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基本不等式： ≤(a+b)_PPT

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基本不等式： ≤(a+b)_教学课件

基本不等式： ≤(a+b)_教学课件
答案：(1)12 (2)B
热点之三 利用基本不等式求解实际问题
解实际应用题要注意以下几点：
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值；
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．基本不等式 设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识 到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量 式，应用广泛． 2．均值不等式 设a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当a＝b时，不等 式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等 式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
＝x＋
1 2
＋
1 x＋21
－
3 2
≥2
x＋12·x＋1 12－
3 2
＝ 12 ，当且仅当x＋
1 2
＝
1 x＋21
，即x＝ 12
时取
等号，所以函数的最小值等于12.故填12.
(2)由a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1.因为a， b，c>0，所以a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b)＋(a＋ 2c)≥2 a＋2b·a＋2c ＝2，即2(a＋b＋c)≥2，当且仅当a＋2b ＝a＋2c时，取到等号．故a＋b＋c≥1，所以a＋b＋c的最小值为 1.故选B.
从近几年的高考试题看，基本不等式
ab ≤
a＋b 2
的应用一直
是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出
现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是

2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取

第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件

第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件

考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理

人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件44

人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件44

3 4
•[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最 值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值 “1”的替换，即由已知条件得到某个式子值
为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数， 再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不 等式求最值．
【自主体验】
(2013·台州一模)设 x，y 均为正实数，且2＋3 x＋2＋3 y＝1，则
求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
• 答案 D
2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时 取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(√)
[感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成 立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和 为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就 会出现错误．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们 的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不 等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一 致.
•规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时， 应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中 的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的 函数关系式，然后用基本不等式求解．

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件18

人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件18
∴半径是 s时扇形周长最小．
(2)周长 p＝2r＋rθ 一定，∴θ＝pr－2，面积 s＝12θr2＝12r(p －2r)＝r(p2－r)≤[r＋p22－r]2＝1p62，等号在 r＝p2－r 即 r＝p4时成 立，∴半径 r＝p4时，面积最大．
随着经济建设步伐的加快，汽车已步入家庭，公路上交通 日益繁忙．为确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段 内的车距 d(m)正比于车速 v(km/h)的平方与车身长 s(m)的积， 且比例系数为2 5100，那么在交通繁忙时，该如何规定车速，才 能保证此地段通过的车流量 Q 最大？
yx x·y
＝4 等号在 x＝y 即 a－b＝b－c
也就是 b＝a＋2 c时成立．
∴m≤4 时原表达式恒成立． 这样我们通过换元，简化了表达式，暴露了条件式的实质， 拓展了解题的思路，要认真体会．
设 x、y 满足约束条件3x－x－y＋y－26≥≤00 x≥0，y≥0
，若目标函数 z＝ax
[解析] (1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最 值时，等号成立的条件．
正解：∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1，但 sinx＝si2nx时 sinx＝ 2， 不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件， 因此取不到最小值 2 2.
令 u＝sinx，∵0<x<π2，0<u<1，∴可利用 y＝u＋2u在(0,1)上是 减函数得出 y＞3.
建模应用引路
基本不等式在实际问题中的应用
(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形 的周长最小？
(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积 最大？
[解析] 设扇形中心角为 θ，半径 r，面积 s，弧长 l，则 s ＝12lr＝12θr2，l＝rθ.

基本不等式： ≤(a+b)_PPT


＝1＋1x0＋1x0≥1＋2 1x0·1x0＝3. 当且仅当1x0＝1x0，即 x＝10 时，y 取最小值． 答：汽车使用 10 年平均费用最少.
探索延拓创新 利用基本不等式证明不等式
已知 a、b、c、d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac ＋bd)≥4abcd.
[解析] 由 a、b、c、d 都是正数得， ab＋2 cd≥ ab·cd＞0， ac＋2 bd≥ ac·bd＞0. ∴ab＋cd4ac＋bd≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
解法二：由 xy＝24 得 x＝2y4.
∴l＝4x＋6y
＝
96 y
＋6y＝
61y6＋y≥6×2
1y6·y＝48.当且
仅当1y6＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽 油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递 增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 解法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
由22xx＝＋33yy＝18 ， 解得yx＝＝34.5 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
[辨析] a＋b≥2 ab是在 a>0，b>0 的条件下才成立，题 目中没有限定 x>0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因此应分类讨论．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋ ∞)，

