【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】艾滋病疗法的评价及疗效的预测2

艾滋病疗法的评价及疗效预测中国地质大学（武汉）谭毅罗文行敖争光指导教师韩世勤全国一等奖摘要：CD4细胞数和HIV病毒载量是反映人体感染HIV病毒之后病程状况的重要指标，尤其是CD4具有重要意义。

本文分析了ACTG公布的两组数据，提出建立统计分析模型，结合多项式曲线拟合和统计的方法求解问题。

利用相关软件（Matlab，Spss，Excel）和自编程序对所给数据进行了大量的统计处理：分组、求均值、消除初值差异、剔除残缺数据和错误数据、加权平均、插值、等效转换等。

用线性回归分析了CD4与HIV的关系为负相关，相关性较好，二者作多项式曲线拟合相关性更高。

以CD4/HIV比值作为反映患者病情的指标与时间t作2阶多项式曲线拟合，得到2次回归方程。

该方程对时间求导得CD4/HIV比值的随时间变化率。

变化率的正负反映患者病情走势。

当处于曲线极大值点时，导数为0，且随时间越过该点导数由正变负，反映患者病情由好变坏，继续服药则药物副作用明显，应立即终止治疗。

根据这一思想可以确定各种疗法的最佳治疗终止时间。

由卫生部发布的免疫学指标：患者经治疗3个月后CD4+T淋巴细胞计数与治疗前相比增加30%即提示治疗有效；和CD4值总体走势（由末值减去初值判断）计算各种疗法有效率，结合最佳终止时间的长短可以评价疗法的优劣。

患者年龄反映了体质的强弱，与其免疫能力关系密切。

按年龄段对每种疗法的患者相关数据分组，利用以上标准计算疗法有效人数和有效率。

将各年龄段某疗法有效人数与该疗法总的有效人数之比作为各年龄段对该疗法的权重（vi），然后对各测试时间点不同年龄段CD4值求加权平均值。

经Newton插值后将CD4与时间t作多项式曲线拟合，得到统计意义上适用于所有年龄段人群的CD4值随时间t的变化趋势。

由回归方程求导并取0值，可以确定最佳医疗终止时间。

当考虑医疗费用时，须在疗效最好和费用最低之间确定一平衡点，使得总体最优。

本文结果：1）最佳治疗终止之间为34.5周；2）疗法优-次序：4-2-3-1;疗法4最佳治疗终止时间为42.816周；3）考虑医疗费用时各疗法优-劣次序：3-2-1-4。

艾滋病疗法的评价及疗效的预测程文龙、宣树人、赵云青摘要本文主要是研究一个关于艾滋病用药控制、评价和预测的问题。

人类免疫系统的CD4细胞和艾滋病毒HIV 是用以衡量艾滋病人治愈情况的重要指标，它们对不同药物、不同用药量（用药时间）的反应情况是不同的。

本文基于对此的研究，找出计算最佳治疗终止时间，用药方案的方法。

在解决第一个问题时，对附件1数据观测、分析发现被测试CD4的病人多集中在第0、4、8、24、40、48周。

这些检测时间应该是CD4浓度变化的显著点。

其余周次CD4浓度的检测样本小，然后采用就近原则分别归到第0、4、8、24、40、48周，并求其平均值做为各周数据。

最后，借助Matlab 软件，拟合出CD4、HIV 及CD4与HIV 之间随时间他（周次）变化的函数关系.2()0.1138 6.426398.5148f t t t =-++；2()0.00280.1475 4.3494h t t t =-+2()()0.0539 3.07624.5048()f t p t t t h t ==-++ 病人经过28周左右的治疗的状况达到最好，如果继续用药，HIV 虽然可以维持在较低的水平，但CD4将逐渐减少，为了防止并发症的出现，可以考虑适当的调整方案。

在解决问题二时，由于附件一的数据是大约每隔8周测试的CD4浓度所得，故以每八个周次为一单位时段、采用就近原则对数据进行处理，得到四种疗法中CD4的变化曲线图，有图形分析得出第4种疗法疗效最好，第3种次之，第1、2种较差。

第2小问中用灰色预测系统模型求解,较好的解决了由于数据不足，用数理统计方法误差较大的局限性，所以灰色预测系统模型比较适合此类需要预测较多数据的问题，且绝对误差较小。

