为直线1x =C ．顶点坐标为()1,4D ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大6．如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数k y x=（x ＜0）的图象上，顶点B ，C 在x 轴上，对角线AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，若△BCE 的面积是6，则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣8C ．﹣9D ．﹣127．如图，在平面直角坐标系中，点()2,5P 、(),Q a b ()2a >在函数k y x=()0x >的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着a 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A ．增大B ．减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小 8．在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是（ ） A ．5 B ．3 C ．6 D ．49．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度是( )A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm10．对于二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值﹣3C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）D ．图象与x 轴有两个交点二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动.以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒______度.12．如图，,E F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，则相似比等于__________.13．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为____．14．已知ADC 中，90ADC ∠=︒，AB 交CD 于E ，且AB AC =，45BCD ∠=︒，:9:7DE CE =，22BC =，则AE 的长度为________.15．如图，在半径为3的O 中，AB 的长为π，若随意向圆内投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率为______________．16．如图，ABC 内接于,30,2O C AB ∠==， 则O 的半径为__________．17．分解因式：x2﹣2x＝_____．18．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.三、解答题(共66分)19．（10分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）解方程：（1）2x2+3x﹣1＝0（2）1122 xx x-=+-21．（6分）如图，AG是∠PAQ的平分线，点E在AQ上，以AE为直径的⊙0交AG于点D，过点D作AP的垂线，垂足为点C，交AQ于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，AC=2CD，求BD的长22．（8分）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A 、B （如图），在（1）处小颖能看到B 建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A 建筑物高25米．（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B ？请在图中标出这点．（2）若小明刚好看不到B 建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）23．（8分）一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象相交于A （﹣1，4），B （2，n ）两点，直线AB 交x 轴于点D ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ，连接AC 交x 轴于点E ，求△AED 的面积S ．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣2512）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，8）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，已知点O 是坐标原点，B C 、两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将OBC ∆放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的''OB C ∆；（2）若OBC ∆内部一点M 的坐标为(),a b ，则点M 对应点M '的坐标是______；（3）求出变化后''OB C ∆的面积 ______ .26．（10分）如图，AB 是O 的直径，45CAB ∠=︒，BC BA =，连接OC 交O 于点D ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若2AB =，求CD 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】计算k值相等即可判断该点在此函数图象上. 【详解】k=-2⨯3=-6，A.2 ⨯3=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上；B.-2 ⨯（-3）=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上；C.1 ⨯6=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上，D.1⨯(-6)=-6，该点在反比例函数kyx=的图象上，故选：D.【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确计算k值即可判断.2、A【分析】根据反比例函数的图像与性质解答即可.【详解】①∵-1×1=-1，∴图象必经过点(1,1)-，故①正确；②∵-1<0，图象分布在第二，四象限，故②正确；③∵-1<0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故③正确.故选A.【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数kyx=(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.3、C【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO＝90°，再判定△PDO∽△PCB，最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可．【详解】解：连接DO∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴∠PDO ＝90°，∵BC ⊥PC ，∴∠C ＝90°，∴∠PDO ＝∠C ，∴DO//BC ，∴△PDO ∽△PCB ， ∴6293DO PO BC PB ===， 设PA ＝x ，则62123x x +=+， 解得：x ＝1，∴PA ＝1．故答案为C ．【点睛】本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质，证得△PDO ∽△PCB 是解答本题的关键．