2017年中考数学试题分项版解析汇编：专题04 图形的变换- (解析版)

专题4：图形的变换一、选择题1.(2017北京第5题)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C. D．2.(2017天津第3题)在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）3.(2017福建第5题)下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形4.(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B′′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是（）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区5. （2017广东广州第2题）如图2，将正方形ABCD 中的阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后，得到图形为 （ ）6. （2017广东广州第8题）如图4，,E F 分别是ABCD ▱的边,AD BC 上的点，06,60EF DEF =∠=，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ′′，ED ′交BC 于点G ，则GEF ∆的周长为 （ ）A ．6B ． 12C . 18D ．247. （2017湖南长沙第4题）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）8. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215− D ．随H 点位置的变化而变化9. （2017山东青岛第2题）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）．10. （2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°则顶点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A .)2,4(−B .)4,2(−C . )2,4(−D .)4,2(−11. (2017四川泸州第5题)已知点(,1)A a 与点(4,)B b −关于原点对称，则a b +的值为（ ）A ．5B ．5−C ．3D ．3−12. (2017山东日照第2题)剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13. (2017辽宁沈阳第6题)在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是()2,8−，则点B 的坐标是（ ）A . ()2,8−−B . ()2,8C . ()2,8−D . ()8,2二、填空题1.(2017北京第15题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆可以看作是OCD ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD ∆得到AOB ∆的过程： ．2.(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．3.（2017湖南长沙第16题）如图，ABO ∆三个顶点的坐标分别为)0,0(),0,6(),4,2(C B A ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的21，可以得到O B A ''∆，已知点'B 的坐标是)0,3(，则点'A 的坐标是 ．4.(2017山东滨州第15题)在平面直角坐标系中，点C 、D 的坐标分别为C (2，3)、D (1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为_______．5.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上的E 处，EQ 与BC 相交于点F ．若AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为___________．A B C DH Q GFE6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是.7.（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD ΑΒ中，将C ∠ΑΒ绕点Α按逆时针方向旋转一定角度后，C Β的对应边C ′′Β交CD 边于点G ．连接′ΒΒ、CC ′，若D 7Α=，CG 4=，G ′′ΑΒ=Β，则CC ′=′ΒΒ （结果保留根号）．8.(2017浙江舟山第7题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,1(),0,2(B A .若平移点A 到点C ，使以点O ，A ，C ，B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，在向下平移1个单位B ．向左平移)122(−1个单位，在向上平移1个单位C . 向右平移2个单位，在向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，在向上平移1个单位9.(2017浙江舟山第9题)一张矩形纸片ABCD ，已知2,3==AD AB ，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG 长为（ ）A ．2B ．22C .1D ．210.(2017浙江舟山第16题)一副含030和045的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，cm EF BC 12==（如图1），点G 为边)(EF BC 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从00到060的变化过程中，观察点H 的位置变化，点H 相应移动的路径长为 (结果保留根号)．三、解答题1.(2017天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A .（1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标；（2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.2.(2017河南第22题)如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值.3.（2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=°，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得ABE ADC ≌V V ，从而容易证明ACE V 是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC V 绕着点A 逆时针旋转60°，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF V 是等比三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+.在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=°”改为“ACB ACD ∠=∠=45ABD ADB ∠=∠=°”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=°”改为“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB α∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.4.(2017浙江金华第19题)如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆各顶点的坐标分别为()()()2,2,4,1,4,4A B C −−−−−−．(1)作出ABC ∆关于原点O 成中心对称的111A B C ∆．(2)作出点A 关于x 轴的对称点'A ．若把点'A 向右平移a 个单位长度后落在111A B C ∆的内部（不包括顶点和边界）求a 的取值范围．5.(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD ▱纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S =▱矩形 ______.(2)ABCD ▱纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥== ．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．。

