2021-2022年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第1节排列与组合模拟创新题理

2021年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第1节排列
与组合模拟创新题理
一、选择题
1.(xx·四川成都第二次诊断)某微信群中甲，乙，丙，丁，戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( )
A.36种
B.24种
C.18种
D.9种
解析甲乙两人都抢到红包有三种情况：(1)都抢到2元红包，有C23＝3种；(2)都抢到3元红包，有C23＝3种；(3)一个抢到2元，一个抢到3元，有C12A23＝12种，故总共有18种情况.
答案C
2.(xx·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( )
A.36种
B.30种
C.24种
D.6种
解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C24A33＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30，故选B.
答案B
二、填空题
3.(xx·广东肇庆模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答).
解析两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种).
答案10
4.(xx·衡水模拟)20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________.
解析先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120种方法.
答案120
排列中的相邻问题
5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
解析当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120
＝600，故选C. 答案 C
计数原理中的分类问题
6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A.150 B.180 C.200
D.280
解析 分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2，2，1，则有C 25C 2
3
A 22
·A 33＝90种
分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1，1，3，则有C 35·A 3
3＝60种分
派方法.所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A. 答案 A
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
7.(xx·山东济宁模拟)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的同学，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )
A.484
B.472
C.252
D.232
解析若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264种选法.若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法.故总共有264＋208＝472种不同的选法.
答案B
二、填空题
8.(xx·河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答).
解析甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，只有1种.然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A22＝8(种).
答案8
9.(xx·天津模拟)从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作
为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，则共能组成________个不同的二次函数.
解析a，b，c中不含0时，有A37个；由于a≠0，当b、c中含有0时，有2A27个.故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数.
答案294
三、解答题
10.(xx·苏州调研)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止.
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
解(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，
第2次测到第一件次品有4种方法；
第8次测到最后一件次品有3种方法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种方法；剩余4次抽到的是正品，共有A24 A25A46＝86 400种抽法.
(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种.
由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.
创新导向题
排列、组合中的捆绑问题
11.在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A.8种
B.10种
C.12种
D.14种
解析∵要求必须有女生参加韩语考试，
∴先从2个女生中选一个考韩语有C12种方法，剩下的三个考生在三个位置全排列，有A33种方法，由分步计数原理知有C12A33种方法.又其中考韩语的为两个女生的情况重复，故排除A22种方法，∴共有C12A33－A22＝10种不同方法.
答案B
两个计数原理的综合应用问题
12.已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A.33
B.34
C.35
D.36
解析(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为C13A33.
(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.
(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个，
∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有C13A33＋C13＋C12A33＝33(个).
答案A。