4、D【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD 的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD 的度数【详解】由圆周角定理可得∠BAD=12∠BOD=44°， 根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD=180°-∠BAD=180°-44°=136°，故答案选D ．考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．5、D【分析】根据解析式即可依次判断正确与否.【详解】∵a=-20<，∴开口向下，A 选项错误；∵()2214y x =-+-，∴对称轴为直线x=-1，故B 错误；∵()2214y x =-+-，∴顶点坐标为（-1，-4），故C 错误；∵对称轴为直线x=-1，开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故D 正确.故选：D.【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键.6、D【分析】先设D （a ，b ），得出CO=-a ，CD=AB=b ，k=ab ，再根据△BCE 的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB ∥OE ，B C•EO=AB•CO ，求得ab 的值即可．【详解】设D （a ，b ），则CO=﹣a ，CD=AB=b ，∵矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数k y x =（x ＜0）的图象上， ∴k=ab ，∵△BCE 的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=12， ∵AB ∥OE ， ∴BC AB OC EO =，即BC•EO=AB•CO ， ∴12=b×（﹣a ），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合．7、A【分析】首先利用a 和b 表示出AC 和CQ 的长，则四边形ACQE 的面积即可利用a 、b 表示，然后根据函数的性质判断．【详解】解：AC ＝a−2，CQ ＝b ，则S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝（a−2）b ＝ab−2b ．∵()2,5P 、(),Q a b 在函数k y x=()0x >的图象上， ∴ab 25=⨯＝k ＝10（常数）．∴S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝10−2b ，∵当a ＞2时，b 随a 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝10−2b 随a 的增大而增大．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b 表示出四边形ACQE 的面积是关键.8、D【分析】由点P 在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.【详解】解：∵点P 在圆外∴圆的直径为10-2=8∴圆的半径为4故答案为D.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.9、B【分析】过点O 作OM ⊥DE 于点M,连接OD ，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算，即可求出答案.【详解】过点O 作OM ⊥DE 于点M,连接OD.∴DE=DE ， ∵DE=8cm ，∴DM=4cm ，在Rt △ODM 中，∵OD=OC=5cm ，∴∴直尺的宽度为3cm.故答案选B.【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.10、B【分析】根据二次函数的性质对A B C 、、进行判断；通过解方程﹣14（x ﹣2）2﹣3＝0对D 进行判断即可. 【详解】∵二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故选项A 错误；当x ＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B 正确；图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C 错误；当y ＝0时，0＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，即()2212x -=-,无解，故选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与x 轴的交点问题转化为解关于x 的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其()2y a x h k =-+的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、30或60【分析】射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点就是射线BP 与O 相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP 与O 在射线BA 上方相切时，符合题意，设切点为C ，连接OC ，则OC ⊥BP ， 于是，在直角△BOC 中，∵BO =2，OC =1，∴∠OBC =30°，∴∠1=60°，此时射线BP 旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP 与O 在射线BA 下方相切时，也符合题意，设切点为D ，连接OD ，则OD ⊥BP ，于是，在直角△BOD 中，∵BO =2，OD =1，∴∠OBD =30°，∴∠MBP =120°，此时射线BP 旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.1222【分析】根据矩形的性质可得EF=AB=CD ，AE=12AD=12BC ，根据相似的性质列出比例式，即可得出2212AB AE BC BC =•=，从而求出相似比. 【详解】解：∵,E F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点， ∴EF=AB=CD ，AE=12AD=12BC ， ∵矩形ABCD 与矩形EABF 相似 ∴AB BC AE AB= ∴2212AB AE BC BC =•= ∴222BC AB= ∴相似比BC AB 22） 22）.【点睛】此题考查的是求相似多边形的相似比，掌握相似多边形的性质是解决此题的关键.13、（6，4）．【分析】作BQ ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解之求出x 的值，从而得出点P 的坐标，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则AQ=5，BQ=12，∴AB=2213AQ BQ +=，CQ=AC-AQ=9，∴BC=2215BQ CQ +=设⊙P 的半径为r ，根据三角形的面积可得：r=14124141315⨯=++ 过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，∴BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解得：x=6，∴点P 的坐标为（6，4），故答案为：（6，4）．【点睛】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P 的坐标是解题的关键．14、152【分析】过B 作BF ⊥CD 于F ，BG ⊥BF 交AD 的延长线于G ，则四边形DGBF 是矩形，由矩形的性质得到BG =DF ，DG =FB ．由△BFC 是等腰直角三角形，得到FC =BF =1．