[来源:]
（3）∵BD=x，∴ OD 4 x 2 。 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
，AB 2，BC 3，AD ∥ BC，P 为线段 BD 上的动点，点 2.（上海市 2009 年 14 分）已知 ABC 90°
Q 在射线 AB 上，且满足
PQ AD （如图 1 所示） ． PC AB
[来源:学_科_网]
（1）当 AD 2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示） ，求 线段 PC 的长（4 分） ；
2
3 2 3m 。 2
2
2
2 2 2 在 RtQBC 中， QB BC QC ，整理得： 64 x 400 x 301 0 ，
2
8x 7 8x 43 0 ，
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1.（上海市 2007 年 14 分）已知：∠MAN 60 ，点 B 在射线 AM 上， AB 4 （如图） ． P 为直线 AN 上 一动点，以 BP 为边作等边三角形 BPQ （点 B，P，Q 按顺时针排列） ， O 是 △BPQ 的外心． （1）当点 P 在射线 AN 上运动时，求证：点 O 在∠MAN 的平分线上（4 分） ；
如果 CD 恰好与 AB 垂直，则在 Rt△CMG 中，∠MCG+∠CMB=90° ， 即 3x=90° ，x=30° ，即∠A 等于 30° 。
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2.（上海市 2003 年 2 分）正方形 ABCD 的边长为 1。如果将线段 B D 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 BC 延长 线上的点 D’处，那么 tg∠BAD’＝ ▲ 。

专题04 图形的变换一、选择题1．（2017四川省南充市）如图由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．考点：简单组合体的三视图． 二、填空题2．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE ⊥DG ；③222222DE BG a b +=+，其中正确结论是 （填序号）【答案】①②③． 【解析】试题分析：设BE ，DG 交于O ，∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，∴BC =CD ，CE =CG ，∠BCD =∠ECG =90°，∴∠BCE +∠DCE =∠ECG +∠DCE =90°+∠DCE ，即∠BCE =∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，∵BC =DC ，∠BCE =∠DCG ，CE =CG ，∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE =DG ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC =90°，∴BE ⊥DG ；故①②正确；连接BD ，EG ，如图所示，∴DO 2+BO 2=BD 2=BC 2+CD 2=2a 2，EO 2+OG 2=EG 2=CG 2+CE 2=b 2，则BG 2+DE 2=DO 2+BO 2+EO 2+OG 2=2a 2+b 2，故③正确．故答案为：①②③．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．三、解答题3．（2017四川省广安市）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）要求：（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．试题解析：如图．．考点：1．利用旋转设计图案；2．利用轴对称设计图案；3．利用平移设计图案．4．（2017四川省眉山市）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）P（0，2）．【解析】试题分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接B2交y轴于点P，则P点即为所求．试题解析：（1）如图所示；（2）如图，即为所求；（3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，则点P即为所求．设直线B1C′的解析式为y=kx+b（k≠0），∵B1（﹣2，-2），C′（1，4），∴224k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得：22kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB2的解析式为：y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴P（0，2）．考点：1．作图﹣轴对称变换；2．勾股定理；3．轴对称﹣最短路线问题；4．最值问题．5．（2017山东省枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，sin∠A2C2B2．【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ，∴sin ∠ACB =ADAC =10，即sin ∠A 2C 2B 2=10．考点：1．作图﹣位似变换；2．作图﹣平移变换；3．解直角三角形．6．（2017广西四市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A （﹣1，﹣2），B （﹣2，﹣4），C （﹣4，﹣1）．（1）把△ABC 向上平移3个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1并写出点B 1的坐标；（2）已知点A 与点A 2（2，1）关于直线l 成轴对称，请画出直线l 及△ABC 关于直线l 对称的△A 2B 2C 2，并直接写出直线l 的函数解析式．【答案】（1）作图见解析；（2）y =﹣x ． 【解析】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A 1B 1C 1并写出点B 1的坐标即可； （2）连接AA 2，作线段AA 2的垂线l ，再作△ABC 关于直线l 对称的△A 2B 2C 2即可． 试题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，B 1（﹣2，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，直线l的函数解析式为y=﹣x．考点：1．作图﹣轴对称变换；2．待定系数法求一次函数解析式；3．作图﹣平移变换．7．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4；（2．【解析】试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则420bk bì=ïí-+=ïî，解得24kbì=ïí=ïî，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB =m ，则AD =m +2，∵△ABD 的面积是5，∴12AD •OB =5，∴12（m +2）•m =5，即22100m m +-= ，解得1m =-1m =--，∵∠BOD =90°，∴点B 的运动路径长为：(1214p 创-=． 考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．8．（2017河北省）如图，AB =16，O 为AB 中点，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），将OC 绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP ． （1）求证：AP =BQ ；（2）当BQ =QD 的长（结果保留π）；（3）若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143π；（3）4＜OC ＜8． 