Camassa-Holm方程的一些研究进展
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关于方程（１）的基本性质 ，Ｃａｍａｓｓａ等在文献［２］中有 比较全面的讨论 ，本文再提下面几点 ： １）方程（１）是一个完全可积系统 ，有无穷多个守恒律．例如 ，如果下面式子的右端都有意义 ，那么
（ｘ，ｔ）ｄ ＝上 （ ） ，上（ ＋ ）（ ， ）ｄ ＪＲ（Ⅱ。 ２＋ ２）（ ）ｄ ·
（２）
周 勇
（浙 江师 范 大学 数 理 与信 息 工程 学院 ，浙江 金 华 ３２１００４）
摘 要 ：首先回顾了 Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方程的 一些基本 性质 及主要 研究 成果 ；然 后介 绍了 Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ方 程无
穷传播 的特性 ，以及大时 间性态 的一个初步研究 结果 ；最后提 出了一些 公开问题．
关键词 ：Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ；适 定性 ；波爆破 ；弱解 ；稳定 性 ；孤立子 ；大时问性态
中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．２９
文 献标 识 码 ：Ａ
Ｓｏｍ ｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｅｓ ｏｆ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｃａｍ ａｓｓａ—Ｈ ｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｗｓ。Ｐｈｙｓｗｓ ａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。ＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。￣ｎｈｕａ Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
２）有波爆破的现象．本文所说的波爆破是 Ｗｈｉｔｈａｍ在文献 ［３］中给的定义 ：ｕ（ ，ｔ）本身有界 ，而其
收文 日期 ：２０１３－０９．１７；修订 日期 ：２０１３－０９－２３ 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（１０９７１１９７；１１１７１１５４） 作者简介 ：周 勇（１９７４一），男 ，重庆万州人 ，浙江省特聘教授 ，博士生导师．研究方向 ：非线性 偏微分方程
８
浙江师范大学学报 （自然科学版 ）
２０ｌ４年
一 阶导数在 有 限时 间 内爆 破 （即 ｌＪ“ （·，ｔ）ｌＩ 一 ∞ ，ｔ— ）．显 然 ，ＫｄＶ方程 也是 浅水 波方 程 ，但 没有 波
爆 破 现象．而波爆 破 是可 以观察 到 的一个 物理 现 象 ，所 以从 这个 意 义上 说 ，Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ 方 程是 一 个 比 ＫｄＶ方 程更 合适 的浅 水波模 型 ．
第 ３７卷第 １期 ２０１４年 ２月
浙江师 范大学学报（自然科学版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．Ｉ Ｆｅｂ．２０１４
文 章 编 号 ：１００１－５０５１（２０１４）０１－０００７－０４
Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方 程 的一 些 研 究 进 展
ｌ 基本性 质与主要研究成果
本 文 主要讨 论 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ方 程 的 Ｃａｕｃｈｙ问题 ．Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方 程 可 以写为
ｆｕｔ一 ｍ＋３ｕｕ ＝２ｕ ＋ ，ｔ＞ ０，戈 ∈ Ｒ； 《ｔ ｕ（ｘ，ｔ＝０）＝ Ｍｏ（ ）．
，１、 ＼
式 （１）中 ：ｕ（ｘ，ｔ）∈Ｒ表示波 的高度 ；下标 和 ｔ表示对空间和时间变量做偏 导数．早在 １９８１年 ，Ｆｕｃｈ－ ｓｔｅｉｎｅｒ等 在研究近似 ＫｄＶ方程时就推导出方程 （１）．但真正的物理推导是 由 Ｃａｍａｓｓａ等心 在 １９９３年 刻画浅水区域的水波运动时完成的，所以一开始也称方程 （１）为浅水波方程 （ｓｈａｌｌｏｗ ｗａｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ）．