degree

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Homogeneousvarieties-zerocyclesof

degreeoneversusrationalpoints

R.Parimala

AbstractExamplesofprojectivehomogeneousvarietiesovertheﬁeldof

Laurentseriesoverp-adicﬁeldswhichadmitzerocyclesofdegreeoneand

whichdonothaverationalpointsareconstructed.

LetkbeaﬁeldandXaquasi-projectivevarietyoverk.LetZ

0(X)

denotethegroupofzerocyclesonXanddeg:Z

0(X)→Zthedegree

homomorphismwhichassociatestoaclosedpointxofX,thedegree[k(x):k]

ofitsresidueﬁeld.

Westudythequestion:forwhatclassesXofvarieties(respectively,what

classesofﬁeldsk)isittruethatforX∈X,ifXadmitsa0-cycleofdegree

one,thenXhasarationalpoint.

IfXisacurveofgenuszerooroneoveranyﬁeldk,thenXhasarational

pointonceitadmitsazerocyclesofdegreeone.However,thequestionismore

reasonabletoaskforclassesofrationalvarietiesorhomogeneousvarieties.In

thesettingofrationalvarieties,thereareexamples,duetoColliot-Th´el`ene

andCoray[CTC]ofconicbundlesovertheprojectivelineoverap-adicﬁeld

withazerocycleofdegreeone,whichhavenorationalpoints.Weshalllist

fromliteraturesomequestionsinthisdirectionforhomogeneousvarieties.

Q(HP

r)(Veisfeiler)[V]LetXbeaprojectivehomogeneousvarietyunder

aconnectedlinearalgebraicgroupdeﬁnedoveraﬁeldk.IfXhasazero

cycleofdegreeone,doesXhavearationalpoint?

1Q(PHS)[Se]LetGbeaconnectedlinearalgebraicgroupdeﬁnedoveraﬁeld

k.LetXbeaprincipalhomogeneousspaceforGoverk.IfXhasazero

cycleofdegreeone,doesXhavearationalpoint?

Thefollowingquestionscombinetheabovetwoinamoregeneralsetting.

Q(H)(Colliot-Th´el`ene)[To]LetXbeaquasi-projectivehomogeneousva-

rietyunderaconnectedlinearalgebraicgroupdeﬁnedoverk.IfXhasa

zerocycleofdegreeone,doesXhavearationalpoint?

Q(Hd)(Totaro)[To]LetXbeaquasi-projectivevarietyunderaconnected

linearalgebraicgroupdeﬁnedoverk.IfXhasazerocycleofdegreed>0,

doesXhaveaclosedpointofdegreedividingd?

Totaromentionsthatthemostreasonablecasesofhisquestionarewhere

XisaprincipalhomogeneousspaceorifXisprojective.

TheﬁrstexamplewhereQ(H)hasanegativeanswerisdueto[F];the

stabilizerofarationalpointoverthealgebraicclosureforthesehomogeneous

spacesisaﬁnitegroup.

Inthispaper,wegiveexamplestoshowthatQ(HPr)hasanegative

answeringeneral.

§1Connectedness

Weremarkthatconnectednessisessentialwithrespecttothesequestions.

Thereexistautomorphisms(Colemanautomorphisms[HK])ofﬁnitegroups

withtheproperties:

1.fisnotinner.

2.foreverysylowsubgroupHofG,f|

H:H→Gisgivenbyf(x)=

Hxy−1

Hforsomey

H∈G.

2Theclassof[f]inH1(G,G)forthetrivialactionofGonGisnon-trivial,

butrestrictedtoeachp-sylowsubgroup,itistrivial.WethankP.Gillefor

bringingtoourattentiontheseexamples.

§2Principalhomogeneousspaces

ThecaseofQ(PHS)iswideopen,andinspecialcasesQ(PHS)isproved

tohaveanaﬃrmativeanswer.ThecasesofPGL

nandO

nareclassical;for

ntheresultgoesbacktoatheoremofSpringer[Sp].Thecaseofunitary

groupsissettledintheaﬃrmativebyEva-BayerandLenstra[BL].Apos-

itiveanswertoQ(PHS)whenkisanumberﬁeldisduetoSansuc[Sa].

