函数的单调性导学案

学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________． (3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增． 2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a )3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2xD ．y ＝54．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ] C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ] 探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋a x ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f (x )，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想 例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．74．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能题号 1 2 3 4 5答案 6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数； ③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________． 三、解答题(共38分)9．(12分)(湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．。

§4函数的单调性预习案一、学习目标1，能够根据函数图像找出函数的单调区间。

2，理解并掌握函数的单调性及几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤。

3，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。

二.学习重点：进一步掌握函数单调性的定义，证明方法，步骤。

三.学习难点：增函数，减函数形式化定义的形成。

四.知识链接：根据函数图像的变化趋势，我们能够形象的看出函数图像在某个区间内是上升的还是下降的。

自主学习案1.根据教材第36页的思考交流的函数图像（即图2-16），试判断其在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的？2.函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？3.单调性的定义：一般地，对于函数)(x f y =的定义域内的一个子集A 如果对于任意两个数A x x ∈21,,当___________时，都有_____________，就称函)(x f y =数在数集A 上是增加的。

当___________时，都有_____________，就称函数)(x f y =在数集A 上是减少的。

如果函数)(x f y =在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为_____________。

（注意定义中条件和结论的双向使用.）4.利用定义判断和证明函数单调性的一般步骤：取值——_________——变形——定号——下结论5.画出函数x x f 1)(=的图像，说出)(x f 的单调区间，并指明在该区间上的单调性。

思考：如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，能不能说这个函数在其定义域上是增（减）函数？注意：函数的单调性是一个局部概念，与区间的端点无关.但若此处无定义，区间上不能取此点.如x x f 1)(=在0=x 无定义，其单调区间就不能写成]0,(-∞和[),0+∞，又如函数2x y =，其增区间可以写作[),0+∞或).0(∞+.探究案例1.画出函数23)(+=x x f 的图像，判断其单调性，并加以证明。

函数的单调性与导数教案函数的单调性与导数教案一、目标知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、重点难点教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。

需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。

）2．比如，要判断y=x2的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

高中数学《利用导数判断函数单调性》导学案例1：（2015•陕西）设f （x ）=x ﹣sinx ，则f （x ）（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 解：由于()0cos 1≥-='x x f ，故()x f 为增函数，又()()()()0sin sin =---+-=-+x x x x x f x f ，则()x f 为奇函数，且()00=f ，A 、C 、D 均错，选B 。

例2：已知函数f （x ）=，若a =f （ln3），b =f （ln4），c=f （ln5），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：()x x x x ex e xe e x f -=-='12，故当()x f x ,1<为增函数，当()x f x ,1>为减函数，又，13ln 4ln 5ln >>>，故()()()5ln 4ln 3ln f f f >>，选A 。

1.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=sin 2xB ．y=xe xC ．y=x 3﹣xD ．y=ln （1+x ）﹣x2.32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A ．(2,)+∞ Ｂ．(,2)-∞ Ｃ．(,0)-∞ Ｄ．(0,2)3.函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ． (0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 4.下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ） A ． 21x y =-+ B ．1x y x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 5.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．6.三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ） A ． 1a = B ．2a = C ．0a ≤ D ．0a <7.函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．8.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ． π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．(π2π)，C ．3π5π22⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．(2π3π)， 9.若y ax =与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是 A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 10.函数()()()321483f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在343⎡⎤-⎣⎦上为增函数B ．在433⎡-⎣上为减函数C ．在)43⎡+∞⎣上为增函数，在(43⎤-∞-⎦，上为减函数D ． 在(3-∞-，上为增函数，在)3⎡+∞⎣上为减函数 函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.例3：（2015•新课标II ）设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞） 解：由于当x ＞0时，()2()()0f x xf x f x x x '⎡⎤'-=<⎢⎥⎣⎦，则()f x x 为减函数；又()01=-f ()x f 为奇函数，则()01=f ，当x ＞1时，()0<x f ，当0<x<1时，()0>x f ,根据奇函数的图像可得()0>x f 成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1），选A 。