高中数学基本不等式 PPT课件 图文

2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前

基本不等式ppt课件

a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5

4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2

1
2
3

由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1



1

x＋ ·
2

m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
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│ 规律总结
3．利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目 标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足一定条件的二 元函数关系．
│ 易错警示
易错警示
[易错六] 基本不等式—忽视“等号”条件成立的要素 例在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两 个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△， ○)应为________．
a2＋b2
≤
2 .( )
│ 问题思考
[答案]对
[解析] 根据基本不等式和不等式的性质a2＋abb≤22aabb＝ ab；由
于
a＋b 2
＝
(a＋b)2 4
＝
a2＋b2＋2ab
4
≤
a2＋b2＋a2＋b2 4
＝
a2＋b2 2.
所以a2＋abb≤
a＋b ab≤ 2 ≤
a2＋b2 2.
│ 问题思考
► 问题3 当x<0时，函数y＝x＋1x的最大值为－2.( )
[解答] (1)v>0且a2≥25100av2，解得0<v≤25 2.
(2)当v≤25
2
时，Q＝
1000v 3
，Q是v的一次函数，所以，当v
2a
＝25
2
时，Q最大为
50000 3a
2 ；当v>25
2
时，Q≤
1000 a1v＋25v00
≤250a00，当且仅当1v＝25v00，即v＝50时，Q最大为250a00.
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 与基本不等式有关的函数最值问题 例1 证明下列不等式： (1)已知a>0，b>0，c>0，证明：acb＋bac＋cba≥a＋b＋c； (2)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，证明： a＋13 ＋
b＋13＋ c＋13≤3.
│ 要点探究
[思路] (1)每两个一组使用基本不等式即可；(2)不等式左端
得t2≤
8 5
，即－
2
10 2 5 ≤t≤
10 5
，即t的最大值也就是2x＋y的最大值
为2
10 5.
方法3：化已知4x2＋y2＋xy＝1为2x＋14y2＋ 415y2＝1，令
2x＋14y＝cosα， 415y＝sinα，则34y＝ 515sinα，则2x＋y＝2x＋14y
＋34y＝cosα＋
515sinα＝2
规律总结
1．利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本不 等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字 母的不等式证明中要注意利用对称性．
2．利用基本不等式可以求特定条件下的二元函数的最值，其 基本思想是通过变换的方法在已知条件和求解目标之间建立起使用 基本不等式的条件，即“一正、二定、三相等”，其中对条件和求 解目标的变换是解题的关键．
│ 问题思考
[答案]对 [解析] 当 x<0 时，－x>0，∴y＝x＋1x＝－－x＋1x≤－ 2 x·1x＝－2，当且仅当 x＝1x，即 x＝－1 时取等号，即 y 的最 大值为－2.
│ 问题思考
► 问题 4 若 x>0，y>0，且 x＋y＝2，则 2xy 的最大值为 1.( )
│ 问题思考
[答案]错 [解析] 2xy≤2x＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y＝1 时取等号．故 2xy 的最大值为 2.
等式．等号当且仅当a＝b＝c＝23时成立．
│ 要点探究
[点评] 我们把任意交换不等式中两个字母不等式不变的不 等式称为轮换对称不等式，其证明的基本技巧也在“轮换”上， 即先对某个或某几个字母证明一个不等式，其余的类似解决， 最后通过同向不等式相加或相乘达到证明的目的．
│ 要点探究
► 探究点2 利用基本不等式求函数最值
P2 如果 P 是定值，那么当且仅当_x_＝__y__时，xy 有最大值___4___．
│ 问题思考
问题思考
► 问题1 x>0，y>0，P，Q为常数
(1)若x＋y＝P，则xy有最大值
P2 4
，当且仅当x＝y＝
P 2
取得上
述最大值；( )
(2)若xy＝S，则x＋y有最小值2 S ，当且仅当x＝y＝ S 取
)
25 8 A. 6 B.3
11 C. 3
D．4
│ 易错警示
[答案] (1)D (2)A
[解析]
(1)a2＋
1 ab
＋
1 aa－b
＝a2－ab＋ab＋
1 ab