设DE =9x ，则CE =7x ，EF =CE -FC =7x -1，BG =DF =16x -1，DG =FB =1．在Rt △ADC 和Rt △AGB 中，由AC =AB ，利用勾股定理得到AD =16x -1．证明△FEB ∽△DEA ，根据相似三角形的对应边成比例可求出x 的值，进而得到AD ，DE 的长．在Rt △ADE 中，由勾股定理即可得出结论．【详解】如图，过B 作BF ⊥CD 于F ，BG ⊥BF 交AD 的延长线于G ，∴四边形DGBF 是矩形，∴BG =DF ，DG =FB ．∵∠BCD =45°，∴△BFC 是等腰直角三角形．∵BC =∴FC =BF =1．设DE =9x ，则CE =7x ，EF =CE -FC =7x -1，BG =DF =16x -1，DG =FB =1．在Rt △ADC 和Rt △AGB 中，∵AC =AB ，∴2222AD CD AG BG +=+，∴2222(16)(2)(162)AD x AD x +=++-，解得：AD =16x -1．∵FB ∥AD ，∴△FEB ∽△DEA ， ∴FB EF AD DF=， ∴2721629x x x -=-， ∴18x 1-16x +1=0，解得：x =114或x =12． 当x =114时，7x -1＜0，不合题意，舍去， ∴x =12， ∴AD =16x -1=6，DE =9x =92，∴AE 152==．故答案为：152． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．求出AD =16x -1是解答本题的关键．15、16【分析】根据圆的面积公式和扇形的面积公式分别求得各自的面积，再根据概率公式即可得出答案．【详解】∵圆的面积是：239ππ=， 扇形的面积是：13322ππ=， ∴小球落在阴影部分的概率为：31296ππ=. 故答案为：16. 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应面积与总面积之比.16、2【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=60得到△ABC 是等边三角形，即可得到半径OA=AB=2.【详解】连接OA 、OB ，∵30C ∠=，∴∠AOB=60，∵OA=OB ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=AB=2，故答案为：2.【点睛】此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.17、x(x﹣2)【分析】提取公因式x，整理即可．【详解】解：x2﹣2x＝x(x﹣2)．故答案为：x(x﹣2)．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．18、62+1．【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．【详解】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于；∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=8，∴直角三角形ABE中，2，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴∵∠G=∠DEF ，∠EFD=∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC∵DF=3FC ，133CG CF CF DE DF CF === 设CG=x ，DE=3x ，则AD=8+3x=BC∵BG=BC+CG∴=8+3x+x解得x=1，∴BC=8+3（-1）1，故答案为：+1．【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出BG=BE ，从而进行计算．三、解答题(共66分)19、（2）抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+2．（2）证明见解析；（2）点P 坐标为（32+，52）或（2，2）． 【解析】试题分析：（2）将A （﹣2，0）、C （0，2），代入二次函数y=ax 2+bx ﹣2a ，求得a 、b 的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC 、CD 、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（2）分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．试题解析：（2）∵二次函数y=ax 2+bx ﹣2a 经过点A （﹣2，0）、C （0，2），∴将A （﹣2，0）、C （0，2），代入，得30{33a b a a --=-=，解得12a b =-=⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+2；（2）如图，连接DC 、BC 、DB ，由y=﹣x 2+2x+2=﹣（x ﹣2）2+4得，D 点坐标为（2，4），∴∵CD 2+BC 2=）2+（）2=20，BD 2=（2=20，∴CD 2+BC 2=BD 2，∴△BCD 是直角三角形；（2）y=﹣x 2+2x+2对称轴为直线x=2．假设存在这样的点P,①以CD 为底边，则P 2D=P 2C ，设P 2点坐标为（x ，y ），根据勾股定理可得P 2C 2=x 2+（2﹣y ）2，P 2D 2=（x ﹣2）2+（4﹣y ）2，因此x 2+（2﹣y ）2=（x ﹣2）2+（4﹣y ）2，即y=4﹣x ．又P2点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+2，即x2﹣2x+2=0，解得x2=352+，x2=352-＜2，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=352+，∴y=4﹣x=552-，即点P2坐标为（352+，552-）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=2对称，此时点P2坐标为（2，2）．∴符合条件的点P坐标为（352+，552-）或（2，2）．考点：2.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；2.直角三角形的判定.20、（1）x1＝3174-+，x2＝3174-；（2）x＝23【分析】（1）将方程化为一般形式a x2+b x+c=0确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解；（2）最简公分母是（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，需检验结果是否为原方程的解；【详解】解：（1）∵a=2，b=3，c=-1，∴∆=b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x -b-317±∆±，∴x1＝3174-，x2＝3174-；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x＝23，检验：当x＝23时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝23是原方程的解；【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-公式法，解分式方程，掌握解一元二次方程-公式法，解分式方程是解题的关键.21、（1）证明见详解；（2）8.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2））在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=5a，证明△ACD∽△ADE，表示a=45r，由平行线分线段成比例定理得：BD ODBC AC=，代入可得结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=5a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴AD ACAE AD=,55aa=，∴45ra=，由（1）知：OD∥AC，=,2=BD OD BD r BC AC BD a a+即， 解得BD=4468.33r =⨯= 【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．