故利用灰色模型中的GM(1，1)模型对第四种疗法的疗效进行预测与分析。

从而最终得出最佳停药时间为第16周。

在解决问题三时，由于4种疗法是每隔8周测试一次，而4种疗法的用药均为日用药量，并且各种疗法费用不同。

艾滋病疗法的评价及疗效的预测(轩辕杨杰整理)摘要艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.对于问题1，我们通过对题中所给的附件1里的数据进行分类排序分析.对CD4和HIV的数据按照时间（周）从小到大进行排序，生成有较强规律性的数据序列，对于每个时间点CD4的数据，我们分别求其平均值，并对于人数较多的时间对应的CD4的值，从中挑出来，作成表格和图形，找出其极大值、极小值和稳定值的一组数据，运用灰色预测模型进行假设，建立相应的微分方程模型进行预测，运用Matlab软件计算我们需要的数据，从而找出极大值、极小值和稳定值出现的时间点（周）.对应于HIV，我们做同样的分析.最后我们综合分析得到结论：病人在测试用药的40周后的第28周停止用药最好.对于问题2，我们对题中附件2里的数据先按疗法分为4类，再分别将每一类疗法的数据按年龄排序，分为3个阶段，挑选出对我们有价值的数据，求其平均值，并对于人数较多的时间对应的CD4的值，从中挑出来作成表格和图形，对这些阶段的数据进行分析，我们得出第4种疗法最优.然后对疗法4的所有数据（不分年龄）进行总体分析，再运用灰色模型，建立相应的微分方程模型进行预测，运用Matlab软件计算我们需要的数据，从而找出极大值、极小值和稳定值出现的时间点（周）.最终我们得到如下结论：病人在第52周时停止用药最好.对于问题3，治疗费用的多少直接影响到病人对疗法的选择，我们运用层次分析法，第一步构建层次分析模型；第二步求本层次要素相对于上一层次要素的权重；第三步运用和法求判断矩阵的特征向量；第四步计算最大特征值，对判断矩阵进行一致性检验；第五步综合计算结果，最终得到结论：接受疗法1是病人最满意的疗法.关键词:灰色预测模型层次分析法 HIV的浓度 CD4的值残差检验一、问题重述艾滋病是由艾滋病毒引起的.这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS发作.艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据.我们要解决的问题是：1、利用题中所给附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）.2、利用题中所给附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.3、艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元.如果病人需要考虑4种疗法的费用，对2中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变.二、问题分析问题1是依据同时服用zidovudine，lamivudine和indinavir这3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量），预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型GM（1，1）模型来进行假设，需要对数据进行分析，通过灰色模型和相应的计算来预测未来时间里CD4和HIV的浓度及相关数据.灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况.问题2是将1300多名病人分为4组，每组按4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试一次CD4的浓度.最后评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型，来预测4种疗法的治疗效果，即我们要通过数据找到规律，通过相应的计算（运用EXCEL 软件）来预测未来时间里4种疗法在不同年龄段CD4的浓度及相关数据，找到哪一种疗法疗效较好，与问题1的方法相同，运用灰色模型预测出继续治疗的效果.问题3中病人需要考虑4种疗法的费用，第1种疗法病人第一个月需花费48美元，第2个月需花费25.5美元，以后两种疗法交替进行，每两个月需花费73.5美元；第2种疗法病人每月需花费103.5美元，每两月需花费207美元；第3种疗法病人每月需花费73.5美元，每两月需花费147美元；第4种疗法病人每月需花费109.5美元，每两月需花费219美元；因个人经济状况的不同，这4种疗法费用的多少可能会影响到病人选择哪一种疗法，对于此问题，我们需要将这4种疗法预测的治疗效果和其所需费用综合考虑，运用层次分析法进行分析，决定采取何种疗法.三、模型假设1、对于题中附件1里的数据我们假设如下：将其按测试的时间排序，其中在同一时间段测试结果数量少于30个的数据，我们忽略不计（例如，对于第六周测试时只有11个人，我们将把这十一个数据忽略）；2、假设题中附件2里同一时间里的数据过少时，我们在计算时也将这些数据忽略不计；3、假设影响病人治疗的只有费用和疗效两个因素，不考虑其它因素；四、符号定义及说明1、(0)X 为原始序列2、(1)X 为生成累加序列3、Φ为相对残差序列4、Φ为平均相对残差5、a 称为发展系数6、u 称为灰色作用量7、ˆα为待估参数向量 8、()0∆为绝对残差序列9、CD4（Date ）为测试CD4的时刻（周） 10、Log(CD4 count+1) 为测得的CD4浓度 11、max λ为最大特征值12、CI 为检验判断矩阵一致性的指标 13、CR 为一致性比例 14、RI 为修正系数15、i A 和j A 为本层次的要素i A 和j A （i,j=1,2…,n ） 16、k C 为上一层次要素五、模型的建立与求解1、问题1：首先，我们通过对题中所给的附件1里的数据进行分类排序分析.对CD4和HIV的数据按照时间（周）从小到大进行排序，生成有较强规律性的数据序列，对于每个时间点CD4和HIV的数据，我们分别求其平均值，并对于人数较多的时间及对应的CD4和HIV的值，从中挑出来，作成表格和图形：图1（CD4浓度随时间的变化图形）图2（HIV浓度随时间的变化图形）对于这两个图，我们取它们的异常值，然后利用灰色模型预测下一个异常值出现的时间。

艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。

在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。

针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。

模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。

模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。

在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。

问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。

该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。

从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。

在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。

问题一、二、三的具体数值结果如下：问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。

问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第48类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。

问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。

关键词：最小二乘法模糊切比雪夫多目标决策层次分析法一、问题的重述与分析1、问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的。

这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。

人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。

许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。

ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine （拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。

193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。

4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据，分析各治疗方法的疗效，并结合药品价格最终得到一个较优的艾滋病治疗方法。

针对问题一，我们对每个病人的CD4和HIV浓度的数据分别用拉格朗日插值，得到每个病人在第0、5、10、15、20、30、40周的数据，对每个病人在同一时刻的数据作分析得到CD4和HIV浓度的典型值，由各时刻的典型值进行曲线拟和，综合CD4和HIV浓度的曲线分析治疗效果。

针对问题二，我们采用两种方案：方案一和第一问类似，仍然利用拉格朗日插值计算病人在第0、8、16、24、32、40周CD4和HIV浓度的典型值，然后求解等时间间隔序列的灰色预测模型；方案二考虑CD4浓度的增长率，两种方案分析结果一致。

针对问题三，我们在第二问的基础上结合药品价格，并从CD4周单位增长率所消耗的费用入手得到一个性价比较高的治疗方法。

关键字：拉格朗日插值曲线拟和灰色预测增长率分析一、问题的重述与分析1.问题重述：艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。

这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。

人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。

许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。