＋
1 aa－b
＝ab
＋
1 ab
＋a(a－b)＋
1 aa－b
≥2＋2＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝
1，即a＝ 2，b＝ 22时等号成立．
[答案] (5,10)
│ 易错警示
[规范解答] 设数对为(a，b)，则4a＋b＝30.
∴1a＋1b＝3101a＋1b(4a＋b) ＝3105＋ba＋4ba≥130.
当且仅当ba＝4ba， 4a＋b＝30
时等号成立，即ab＝ ＝51， 0.
│ 易错警示
[易错警示] 警示1：理解清楚题目给出的4×△＋1×○＝ 30，正确把问题用数学式子表达出来．
13 6
＋ba＋ab≥163＋2＝265，故选A.
│ 易错警示
＋y)2－32·2xy＝1，
∴(2x＋y)2－
3 2
·2x2＋y
2≤1，解之得(2x＋y)2≤
8 5
，即2x＋
2 y≤
510.等号当且仅当2x＝y>0，即x＝
1100，y＝
510时成立．
│ 要点探究
方法2：令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得 6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解
│ 易错警示
自我检评(1)[2010·四川卷] 设a>b>0，则a2＋a1b＋a(a1－b)的最 小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
│ 易错警示
(2)设x，y满足约束条件 3xx－－y＋y－26≥≤0，0， x≥0，y≥0，
若目标函数z＝ax＋
by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为(
条件变为
a＋b 2
＝1，进行常数代换；(2)根据已知的和求解的目
标，把已知等式变形为关于2x＋y的不等式，或者使用代数换元
的方法，即令t＝2x＋y，得y＝t－2x，代入已知方程，这个方程
的判别式不小于零，或者变换已知式为2x＋14y2＋ 415y2＝1使 用三角换元的方法．
│ 要点探究
[答案] (1)C
C．4
D．2( 2＋1)
[答案] (1)3＋2 2 (2)C
│ 要点探究
[解析] (1)向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n
＝1，故m1 ＋n2＝(m＋n)m1 ＋n2＝3＋mn ＋2nm≥3＋2 2. (2)根据已知x2＋y2＝(1＋z)(1－z)，故1＋z＝x12＋－yz2，
│ 知识梳理
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab＋ba≥__2__(a，b同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；
│ 知识梳理
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x、y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S，有下列命题： 如果 S 是定值，那么当且仅当__x_＝__y_时，x＋y 有最小值 _2___S__；
│ 问题思考
► 问题 5 函数 y＝sinx＋si4nx，x∈0，π2的最小值为 4.( )
│ 问题思考
[答案] 错 [解析] 当 sinx＝si4nx时，sinx＝±2，显然等号取不到，事 实上，设 t＝sinx，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,2]上为减函数，故 当 t＝1 时，y 取最小值 5.
│ 易错警示
(2)不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by＝z(a>0，b>0)
过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，
目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而
2 a
＋
3 b
＝
2a＋3b
2a＋3b 6
＝
警示2：根据求解目标进行常数代换，防止两次使用基本不 等式时，不能保证等号同时成立．
警示3：不要忘记验证等号成立时，具体的变量数据．
│ 易错警示
[方法剖析] 运用基本不等式求最值的一个高频出错点就是 等号不能同时成立，这种情况主要出现在两次使用基本不等式 上，避免出现这种情况的方法之一就是进行常数代换，尽可能只 使用一次基本不等式．
的每一个都可以看作是1· 以构造轮换不等式．
＋13 的形式，根据基本不等式可
│ 要点探究
[解答] 证明：(1)由于a、b、c均为正实数，∴acb＋bac≥2b，
cba＋bac≥2c，cba＋acb≥2a，三式相加即得欲证不等式成立．
(2)
a＋13＝
1·a＋13≤1＋a2＋13＝23＋a2，
同理 b＋13≤23＋b2， c＋13≤23＋2c，三式相加即得所证不
得上述最小值．( )
│ 问题思考
[答案] (1)对 (2)对 [解析] (1)根据基本不等式xy≤x＋2 y2＝P42，等号当且仅当x ＝y＝P2. (2)根据基本不等式x＋y≥2 xy ＝2 S ，等号当且仅当x＝y ＝ S.
│ 问题思考
►
问题2
如果a>0，b>0，则一定有
2ab a＋b
≤
a＋b ab ≤ 2
2 10 (2) 5