22、（1）汽车行驶到E 点位置时，小明刚好看不到建筑物B ；（2）他向前行驶了18.3米．【解析】1）连接FC 并延长到BA 上一点E ，即为所求答案；（2）利用解Rt △AEC 求AE ，解Rt △ACM ，求AM ，利用ME=AM-AE 求出他行驶的距离．【详解】解：（1）如图所示：汽车行驶到E 点位置时，小明刚好看不到建筑物B ；（2）∵小明的视角为30°，A 建筑物高25米，∴AC ＝25，tan30°＝＝，∴AM ＝25 ，∵∠AEC ＝45°，∴AE ＝AC ＝25m ，∴ME ＝AM ﹣AE ＝43.3﹣25＝18.3m ．则他向前行驶了18.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的基本方法，先分别在两个直角三角形中求相关的线段，再求差是解题关键．23、（1）22y x =-+，4y x=-；（2）83． 【分析】（1）把A （﹣1，4）代入反比例函数可得m 的值，再把B （2，n ）代入反比例函数的解析式得到n 的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）由BC ⊥y 轴，垂足为C 以及B 点坐标确定C 点坐标，可求出直线AC 的解析式，进一步求出点E 的坐标，然后计算得出△AED 的面积S ．【详解】解：（1）把A （﹣1，4）代入反比例函数m y x =得， m=﹣1×4=﹣4， 所以反比例函数的解析式为4y x =-， 把B （2，n ）代入4y x=-得，2n=﹣4， 解得n=﹣2，所以B 点坐标为（2，﹣2），把A （﹣1，4）和B （2，﹣2）代入一次函数y kx b =+， 得：422k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩， 所以一次函数的解析式为22y x =-+；（2）∵BC ⊥y 轴，垂足为C ，B （2，﹣2），∴C 点坐标为（0，﹣2）．设直线AC 的解析式为y px q =+，∵A （﹣1，4），C （0，﹣2），∴42p q q -+=⎧⎨=-⎩，解得：62p q =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为62y x =--，当y=0时，﹣6x ﹣2=0，解答x=13-，∴E 点坐标为（13-，0），∵直线AB 的解析式为22y x =-+，∴直线AB 与x 轴交点D 的坐标为（1，0），∴DE=141()33--=， ∴△AED 的面积S=14423⨯⨯=83．【点睛】本题考查1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题，利用数形结合思想解题是关键．24、（1）21118126y x x =-+；（2）对称轴l 与⊙C 相交，见解析；（3）P （30，﹣2）或（41，100） 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A 点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l 的解析式及B 、C 的坐标，分别求出直线AB 、BD 、CE 的解析式，再求出CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）分∠ACP ＝90°、∠CAP ＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）设抛物线为y ＝a （x ﹣11）2﹣2512， ∵抛物线经过点A （0，8），∴8＝a （0﹣11）2﹣2512， 解得a ＝112， ∴抛物线为y ＝2125(11)1212x --＝21118126x x -+； （2）设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则∠BEC ＝∠AOB ＝90°．∵y ＝2125(11)1212x --＝0时，x 1＝11，x 2＝1． ∴A （0，8）、B （1，0）、C （11，0），∴OA ＝8，OB ＝1，OC ＝11，BC ＝10；∴AB＝10，∴AB ＝BC ．∵AB ⊥BD ，∴∠ABC ＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，∴∠EBC ＝∠OAB ，∴0AB EBC AOB BEC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAB ≌△EBC （AAS ），∴OB ＝EC ＝1．设抛物线对称轴交x 轴于F ．∵x ＝11，∴F （11，0），∴CF ＝11﹣11＝5＜1，∴对称轴l 与⊙C 相交；（3）由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：y ＝﹣12x+8， ①当∠ACP ＝90°时，则直线CP 的表达式为：y ＝2x ﹣32， 联立直线和抛物线方程得22321118126y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：x ＝30或11（舍去），故点P （30，﹣2）；当∠CAP ＝90°时，2281118126y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩同理可得：点P （41，100），综上，点P （30，﹣2）或（41，100）；【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S △PAC =S △AQP +S △CQP 是解题关键.25、 (1)见解析;(2) ()2,2a b --；(3)10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OBꞌCꞌ的面积．【详解】解：（1）如图， ''OB C ∆为所作；（2）点M 对应点M '的坐标是()2,2a b --；（3）''OB C ∆的面积11144232121311022)2(OCB S ∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．26、（1）证明见解析；（2）51CD =．【分析】（1）根据题意先由BC=BA 求出∠ACB=∠CAB ，再根据三角形内角和求出∠ABC=90°，即可得出结论； （2）根据题意先求出半径OD ，再根据勾股定理即可求出OC ，进而得出CD ．【详解】解：（1）证明：BC BA =，45CAB ∠=︒，45ACB CAB ∴∠=∠=︒，180454590ABC ∠=︒-︒-︒=︒∴，即AB BC ⊥，因此BC 是O 的切线.（2）由（1）可知，90ABC ∠=︒， AB 是O 的直径，112OD OB AB ∴===，2BC =， 22215OC ∴+=CD OC OD∴=-=.1【点睛】本题考查圆的切线的判定和等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，并据此进行推理计算是解决问题的关键．。