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｗａｓ ｆ ｉｒｓｔ ｓｕｒｖｅｙｅｄ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ－ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｓｐｅｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ ｌａｒｇｅ ｔｉｍｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ ｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｅｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ ；ｗｅｌｌ—ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ；ｂｌａｓｔ ｗａｖｅ；ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｓｏｌｉｔｏｎ；ｌａｒｇ ｔｉｍｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ
个全局存在的弱解 ｔｔ（ｘ，ｔ）．后来 ，弱解的唯一性也被构造性地解决了 Ｊ．
３）波爆破．限制在初始值上 的充分必要条件是由 ＭｃＫｅａｎ¨】。。在 １９９８年得到的．这个条件与初始值
３）尖峰孤立波的存在性．以前的孤立子（ｓｏｌｉｔｏｎ，是一种行波）大都是光滑的 ，但这里 的孤立 为 ｐｅａｋｏｎ． 关于 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ方程的数学理论研究（从方程 的角度）是从 １９９７年开始的 ，到现在 已有 ｌ６年 的
历史 ，众 多数学 家在 这方 面做 了很 多重 要 的研 究 工作 ．下 面列 出一 些 主要 成果 ． １）强 解 的局 部 适 定 性 ．用 Ｋａｔｏ 的理 论 可 以证 明 ：若 ∈Ｆ （Ｒ）（ｓ＞３／２），则 存 在 一 个 唯 一 的
“（ ，ｔ）是 方程 （１）在 短时 间 （０，Ｔ）上 的解 Ｊ．另外 一 种 方 法是 在 方 程 （１）上加 高 阶粘 性 项 ，然 后 用粘 性 消 失法 得到 强解 的局部 适 定性 ］．在 临界 的 Ｂｅｓｏｖ空 间 一Ｂ３ １２， Ｉ￣，Ｄａｎｃｈｉｎ 为 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ 方 程 建立 了
局 部适定 性 理论．
２）弱解 的全局 存 在性．Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ 方程可 以改 写成 如下 的形 式 ：
，
１
、 、
Ｍ ＋“Ⅱ ＋ａ （Ｇ （ ＋÷ １）＝０．
、
、
厶
， ，
（３）
１
式（３）中，Ｇ＝（１一ａ ）～：÷ｅ ．文献［８］利用粘性消去法证明了：对于任意的初始值 。∈ ，存在一 二
（ｘ，ｔ）ｄ ＝上 （ ） ，上（ ＋ ）（ ， ）ｄ ＪＲ（Ⅱ。 ２＋ ２）（ ）ｄ ·
（２）
周 勇
（浙 江师 范 大学 数 理 与信 息 工程 学院 ，浙江 金 华 ３２１００４）
摘 要 ：首先回顾了 Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方程的 一些基本 性质 及主要 研究 成果 ；然 后介 绍了 Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ方 程无
穷传播 的特性 ，以及大时 间性态 的一个初步研究 结果 ；最后提 出了一些 公开问题．
关键词 ：Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ；适 定性 ；波爆破 ；弱解 ；稳定 性 ；孤立子 ；大时问性态
中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．２９
文 献标 识 码 ：Ａ
Ｓｏｍ ｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｅｓ ｏｆ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｃａｍ ａｓｓａ—Ｈ ｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｗｓ。Ｐｈｙｓｗｓ ａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。ＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。￣ｎｈｕａ Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３２１００４，Ｃｈｉｎａ）
２）有波爆破的现象．本文所说的波爆破是 Ｗｈｉｔｈａｍ在文献 ［３］中给的定义 ：ｕ（ ，ｔ）本身有界 ，而其
收文 日期 ：２０１３－０９．１７；修订 日期 ：２０１３－０９－２３ 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（１０９７１１９７；１１１７１１５４） 作者简介 ：周 勇（１９７４一），男 ，重庆万州人 ，浙江省特聘教授 ，博士生导师．研究方向 ：非线性 偏微分方程