【解析】试题分析：（1）连接OQ ．只要证明Rt △APO ≌Rt △BQO 即可解决问题； （2）求出优弧DQ 的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，推出△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8；试题解析：（1）证明：连接OQ ．∵AP 、BQ 是⊙O 的切线，∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，∴∠APO =∠BQO =90°，在Rt △APO 和Rt △BQO 中，∵OA =OB ，OP =OQ ，∴Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴AP =BQ ；（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =QB OB ==∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π； （3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．9．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是中线，AC =BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N ．（1）如图1，若CE =CF ，求证：DE =DF ； （2）如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由； ②若CE =4，CF =2，求DN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB 2=4CE •CF ． 【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，于是得到∠DCE =∠DCF =135°，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）①证得△CDF ∽△CED ，根据相似三角形的性质得到CD CF CE CD=，即CD 2=CE •CF ，根据等腰直角三角形的性质得到CD =12AB ，于是得到AB 2=4CE •CF ；②如图，过D 作DG ⊥BC 于G ，于是得到∠DGN =∠ECN =90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到CN CEGN DG=2，根据勾股定理即可得到结论．试题解析：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，∵CE=CF，∠DCE=∠DCF，CD=CD，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．和差倍分；4．综合题．10．（2017山东省济宁市）实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A 落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．【答案】（1）∠MBN =30°；（2）MN =12BM ． 【解析】试题分析：（1）猜想：∠MBN =30°．只要证明△ABN 是等边三角形即可；（2）结论：MN =12BM ． 折纸方案：如图2中，折叠△BMN ，使得点N 落在BM 上O 处，折痕为MP ，连接OP ．理由：由折叠可知△MOP ≌△MNP ，∴MN =OM ，∠OMP =∠NMP =12∠OMN =30°=∠B ，∠MOP =∠MNP =90°，∴∠BOP =∠MOP =90°，∵OP =OP ，∴△MOP ≌△BOP ，∴MO =BO =12BM ，∴MN =12BM ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．剪纸问题．11．（2017广西四市）如图，已知抛物线a ax ax y 9322--=与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ． （1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，ANAM 11+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 0），抛物线的对称轴为x ；（2）点P ，2，04）；（3）2． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可． 试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =A 的0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =2或a =0，∴点P 20）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P 20，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ，∴直线AC 的解析式为3y =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =1k-+1k -．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG+．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG+，∴AN AM 11++考点：1．二次函数综合题；2．旋转的性质；3．定值问题；4．动点型；5．分类讨论；6．压轴题．12．（2017四川省南充市）如图1，已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为38-，直线l 的解析式为y =x ．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l 沿x 轴向右平移，得直线l ′，l ′与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E ′时（图2），求直线l ′的解析式；（3）在（2）的条件下，l ′与y 轴交于点N ，把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△B ′ON ′，P 为l ′上的动点，当△PB ′N ′为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）22833y x x =-；（2）y =x ﹣3；（3）P 坐标为（0，﹣3）或（32+，32+）．【解析】试题分析：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，38-），设抛物线的解析式为2(2)3y a x 8=--，把（0，0）代入得到a =23，即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P 1与N 重合时，△P 1B ′N ′是等腰三角形，此时P 1（0，﹣3）．②当N ′=N ′B ′时，设P （m ，m ﹣3），列出方程解方程即可；试题解析：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，38-），设抛物线的解析式为2(2)3y a x 8=--，把（0，0）代入得到a =23，∴抛物线的解析式为22(2)33y x 8=--，即22833y x x =-．（2）如图1中，设E （m ，0），则C （m ，22833m m -），B （221133m m -+，0），∵E ′在抛物线上，∴E 、B 关于对称轴对称，∴2211()332m m m +-+ =2，解得m =1或6（舍弃），∴B （3，0），C （1，﹣2），∴直线l ′的解析式为y =x ﹣3．（3）如图2中，①当P 1与N 重合时，△P 1B ′N ′是等腰三角形，此时P 1（0，﹣3）． ②当N ′=N ′B ′时，设P （m ，m ﹣3），则有222((3m m +-=，解得m或32+，∴P 2（32-，32-），P 3（32+，32+）．综上所述，满足条件的点P 坐标为（0，﹣3，．考点：1．二次函数综合题；2．几何变换综合题；3．分类讨论；4．压轴题．13．（2017四川省达州市）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x 轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=+的图象l 与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．