2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.的值为（ ）sin30︒A.D.1122.如图中几何体的左视图为（）A. B.C. D.3.如果，那么下列比例式中正确的是（ ）25a b =A.B.C.D.25a b =25a b=52a b =25a b =4.下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）1y x=A. B. C. D.()2,4()1,51,22⎛⎫⎪⎝⎭11,23⎛⎫⎪⎝⎭5.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）x 2210kx x ++=k A. B. C.0D.12-1-6.若点，，在反比例函数（）的图象上，则下列结论中正()11,y -()21,y ()32,y ky x=0k <确的是（）A. B. C. D.123y y y >>132y y y >>312y y y >>321y y y >>7.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均64⨯ABC △是格点，则的值是（）sin ABC ∠D.458.一次函数（）和二次函数（）在同一平面直角坐标系y cx a =-0c ≠2y ax x c =++0a ≠中的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，ABCD BD B D 12BD 两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、若P Q PQ AD BC M N BM DN ，，则四边形的周长为（ ）3AB =6BC =MBNDA.15B.9C.D.1549410.如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.2y ax bx c =++x ()1,0-1x =下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相0abc >20a b +=x 210ax bx c +++=等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）13a >A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11.如图，四边形四边形，若，，，则ABCD ∽A B C D ''''55B ∠=︒80C ∠=︒110A ∠'=︒______°.D ∠=12.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则估计袋子中红球的个数是______个.13.如图，若点在反比例函数（）的图象上，轴于点，的A ky x=0k ≠AM x ⊥M AMO △面积为8，______.k =14.将抛物线向右移3单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为______.()2213y x =-+15.定义一种运算：，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-例如：当，时，，60α=︒45β=︒()1sin 60452-︒=-︒=则的值为______.sin75︒16.如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），ABCD M N BC CD ，45MAN ∠=︒下列四个结论：①当时，则；②；③MN =22.5BAM ︒∠=90AMN MNC ︒∠+∠=的周长不变；④若，，则的面积为15.其中正确结论的序MNC △2DN =3BM =ABM △号是______.三、解答题（本大题共10小题，共86分）17.（6分）计算.()0π12sin603+︒----18（6分）.2670x x +-=19.（6分）如图，在菱形中，于点，于点，求证.ABCD CE AB ⊥E CF AD ⊥F AE AF=20.（8分）如图，，，，，.求的长度.12∠=∠B D ∠=∠9AE =12AD =20AB =AC21.（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）.音A 乐；.体育；.美术；.阅读；.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取B C D E 部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角______度；a =（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；D （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年E 机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.22.（8分）为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下O OP 调节（如图2），已知探测最大角（）为61°，探测最小角（）为37°.若该校要OBC ∠OAC ∠求测温区域的宽度为1.4米，请你帮助学校确定该设备的安装高度.AB OC （参考数据：，，，，sin610.87≈︒cos610.48︒≈tan61 1.8≈︒sin370.6≈︒cos370.8≈︒）tan370.75︒︒≈23.（10分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个.现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个.（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？（2）若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？24.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点1y x =-ky x=0x >，与轴交于点.点在反比例函数（）的图象上的一点，轴，()3,B a x A C ky x=0x >CD x ⊥垂足为，与交于点，.D CD ABE OA AD =（1）求，的值；a k （2）若点为轴上的一点，求当最小时，点的坐标；P x PB PC +P （3）是平面内一点，是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？F F A B C F 若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.F 25.（12分）【发现问题】（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段CAB △CDE △D AC E CB 和的数量关系是______.AD BE （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点.CDE △C AD BE F ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；AD BE②图2中的度数是______.AFB ∠【探究拓展】（3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，CAB △CDE △90ABC DEC ︒∠=∠=，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、AB BC =DE EC =AD BE F AFB ∠AD 间的数量关系，并说明理由.BE26.（12分）综合与探究：如图，抛物线（）与轴交于点和23y ax bx =+-0a ≠x ()3,0A -点，与轴交于点.()1,0B y C（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若点是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值，D AD CD AC ACD △并求出此时点的坐标；D （3）若点在抛物线的对称轴上，线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好E EB E B B '也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标.E答案1、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11. 115 12. 2 13. 14. 15. 16.①③.16-()2245y x =-+426+三.解答题（本大题共10小题，共86分）题号12345678910答案ADCCDBABAD17.（6分）计算：()0π12sin60232--︒--=-18.