８
浙江师范大学学报 （自然科学版 ）
２０ｌ４年
一 阶导数在 有 限时 间 内爆 破 （即 ｌＪ“ （·，ｔ）ｌＩ 一 ∞ ，ｔ— ）．显 然 ，ＫｄＶ方程 也是 浅水 波方 程 ，但 没有 波
爆 破 现象．而波爆 破 是可 以观察 到 的一个 物理 现 象 ，所 以从 这个 意 义上 说 ，Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ 方 程是 一 个 比 ＫｄＶ方 程更 合适 的浅 水波模 型 ．
第 ３７卷第 １期 ２０１４年 ２月
浙江师 范大学学报（自然科学版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．Ｉ Ｆｅｂ．２０１４
文 章 编 号 ：１００１－５０５１（２０１４）０１－０００７－０４
Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方 程 的一 些 研 究 进 展
ｌ 基本性 质与主要研究成果
本 文 主要讨 论 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ方 程 的 Ｃａｕｃｈｙ问题 ．Ｃａｍａｓｓａ．Ｈｏｌｍ方 程 可 以写为
ｆｕｔ一 ｍ＋３ｕｕ ＝２ｕ ＋ ，ｔ＞ ０，戈 ∈ Ｒ； 《ｔ ｕ（ｘ，ｔ＝０）＝ Ｍｏ（ ）．
，１、 ＼
式 （１）中 ：ｕ（ｘ，ｔ）∈Ｒ表示波 的高度 ；下标 和 ｔ表示对空间和时间变量做偏 导数．早在 １９８１年 ，Ｆｕｃｈ－ ｓｔｅｉｎｅｒ等 在研究近似 ＫｄＶ方程时就推导出方程 （１）．但真正的物理推导是 由 Ｃａｍａｓｓａ等心 在 １９９３年 刻画浅水区域的水波运动时完成的，所以一开始也称方程 （１）为浅水波方程 （ｓｈａｌｌｏｗ ｗａｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ）．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｗａｓ ｆ ｉｒｓｔ ｓｕｒｖｅｙｅｄ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ－ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｓｐｅｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ ｌａｒｇｅ ｔｉｍｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ ｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｅｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ ；ｗｅｌｌ—ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ；ｂｌａｓｔ ｗａｖｅ；ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｓｏｌｉｔｏｎ；ｌａｒｇ ｔｉｍｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ
个全局存在的弱解 ｔｔ（ｘ，ｔ）．后来 ，弱解的唯一性也被构造性地解决了 Ｊ．
３）波爆破．限制在初始值上 的充分必要条件是由 ＭｃＫｅａｎ¨】。。在 １９９８年得到的．这个条件与初始值
３）尖峰孤立波的存在性．以前的孤立子（ｓｏｌｉｔｏｎ，是一种行波）大都是光滑的 ，但这里 的孤立 为 ｐｅａｋｏｎ． 关于 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ方程的数学理论研究（从方程 的角度）是从 １９９７年开始的 ，到现在 已有 ｌ６年 的
历史 ，众 多数学 家在 这方 面做 了很 多重 要 的研 究 工作 ．下 面列 出一 些 主要 成果 ． １）强 解 的局 部 适 定 性 ．用 Ｋａｔｏ 的理 论 可 以证 明 ：若 ∈Ｆ （Ｒ）（ｓ＞３／２），则 存 在 一 个 唯 一 的
“（ ，ｔ）是 方程 （１）在 短时 间 （０，Ｔ）上 的解 Ｊ．另外 一 种 方 法是 在 方 程 （１）上加 高 阶粘 性 项 ，然 后 用粘 性 消 失法 得到 强解 的局部 适 定性 ］．在 临界 的 Ｂｅｓｏｖ空 间 一Ｂ３ １２， Ｉ￣，Ｄａｎｃｈｉｎ 为 Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ 方 程 建立 了
局 部适定 性 理论．
２）弱解 的全局 存 在性．Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ 方程可 以改 写成 如下 的形 式 ：
，
１
、 、
Ｍ ＋“Ⅱ ＋ａ （Ｇ （ ＋÷ １）＝０．
、
、
厶
， ，
（３）
１
式（３）中，Ｇ＝（１一ａ ）～：÷ｅ ．文献［８］利用粘性消去法证明了：对于任意的初始值 。∈ ，存在一 二