【答案】（1）①△OBC与△ABD全等；②证明见解析；（2）P（3）或（﹣2，-；（3）﹣4912≤m＜0．【解析】试题分析：（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD；②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；（2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=，将y=向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可．试题解析：（1）①△OBC与△ABD全等，理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS）；②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BA D，∴OB∥AD，∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）如图2，∵AC 2=AE •AD ，∴AC AEAD AC=，∵∠EAC =∠DAC ，∴△AEC ∽△ACD ，∴∠ECA =∠ADC ，∵∠BAD =∠BAO =60°，∴∠DAC =60°，∵∠BED =∠AEC ，∴∠ACB =∠ADB ，∴∠ADB =∠ADC ，∵BD =CD ，∴DE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∠BAE =60°，∴∠ABE =30°，∴AE =12AB =12×2=1，Rt △AEC 中，∠EAC =60°，∴∠ECA =30°，∴AC =2AE =2，∴C （4，0），等边△OAB 中，过B 作BH ⊥x 轴于H ，∴BH，∴B （1，设y 1的解析式为：y =ax （x ﹣4），把B （1=a （1﹣4），a =，∴设y 1的解析式为：y 1=﹣3x （x ﹣4）=233x x -+，过E 作EG ⊥x 轴于G ，Rt △AGE 中，AE =1，∴AG =12AE =12，EG2，∴E （52，2），设直线AE 的解析式为：y =kx +b ，把A （2，0）和E （52，2）代入得：20522k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴直线AE 的解析式为：y =-，则233y y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得：113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P （32，-； （3）如图3，y 1=233x x -+=22)33x --+，顶点（2，3），∴抛物线y 2的顶点为（2，），∴y 222)x --，当m =0时，y =与图形M 两公共点，当y 2与l 相切时，即有一个公共点，l 与图形M 有3个公共点，则：22)y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩22)x +=--，x 2﹣7x ﹣3m =0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m ）≥0，m ≥﹣4912，∴当l 与M 的公共点为3个时，m 的取值是：﹣4912≤m ＜0．考点：1．二次函数综合题；2．翻折变换（折叠问题）；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 14．（2017江苏省连云港市）如图，已知二次函数23y ax bx =++（a ≠0）的图象经过点A （3，0），B （4，1），且与y 轴交于点C ，连接AB 、AC 、BC ． （1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M ，请直接写出圆心M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA 方向平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的外接圆记为⊙M 1，是否存在某个位置，使⊙M 1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）直角三角形，M （2，2）；（3）21(2y x =或21(2y x =． 【解析】试题分析：（1）直接利用待定系数法求出a ，b 的值进而得出答案；（2）首先得出∠OAC =45°，进而得出AD =BD ，求出∠OAC =45°，即可得出答案；（2）△ABC 是直角三角形，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，易知点C 坐标为：（0，3），所以OA =OC ，所以∠OAC =45°，又∵点B 坐标为：（4，1），∴AD =BD ，∴∠OAC =45°，∴∠BAC =180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ABC 是直角三角形，圆心M 的坐标为：（2，2）；（3）存在．取BC 的中点M ，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，∵M 的坐标为：（2，2），∴MC OM =∴∠MOA =45°，又∵∠BAD =45°，∴OM ∥AB ，∴要使抛物线沿射线BA 方向平移，且使⊙M 1经过原点，则平移的长度为：-∵∠BAD或个单位长度，∵2215151322228y x x x 骣琪=-+=--琪桫，∴平移后抛物线的关系式为：2151228y x 骣琪=---琪桫，即212y x 骣琪=--琪桫或2151228y x 骣琪=---琪桫，即212y x 骣琪=--琪桫． 综上所述，存在一个位置，使⊙M 1经过原点，此时抛物线的关系式为：21117(228y x -=--或21117(228y x +=--．考点：1．二次函数综合题；2．平移的性质；3．动点型；4．存在型；5．压轴题．15．（2017浙江省绍兴市）如图1，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB =6，点A 的坐标为（1，-4），点D 的坐标为（-3，4），点B 在第四象限，点P 是□ABCD 边上一个动点． （1） 若点P 在边BC 上，PD =CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB 、AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q ，落在直线1y x =-上，求点P 的坐标． （3） 若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标（直接写出答案）．【答案】（1）P （3，4）；（2）（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）P （2，-4）或（-52，3）或（，4，4）． 【解析】试题分析：（1）点P 在BC 上，要使PD =CD ，只有P 与C 重合；（2）首先要分点P 在边AB ，AD 上时讨论，根据“点P 关于坐标轴对称的点Q ”，即还要细分“点P 关于x 轴的对称点Q 和点P 关于y 轴的对称点Q ”讨论，根据关于x 轴、y 轴对称点的特征（关于x 轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y 轴对称时，相反；）将得到的点Q 的坐标代入直线y =x -1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M 翻折后，点M ’落在x 轴还是y 轴，可运用相似求解． 试题解析：（1）∵CD =6，∴点P 与点C 重合，∴点P 的坐标是（3，4）．（3）因为直线AD 为y =-2x -2，所以G （0，-2）．①如图，当点P 在CD 边上时，可设P （m ，4），且-3≤m ≤3，则可得M ′P =PM =4+2=6，M ′G =GM =|m |，易证得△OGM ′∽△HM ′P ，则'''OM GM HP M P =，即'46m OM =，则OM ′=23m ，在Rt △OGM ′中，由勾股定理得，2222()23m m += ，解得m =-5或 5，则P （ -5，4）或（ 5，4）；②如下图，当点P 在AD 边上时，设P （m ，-2m -2），则PM ′=PM =|-2m |，GM ′=MG =|m |，易证得△OGM ′∽△HM ′P ，则'''OM GM HP M P =，即'222m OM m m=---，则OM ′=1222m +，在Rt △OGM ′中，由勾股定理得，2221(22)22m m ++= ，整理得m = -52，则P （-52，3）；如下图，当点P 在AB 边上时，设P （m ，-4），此时M ′在y 轴上，则四边形PM ′GM 是正方形，所以GM =PM =4-2=2，则P （2，-4）．综上所述，点P 的坐标为（2，-4）或（-52，3）或（，4，4）． 考点：1．一次函数综合题；2．平行四边形的性质；3．翻折变换（折叠问题）；4．动点型；5．分类讨论；6．压轴题．。

