一元二次方程根的判别式
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一元二次方程根的判别式
.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
Δ<0时，方程没有实数根。
以上定理也可以逆向应用。
在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ=，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。
2.根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。
②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
二、例题精讲：
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x2+3x-4=0(2)3x2+2=2x
(3)x2+1=x(4)ax2+bx=0(a≠0)
(5)ax2+c=0(a≠0)
分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。
尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。
解：(1) 2x2+3x-4=0
a=2, b=3, c=-4,
∵Δ=b2-4ac
=32-4×2×(-4)=41>0
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）将方程化为一般形式
3x2-2x+2=0
a=3, b=-2,c=2
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0,
∴方程有两个相等的实数根。
（3）将方程化为一般形式
x2-x+1=0
方程两边同乘以2（为了计算简便），得
x2-x+2=0
a=, b=-, c=2
∵Δ=(-)2-4××2
=2-8<0
∴方程没有实数根。
（4）ax2+bx=0(a≠0)
∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，
此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=b2-4·a·0=b2,
∵无论b取任何实数，b2均为非负数，
∴Δ≥0，
故方程有两个实数根。
（5）ax2+c=0 (a≠0)
∵a≠0,
∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次项系数b=0 ∵Δ=02-4ac
=-4ac
需要讨论a,c的符号，才能确定Δ的符号；
当c=0时，Δ=0, 方程有两相等实根；
当a与c异号时，Δ>0, 方程有两不等实根；
当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。
注意：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。
例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明：
Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
=4m2-4(m4+5m2+4)
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,
∴-4(m2+2)2<0, 即Δ<0.
∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
（1）计算Δ
（2）用配方法将Δ恒等变形
（3）判断Δ的符号
（4）结论
其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
方程配方与代数式配方既有联系又有区别：方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。
方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。
例3．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。
分析：∵方程有两个实数根，∴有隐含条件二次项系数k≠0,
又∵方程有两个相等的实数根，由判别式定理的逆定理可知Δ=0
解：
Δ=(-4k)2-4·k(k-5)
=12k2+20k
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即12k2+20k=0
解得k1=0, k2=-,
又∵k=0时，方程不是一元二次方程，不能有两个实根，
∴k=0不符合题意，应舍去。
∴k=-，
把k=-代入原方程，原方程即为x2-4x+4=0。
解得这个方程的两个根是x1=x2=2.
注意：对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须考虑隐含条件a≠0。
例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根，求证：ΔABC为RtΔ。
证明：整理原方程：
方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0.
整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0
(c+b)x2-2ax+cm-bm=0
根据题意：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
ma2-c2m+b2m=0
∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
又∵m>0,
∴a2+b2-c2=0
∴a2+b2=c2
又∵a,b,c为ΔABC的三边，
∴ΔABC为R tΔ。
例5．若a,b,c为实数，关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b.
分析：根据判别式定理的逆定理，由方程有两个相等实根，可知Δ=0，经整理化为关于方程中系数的等式，从而导出结论。
证明：
∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴Δ=0，即[2(a-c)]2-4×2·[(a-b)2+(b-c)2]=0
(a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0
a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0
(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0
(a+c-2b)2=0
∴a+c-2b=0 即a+c=2b.
注意：利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明，就是根据判别式大于0，小于0或等于0的情况，结合已有的其它知识来证明结论的，有时要应用乘法公式进行恒等变形。
例6．若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。
分析：已知方程有两个实数根，说明它是一元二次方程，即二次项系数m2≠0，又由判别式定理的逆定理可知Δ≥0，m的取值范围是受这两个条件限制的，解之即可。
解：∵方程有两个实数根，
∴即
解得m≥-且m≠0,
∴当m≥-且m≠0时，方程有两个实数根。
注意：不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m≠0”。
例7．若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围。
分析：此题易误认为所给方程是一元二次方程，而用Δ≥0，且m2-1≠0来解，事实上，题目中没有给出方程的次数，也没有指明方程的根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。
解：本题有两种情况：
（1）若方程是一元二次方程，并且有实根，则必有：
即m≥-且m≠±1.
（2）若方程为一次方程，则
解得m=±1，
当m=1时，原方程为-6x+1=0，有实根x=,
当m=-1时，原方程为-2x+1=0，也有实根x=.
综合（1），（2），得m≥-时，原方程有实数根。
注意：对比以上两个例题，都是由方程的根的情况求m的取值范围，但解题思路却不太相同。
例6说“方程有两个实数根”，隐含着方程是一元二次方程的条件，例7说“方程有实数根”，却没有这样的隐含条件，所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。
本题所用的是分类讨论思想。
利用分类讨论思想解答问题，要注意：分类要按同一标准进行，同时分类要做到不重不漏，最后要综合几种情况得出结论。
例8．已知，关于x的方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）化简：|-k-2|+
解：Δ=(-)2-4·k=2k+4-4k=-2k+4
∵方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，
∴-2k+4>0,∴k<2,
又∵2k+4≥0,∴k≥-2.
∴k的取值范围是-2≤k<2.
（2）|-k-2|+(-2≤k≤2)
=|k+2|+=|k+2|+|k-2|
=k+2+2-k=4.
小结：一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据，使用时常需要配方，是这一部分的重要知识，要掌握。