AmainingredientintheproofistheHasseprincipleforprincipalhomo-

geneousspacesundersemisimplesimplyconnectedlinearalgebraicgroups

deﬁnedovernumberﬁelds.ThereareconjecturesconcerningHasseprinciple

forﬁeldsofvirtualcohomologicaldimension2,duetoColliot-Th´el`enewhich

havebeenprovedforclassicalgroups[BP].OnecanshowthatQ(PHS)has

anaﬃrmativeanswerforprincipalhomogeneousspacesunderconnectedlin-

earalgebraicgroupsdeﬁnedoveraﬁeldofvirtualcohomologicaldimension2,

providedthecorrespondingsimplyconnectedgroupsatisﬁesHassePrinciple

conjecture[P1]

§3Projectivehomogeneousvarieties

ThequestionQ(HPr)alsoadmitsapositiveanswerfornumberﬁeldsand

thiscanbededucedfromthetheoremofHarderonHasseprincipleforprojec-

tivehomogeneousvarietiesdeﬁnedovernumberﬁelds[H].Ifonefollowsthe

proofofBorovoiofHarder’stheorem,usingthenon-abelianH2ofSpringerto

studyhomogeneousvarieties,onecanshow,usingtheresultsof[CGP]that

ifkisa2-dimensionalstricthenselianﬁeld,Q(HPr)hasapositiveanswer.

3ItisgoodtostudyQ(HPr)inthecaseof2-dimensionalﬁelds.Apositive

answercanbederivedforclassicalgroupsoverC

2ﬁelds[P2].

§4Example

Inthissection,weconstructanexampletoshowthatQ(HPr)hasanega-

tiveansweringeneral.Thisexampleisareﬁnementofanexamplegivenin

[PSS].

Letkbeap-adicﬁeldcontainingaprimitivep-throotofunityξwith

p≥5.LetK=k((t)).Letℓ|kbeadegreetwoextensionwhichistotally

ramiﬁedoverk.Then|ℓ∗/ℓ∗p|>|k∗/k∗p|.LetL=ℓ((t)).Letµ∈ℓ∗besuch

that[µ]∈ker(N

ℓ/k:ℓ∗/ℓ∗p→k∗/k∗p)and[µ]=1inℓ∗/ℓ∗p.LetDbethe

cyclicalgebraofdegreepoverLdeﬁnedby:

Xp=µ,Yp=t,XY=ξYX.

Itisrepresentedby(µ)∪(t)∈H2(L,µ

p).Wehave,bychoice,cores

L/K(D)=

1sothatDsupportsaninvolutionofsecondkind.LetτbeanL|Kinvolution

onD.Letλ∈k∗besuchthatλ/∈N

ℓ/k(ℓ∗).Lethbetherank3hermitian

form󰀍1,−λ,t󰀋over(D,τ).Thenwehavethefollowing:

LemmaThehermitianformhisanisotropicover(D,τ).

ProofLet∆=󰀅

a∈D:Nrd

D|L(a)∈l[[t]]󰀆

betheuniquemaximalℓ[[t]]-

orderinD.Everyelementaof∆canbewrittenasa=πnb,wherebisa

英文简历单词之教育程度篇

在准备英文简历时，教育程度是一个非常重要的部分，因为它会让用人单位更加了解你的背景和潜在价值。本篇文档将介绍一些常用的英文简历教育程度单词以及它们的解释和用法。

学历

• Bachelor’s degree：学士学位，指完成大学学士学位课程所获得的学位。

• Master’s degree：硕士学位，指完成研究生硕士学位课程所获得的学位。

• Doctoral degree：博士学位，指完成研究生博士学位课程所获得的学位。

• Associate’s degree：副学士学位，指完成大学专科学位课程所获得的学位。

• High school diploma：中学毕业证书，指完成中学教育所获得的证书。

在简历中表达自己的学历可以使用下列表达方式：

• Graduated from(A) with a Bachelor’s/Master’s/Doctoral degree in

(B)：毕业于(A)学校，获得(B)学位。 • Completed a Bachelor’s/Master’s/Doctoral degree in (B) from (A)：在(A)学校完成(B)学位。

• Earned an Associate’s degree in (B) from (A)：在(A)学校获得(B)学位。

• High school diploma from (A)：在(A)学校完成中学教育。

学科

在简历中，除了表达自己的学历，还需要表达自己的学科以及相关的课程和项目经历。以下是一些常见的英文简历学科单词：

• Computer Science：计算机科学

• Electrical Engineering：电气工程

• Business Administration：商业管理

• Finance：财务

• Law：法律

• Marketing：市场营销

• Communication：传媒

各种学位的英语表达

以下是各种学位的英语表达：

1. 本科学位：Bachelor's Degree，如 Bachelor of Arts（文学学士）、Bachelor of Science（理学学士）等。

2. 硕士学位：Master's Degree，如 Master of Arts（文学硕士）、Master of Science（理学硕士）等。

3. 博士学位：Doctoral Degree，如 Doctor of Philosophy（哲学博士）、Doctor of Medicine（医学博士）等。

4. 副学士学位：Associate Degree，通常在社区学院或职业技术学校授予。

5. 专业学位：Professional Degree，如法律博士（Juris Doctor）、医学博士（Doctor of Medicine）、工商管理硕士（Master of Business