（6分）.2670x x +-=公式法：算出，，64=△11x ∴=27x =-因式分解法：，，()()170x x -+=11x ∴=27x =-配方法：，，()2316x +=11x ∴=27x =-19.（6分）证明：菱形，， ABCD AB AD BC CD ∴===B D∠=∠，.CE AB ⊥ CF AD ⊥90BEC DFC ∴∠=∠=︒（或者连接，证）()BCEDCF AAS ∴△≌△AC ()ACEACF AAS △≌△.AE AF ∴=20.（8分）证明：，，12∠=∠ 12BAE BAE ∴∠+∠=∠+∠DAE BAC∴∠=∠，B D ∠=∠ DAE BAC ∴△∽△，，AD AE AB AC ∴=12920AC ∴=15AC ∴=21.（8分）根据图中信息，解答下列问题：（1）①400；②60，60；③54（2）（人）1402800980400⨯=答：参加组（阅读）的学生人数为280人D （3）列表或画树状图正确共有12中等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的有两种A C （恰好抽中甲、乙两人）P ∴21126==22.（8分）方法1：解：在中，，Rt OBC △8tan tan 6 1.1O B OBC CC∠==︒=设，则∴BC x = 1.8OC x=在中，，Rt OAC △1tan ta 5n 37.80.71.4OC C AC O xA x=+==∠︒=.1x ∴=经检验，是原方程的解1x =1.8 1.8OC x ∴==方法2：解：在中，Rt OAC △7tan tan 330.547O C A C A O C ∠=︒===设，则∴3OC x =4AC x=在中，Rt OBC △3 1.81tan .t 4n 614a O C C x BC OB x ==-∠=︒=0.6x ∴=经检验，是原方程的解0.6x =3 1.8OC x ∴==23.（10分）（1）解：设定价应增加元x ()()5240180102000x x -+-=解得，18x =22x =-采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润不合题意舍去，22x ∴=-8x ∴=答：定价应增加8元.（1）设定价增加元时获利元x y ()()215240108016010026y x x x x -+=-+-=+当时，有最大值，为2250元.3x =y 答：若商店要获得最大利润，则定价应增加3元，最大利润是2250元.24.（10分）（1）求出，；2a =6k =（2）求出，画图找到点，求出点的坐标；()2,3C P P 1305⎛⎫⎪⎝⎭,第11页/总12页（3），，()14,5F ()22,1F -()30,1F 25.（12分）【发现问题】（1）AD BE=（2）①，证明过程 ②60度AD BE =（3）写出度，证明过程45AFB ∠=AD =26.（12分）（1）解出，，抛物线的函数表达式1a =2b =∴223y x x =+-（2）求出点，直线关系式()0,3C -AC 3y x =--设点，过点作轴的垂线，交于点，()2,23D m m m +-D x AC F 则点，(),3F m m --()()223233DE m m m m m ∴=---+-=--23922m m S --∴=当时，S 有最大值为，此时，32m =-827315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3），()11,3E -()21,2E --第12页/总12页。

人教版九年级第一学期期末模拟数学试卷及答案一．选择题（满分30分，每小题3分）1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜52．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4 4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．0＜m B．＜m＜C．0＜m＜D．m＜或m＜7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）A．56元B．57元C．59元D．57元或59元10．如图所示双曲线y＝与y＝﹣分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣上的点，C是y＝上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3，）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（满分24分，每小题4分）11．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为；12．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是．13．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△CO D的位置，则旋转角为．14．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为．15．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．16．建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是：．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17．（6分）解一元二次方程：3x2﹣1＝2x+5．18．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．（1）求扇形OAC的面积；（2）求弦CD的长．19．（6分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）20．（7分）某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？21．（7分）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．22．（7分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC ⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．24．（9分）如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．25．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求线段DO的长；（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．参考答案一．选择题1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴，解得：k≤5且k≠1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．解：A、1+2≠3+4，所以A选项不正确；B、7+10≠5+8，所以B选项不正确；C、13+5＝1+17，所以C选项正确；D、1+3≠2+4，所以D选项不正确．故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．解：根据点到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm，则该点在圆外．故选：A．【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；B、图象位于第二、四象限，故B正确；C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．0＜m B．＜m＜C．0＜m＜D．m＜或m＜【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过原点时m的值，结合图形即可得到答案．