1.3 二次根式的运算(1)

系数
之商为_________.
被开方数
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知识点
3 分母有理化
在上例的解答过程中，将
2
3
化成
6
3
把分母中含二次根式的式子化
为分母中不含二次根式的式子.
像这样，把分母中的二次根式
1
2
化成
2 7
15
化成
2
2
2 105
15
化去，叫做分母有理化.
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例3
去掉下列各式分母中的二次根式：
(1)
3
3
；


4 a 1 b
a 1
b
3
4 a 1 b 2
2
2b a 1 .
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2.
a3
a 3 成立的条件是(
D )

a 1
a 1
A．a≠1
B．a≥1且a≠3
C．a＞1
D．a≥3
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当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式
法则进行计算：即系数之商作为商的_______，被开方数
再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；
(3)分子、分母同乘
2ab ; (4)分子、分母同乘
3 2.
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解：(1)
3
3

3 3
ab a b(a 0 ,b 0)
同学们还记得二次根式的性质吗？
a
a

(a 0 ,b 0)
b
b
3
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知识点
1
二次根式的乘法
计算下列各式，视察计算结果，你能发现什么规律?

二次根式计算1.二次根式的定义与性质二次根式是形如a√b的表达式，其中a是实数，b是非负实数。

在二次根式中，a被称为系数，b被称为被开方数，√b被称为根号。

有以下基本性质：(1) 对于任意非负实数a和b，有√ab = √a × √b；(2)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b；(3)对于任意非负实数a和b，有√(a±b)≠√a±√b，也就是不能直接合并或分解二次根式的和或差。

2.二次根式的化简化简二次根式意味着将二次根式的系数和被开方数写成最简形式。

化简的方法有以下几种：(1)提取因数法。

将被开方数分解成两个互质的因数的乘积，然后将√a×b化简为√a×√b；(2)化约法。

将二次根式的系数和被开方数同时除以它们的最大公因数，使系数和被开方数互质；(3)根号有理化。

将二次根式的根号去掉，改写成有理数的形式。

比如将√2×√3化简为√6；(4)倍增法。

将二次根式的被开方数乘上一个适当的数，使得被开方数变成一个完全平方数。

3.二次根式的四则运算二次根式的四则运算与代数中的算式类似，同样包括加法、减法、乘法和除法。

(1)二次根式的加法与减法。

对于形如a√b和c√d的二次根式，只有当它们的系数和被开方数完全相同时，才可以进行加减运算。

比如2√3+3√3=5√3；(2)二次根式的乘法。

对于形如a√b和c√d的二次根式，可以使用分配律展开并化简。

比如(2√3)(3√5)=6√15；(3)二次根式的除法。

对于形如a√b和c√d的二次根式，可以使用有理化的方法将除数有理化，然后进行乘法运算。

比如(3√2)/(2√3)=(3√2)(2√3)/(2√3)(2√3)=6√6/6=√64.解一次方程和二次方程二次根式在解一次方程和二次方程时经常出现。

对于一次方程，可以通过对等式两边进行等价变形，将方程中的二次根式去掉。

对于二次方程，可以通过平方的方法将二次根式去掉，然后求解方程的根。

第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案3一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》是学生在学习了实数、分数、代数等知识的基础上，进一步深化对二次根式的理解和应用。

本节内容通过具体的例子，引导学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，为后续学习二次根式的方程和不等式打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、分数、代数等知识，对数学运算有了一定的理解。

但二次根式的运算相对于其他运算来说较为复杂，需要学生有一定的空间想象能力和抽象思维能力。

同时，学生可能对二次根式的实际应用场景有一定的疑惑，需要教师在教学中进行解答。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算方法；2.能够熟练地进行二次根式的运算；3.了解二次根式的实际应用场景。

四. 教学重难点1.二次根式的加减乘除运算方法；2.二次根式的实际应用。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过教师的讲解和学生的练习，使学生掌握二次根式的运算方法。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括二次根式的运算方法、实例讲解、练习题等；2.学生准备笔记本，用于记录教学内容和做练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示二次根式的实际应用场景，引导学生思考二次根式在实际问题中的作用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减乘除运算方法，并进行详细的讲解和示例。

学生在笔记本上做好笔记。

3.操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并及时给予解答和指导。

4.巩固（10分钟）教师再次给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并与同学进行讨论。

教师选取一些典型的题目进行讲解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式运算在更复杂问题中的应用，如二次根式的方程、不等式等，为学生后续学习打下基础。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，学生做好笔记。