Administration）等。

6. 荣誉学位：Honorary Degree，通常授予在某个领域有杰出贡献的人士，以表彰他们的成就。

7. 博士后学位：Postdoctoral Degree，是在博士学位之后进行的研究工作，通常在大学或研究机构进行。

cytoscape中的degree的解释

在Cytoscape中，degree是一个重要的概念，它代表了节点在网络中的度数，也就是与该节点直接相连的边的数量。在图论中，度数是用来描述节点重要性的一个重要指标。在社交网络分析中，节点（如人或组织）的度数可以用来表示其在网络中的影响力、中心性或者连通性。

在Cytoscape中，每个节点都有与之关联的度数，可以通过菜单栏中的"分析"->"节点度"来查看。节点的度数可以分为三种类型：入度（indegree）表示与该节点相连的边的数量；出度（outdegree）表示从该节点出发的边的数量；总度数（total degree）则是入度和出度的总和。

在复杂网络中，节点的度数分布可以反映网络的特征。如果一个网络中大多数节点的度数都很低，那么这个网络可能是一个随机网络；而如果大多数节点的度数都比较高，那么这个网络可能是一个社区网络或者模块化网络。在社交网络中，节点的度数分布可以用来研究社交网络的结构、动态演化以及信息传播等问题。

在Cytoscape中，用户可以通过分析节点的度数来了解网络的结构和动态演化。例如，用户可以通过分析节点的入度和出度来了解不同节点之间的信息流动和交互关系；通过分析总度数，用户可以了解整个网络的结构和连通性。此外，用户还可以通过分析节点的度数分布来研究网络中的社区结构和模块化结构。

总之，Cytoscape中的degree是一个重要的概念，它可以帮助用户了解网络的结构和动态演化，以及研究网络中的信息流动和交互关系。通过分析节点的度数分布，用户可以更好地理解社交网络的结构和演化规律，为社交网络分析提供有力的支持。

xrd数据中angle与degree换算

一、介绍X射线衍射（XRD）技术

X射线衍射（XRD）是一种广泛用于材料分析的技术，它能够通过测量材料中晶体结构的空间排布来获取有关材料性质的重要信息。XRD技术通过测量材料对入射X射线的衍射模式，从而推断材料晶体结构的空间排布和晶体结构参数。

二、XRD数据中angle与degree的关系

在XRD实验中，我们经常会遇到关于角度（angle）的数据。这些角度通常以度（degree）为单位表示。对于XRD数据中的角度，我们需要了解如何在不同单位之间进行转换，以便更好地理解和分析实验结果。

1. XRD数据中的角度表示

在XRD实验中，我们通常会测量样品对入射X射线的衍射模式。这些衍射峰对应的角度通常以度（degree）表示，例如2θ角。2θ角是指入射X射线与样品表面的夹角，通过测量不同2θ角对应的衍射峰强度和位置，我们可以推断样品的晶体结构和晶格参数。

2. Angle与degree的转换关系

在XRD实验数据处理过程中，我们可能需要将角度从弧度（radian）转换为度，或者从度转换为弧度。在XRD数据分析中，通常会用到以下的转换关系：

- 弧度与度的转换关系：1弧度 ≈ 57.3度 - 度与弧度的转换关系：1度 ≈ 0.017弧度

3. XRD数据处理中的角度单位转换

在XRD数据处理中，我们经常需要将角度从degree转换为弧度，或者从弧度转换为degree。这在部分数据分析软件或编程语言中会用到，比如在进行峰位修正或者晶格参数拟合的过程中。

4. 使用示例

假设我们在XRD实验中测得一组样品的衍射峰对应的2θ角数据为{10°, 20°, 30°, 40°}，现在我们需要将这些角度转换为弧度。

我们可以按照上文提到的转换关系来进行计算：

- 10°对应的弧度 = 10° × (π / 180)

- 20°对应的弧度 = 20° × (π / 180)

- 30°对应的弧度 = 30° × (π / 180)

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