解：令y＝﹣2x2+4x＝0，解得：x＝0或x＝2，则点A（2，0），B（﹣2，0），∵C1与C2关于y铀对称，C1：y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，∴C2解析式为y＝﹣2（x+1）2+2＝﹣2x2﹣4x（﹣2≤x≤0），当y＝x+m与C2相切时，如图所示：令y＝x+m＝y＝﹣2x2+4x，即2x2﹣3x+m＝0，△＝﹣8m+9＝0，解得：m＝，当y＝x+m过原点时，m＝0，∴当0＜m＜时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：①由图象可知：＞0，∴ab＜0，故①正确；②由抛物线与x轴的图象可知：△＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③由图象可知：x＝1，y＜0，∴a+b+c＜0，故③正确；④∵＝1，∴b＝﹣2a，令x＝﹣1，y＞0，∴2a+b+c＝c＜0，故④错误故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A．（5，2）B．（1，0）C．（3，﹣1）D．（5，﹣2）【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；解：如图，△A2B2C1即为所求．观察图象可知：A2（5，2）故选：A．【点评】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）A．56元B．57元C．59元D．57元或59元【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，整理得：x2﹣115x+3304＝0，解得：x1＝56，x2＝59．∵要使顾客获得实惠，∴x＝56．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如图所示双曲线y＝与y＝﹣分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣上的点，C是y＝上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3，）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据函数图象所在象限可得k＞0，根据反比例函数的性质可得①正确；②再根据函数解析式结合点B的横坐标为﹣3，可得纵坐标，然后再根据4BD＝3CD可得C点坐标；③设点B的横坐标为a，则B（a，﹣），表示点C的坐标，可得k的值；④首先表示出B，C点坐标，进而得出BC的长，即可得出△ABC的面积．解：①y＝的图象在一、三象限，故在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确；②点B的横坐标为﹣3，则B（﹣3，1），由4BD＝3CD，可得CD＝，故C（﹣3，﹣），故②错误；③设点B的横坐标为a，则B（a，﹣），由4BD＝3CD，可得CD＝﹣，故C（a，），由C（a，）可得：k＝a×＝4，故③正确；④BC＝﹣﹣＝﹣，S＝＝﹣×（﹣a）×＝，故④错误；△ABC所以本题正确的有两个：①③；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及三角形面积等知识，根据题意得出BC的长是解题关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为2018；【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根”，得到α+β的值，代入α3﹣2021α﹣β，再把α代入方程x2﹣x﹣2019＝0，经过整理变化，即可得到答案．解：根据题意得：α+β＝1，α3﹣2021α﹣β＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）＝α（α2﹣2020）﹣1，∵α2﹣α﹣2019＝0，∴α2﹣2020＝α﹣1，把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：原式＝α（α﹣1）﹣1＝α2﹣α﹣1＝2019﹣1＝2018．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣1）2﹣1．【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，﹣1），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为90°．【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．14．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为．【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．解：设草鱼有x条，根据题意得：＝0.5，解得：x＝350，由题意可得，捞到鲤鱼的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．15．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是4．【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA，最后用勾股定理即可得出结论．解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出OA是解本题的关键．16．建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是：两点确定一条直线．【分析】由直线公理可直接得出答案．解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题主要考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题的关键．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17．（6分）解一元二次方程：3x2﹣1＝2x+5．【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．解：3x2﹣1＝2x+5，3x2﹣2x﹣6＝0∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．（1）求扇形OAC的面积；（2）求弦CD的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理求出∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠AOC，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出CE，根据垂径定理计算即可．解：（1）∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝120°，∴扇形OAC的面积＝＝12π；（2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，∴CE＝OC×sin∠COE＝3，∵弦CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6．【点评】本题考查的是扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．19．（6分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？【分析】（1）首先求出y B函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出y A函数关系式；（2）首先将y＝120代入求出x的值，进而代入y B求出答案；（3）得出y A﹣y B的函数关系式，进而求出最值即可．