专题04 图形的变换一、选择题1.（2017山东德州市第11题）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a ＞b),M在边BC上，且BM=b，连AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF。

给出以下五种结论：①∠MAD=∠AND；②CP=2-bba；③ΔABM≌ΔNGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共线其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】考点:正方形、全等、相似、勾股定理2.（2017重庆A卷第2题）下列图形中是轴对称图形的是（）【答案】C.【解析】试题解析：A 、不是轴对称图形，不合题意； B 、不是轴对称图形，不合题意； C 、是轴对称图形，符合题意； D 、不是轴对称图形，不合题意． 故选C ．考点：轴对称图形.3.（2017甘肃庆阳第1题）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．考点：中心对称图形.4.（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】B 【解析】试题解析：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=12A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．考点：旋转的性质．5.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE 交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．6.（2017江苏无锡第4题）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【答案】C．【解析】试题解析：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选C．考点：中心对称图形．7.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．54C．53D．75【答案】D．【解析】试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴=5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，75== .故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．8.（2017江苏盐城第3题）下列图形中，是轴对称图形的是（）【答案】D．【解析】试题解析：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，故选D．考点：轴对称图形.9. （2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x−2)2−2 B．y＝12(x−2)2+7 C．y＝12(x−2)2−5 D．y＝12(x−2)2+4【答案】D．【解析】试题解析：∵函数y=12（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=12（1-2）2+1=112，n=12（4-2）2+1=3，∴A（1，112），B（4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B′B 的延长线于点C ，则C （4，112）， ∴AC=4-1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y=12（x-2）2+4． 故选D ．考点：二次函数图象与几何变换．10.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，2DE =，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形'''DE F G ，此时点'G 在AC 上，连接'CE ，则''CE CG +=( )1【答案】AA 【解析】试题解析：作G′I⊥CD 于I ，G′R⊥BC 于R ，E′H⊥BC 交BC 的延长线于H ．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′=∠IGR=90°， ∴∠DG′I=∠RG′F′， 在△G′ID 和△G′RF 中，DG I RG G D G I G G F F R '=∠''''⎧=⎪∠''⎨=⎪⎩∴△G′ID≌△G′RF， ∴∠G′ID=∠G′RF′=90°， ∴点F 在线段BC 上，在Rt △E′F′H 中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°， ∴E′H=12， 易证△RG′F′≌△HF′E′， ∴RF′=E′H，RG′RC=F′H， ∴CH=RF′=E′H，∴CE′+故选A ．考点：旋转的性质；正方形的性质．11.（2017山东烟台第2题）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）【答案】A．考点：中心对称图形；轴对称图形．12.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A．3 B．245C．5 D．8916【答案】C.【解析】试题解析：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得△BEF≌△BAE，∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3（负值舍去），则DE=8﹣3=5，故选C.考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．13.（2017四川自贡第6题0下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）【答案】A.考点：1.轴对称图形；2.中心对称图形.14.(2017江苏徐州第题0下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】试题解析：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．故选C．考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形．15.（2017浙江嘉兴第7题）若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1)个单位，再向上平移1个单位C个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】D．【解析】试题解析：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作DH⊥x轴于H，∵B（1，1），0），∴C（1）∴OA=OB，∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形变化-平移．16.（2017浙江嘉兴第9题）一张矩形纸片ABCD ，已知3AB =，2AD =，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG 长为（ ）AB ．C ．1D ．2【答案】A ．【解析】试题解析：∵AB=3，AD=2，∴DA′=2，CA′=1，∴DC′=1，∵∠D=45°，故选A ．考点：矩形的性质.17.（2017山东德州第2题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D【解析】试题分析：选项A 和B 是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项C 是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项D 既是轴对称图形又是中心对称图形。