解：（1）由题意可得出：y B＝（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000＝（0﹣60）2+m，解得：m＝100，∴y B＝（x﹣60）2+100，当x＝40时，y B＝×（40﹣60）2+100，解得：y B＝200，y A＝kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A＝﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120＝﹣20x+1000，解得：x＝44，当x＝44，y B＝（44﹣60）2+100＝164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B＝﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣20）2+100，∴当x＝20时，两组材料温差最大为100℃．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）20．（7分）某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？【分析】（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入资金金额＝2018年投入资金金额×（1+增长率），即可求出结论．解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．答：该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．答：该镇2019年预计投入资金1331万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．21．（7分）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【分析】（1）结论：DA＝DB+DC．由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC ＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD ≌△A CE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE ＝DC+DB．（2）结论：DA＝DB+DC．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，据此可得∠DAE＝∠BAC＝90°，由勾股定理知DA2+AE2＝DE2，继而可得2DA2＝（DB+DC）2；解：（1）结论：DA＝DB+DC．理由：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，（2）结论：DA＝DB+DC，理由：如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（7分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：（Ⅰ）画树状图得：（Ⅱ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，∴两次取出的小球标号相同的概率为＝；（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC ⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．【分析】（1）将A（2，2）代入y＝，即可求出k的值；（2）首先根据OB＝2AC求出OB＝4．再分两种情况进行讨论：①B（﹣4，0）；②B（4，0）．将A、B两点的坐标代入y＝ax+b，利用待定系数法即可求出a的值．解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，2），∴k＝2×2＝4；（2）∵OB＝2AC，AC＝2，∴OB＝4．分两种情况：①如果B（﹣4，0）．∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，∴，解得；②如果B（4，0）．∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，∴，解得．综上，所求a的值为或﹣1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，进行分类讨论是解（2）小题的关键．24．（9分）如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．【分析】（Ⅰ）连接OD，OB，只要证明OD⊥EF即可．（Ⅱ）根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A＝60°，即可得出△OAB等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．（Ⅰ）证明：连接OD，OB．∵D为的中点，∴∠BOD＝∠COD．∵OB＝OC，∴OD⊥BC，∴∠OGC＝90°．∵EF∥BC，∴∠ODF＝∠OGC＝90°，即OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（Ⅱ）解：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，又∵∠BDC＝2∠A，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB等边三角形，∵OB＝AB＝2，又∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出△OAB等边三角形是解题关键．25．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求线段DO的长；（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；（3）由6＜t≤9时OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质求解可得．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12由勾股定理得：OD＝＝9．（2）①当0≤t≤6时，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21即：y＝﹣3t+21；②当6＜t≤9时，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3即：y＝t﹣3；③当9＜t≤12时，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，则OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21即：y＝3t﹣21；综上所述：y＝；（3）如图，当6＜t≤9时，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，∴△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，△POQ面积的最大值．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质、二次函数的应用及分类讨论思想的运用．人教版九年级第一学期期末模拟数学试卷及答案一．选择题（满分30分，每小题3分）1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜52．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4B．7：5：10：8C．13：1：5：17D．1：2：3：4 4．若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小6．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．0＜m B．＜m＜C．0＜m＜D．m＜或m＜7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）。