北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学文试题 Word版含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A (1)(2)0x x x ，集合1Bx x ，则A BA ．B ．1x xC ．12x xD ．12x x【答案】D 【解析】(1)(2)0|12A x x x x x ，1|11B x x x x所以AB 12x x，故选D【考点】 集合运算 【难度】 22．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D．π32【答案】C【解析】设正方形的连长为2a ，则圆的半径为a ，所以阴影部分面积为24a π，正方形面积为24a ，所以所求概率为224416a a ππ=，故选C【考点】 几何概率 【难度】 2开始 S =0，n =1结束n =n +2n >5?输出S 是否cosn S S π=+33．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3zx y 的最小值是A ．12 B ． 8 C ． 4 D ．0【答案】B【解析】作出可行域如图， 目标函数3zx y 变形为1133yx z ，作直线13y x ，平移直线，当直线过点(2,2)A --时，z 取得最小值，min 23(2)8z =-+⨯-=-，故选B 【考点】 线性规划 【难度】 24. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若a 与b 共线，设λ=a b ，则(1)λ+=+a b b ，(1)λ-=-a b b ，所以+a b 与-a b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分条件；若+a b 与-a b 共线，设()k +=-a b a b ，则有(1)(1)k k -++=a b 0，如果a 与b 不共线，则有1010k k -=⎧⎨+=⎩，此时无解，所以a 与b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的必要条件；所以“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分必要条件，故选C 【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 35．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0 B ．1 C ．12 D ．32【答案】A【解析】初始值：0S =，1n =第一次循环：1cos 32S π==，3n =第二次循环：131cos 232S π=+=-，5n =第三次循环：15cos 023S π=-+=，7n =，输出0S =，故选A【考点】 算法与程序框图 【难度】 2 6.函数21,11,()lg ,1,x x f x x x 的零点个数是A. 0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当11x -≤<时，由()0f x =得210x -=，所以1x =-；当1x ≥时，由()0f x =得lg 0x =，所以1x =； 所以零点有两个，故选C【考点】 方程与零点 【难度】 27．已知点A 为抛物线:C 24x y 上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABFA ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 【答案】A【解析】抛物线变形为214y x =，则1'2y x =，设200(,)4x A x ，则001'|2x x y x == 所以切线方程为20001()42x y x x x -=-，令0y =得02xx =，即0(,0)2x B而(0,1)F ，所以0(,1)2x FB =-，200(,)24x x BA =， 所以20000224x x x FB BA ⋅=⨯-=，所以AB FB ⊥，即ABF 一定是直角，故选A 【考点】 抛物线 【难度】 38．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料【答案】A【解析】如果甲不打印材料，即甲在批改作业，那么两就不在查资料，即丙在写教案，此时批作业与写教案均有人在干，而乙只能批作业或写教案，所以矛盾；故甲只能在打印材料，故选A 【考点】 合情推理 【难度】 ３第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i) ．【答案】1+i【解析】 2(1)1i i i i i -=-=+ 【考点】 复数综合运算 【难度】 110．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F ，一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ． 【答案】222y x -=【解析】由已知双曲线焦点在y 轴，且2c =，1ab= 即224a b a b ⎧+=⎨=⎩，所以222a b ==，所以双曲线方程为22122y x -=，即222y x -=【考点】 双曲线 【难度】 211．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ． 【答案】23；35【解析】 四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB =， 所以体积为1211233V =⨯⨯⨯=； 因为2PB =，1AB =，PB AB ⊥，所以PA =1121122PBA S PB PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为PB BC ⊥，1121122PBC S PB BC ∆=⋅=⨯⨯=；俯视图正视图侧视图DCBAP因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AD ⊥，即AD PB ⊥，又因为AD AB ⊥，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD PA ⊥，所以11515222PAD S AD PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为2PB =，1BC =，PB BC ⊥，所以5PC =，因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB CD ⊥，即CD PB ⊥，又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面PBC ，所以CD PC ⊥，所以11515222PAD S CD PC ∆=⋅=⨯⨯=；又因为底面积为111⨯= 所以表面积为551113522++++=+ 【考点】 点线面的位置关系 【难度】 2 12. 已知在ABC 中，4C π=，3cos 5B =，5AB ，则sin A ；ABC 的面积为 ．【答案】7210；14 【解析】 因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，因为4C π=，所以2sin 2C =，2cos 2C =，所以[]423272sin sin ()sin()sin cos cos sin 525210A ABC B C B C B C =-+=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin BC ABA C =，所以572sin 7sin 1022AB BC A C =⋅=⨯= 所以114sin 5714225ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 【考点】 解三角形 【难度】 3 13．在圆C ：222(2)8x y内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 【答案】46【解析】 由已知AB 为直径，42AB = DE AB ⊥，22(21)(20)5CP =-+-=，22CE =，所以223PE CE CP =-=，所以23DE =四边形ADBE 的面积11112342462222PDE ADE S S S DE PA DE PB DE AB ∆∆=+=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= 【考点】 圆的标准方程 【难度】 314．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)；③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④【解析】由420x +≠得定义域为R ，故①正确； 因为422x +>，所以110422x<<+，即值域为1(0,)2，故②错误； 由()f x x =得142xx =+，即142x x=+，因为函数1y x =与42xy =+的图象只有一个交点，所以方程()f x x =只有一个根，故③正确；因为1111114241()(1)442424242424424224x x x x x x x x xf x f x -++-=+=+=+==+++++⋅+⋅+ 所以()f x 的图象关于点11(,)24成中心对称，故④正确 所以正确命题的序号是①③④ 【考点】 函数的性质 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x ，求0x 的值．【答案】见解析【解析】解：2()cos cos )sin f x x x x x =+-22cos cos sin x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+．（Ⅰ）因为[,]2x π∈π，所以7132[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)[1,]62x π+∈-， 所以，当且仅当13266x ππ+=，即x =π时，max ()1f x =．（Ⅱ）依题意，02sin(2)26x π+=，所以0sin(2)16x π+=．又0(0,2)x ∈π，所以0252(,)666x ππ+∈π， 所以0262x ππ+=或05262x ππ+=，所以06x π=或076x π=．【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 316．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N ）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N ）从左至右依次都在函数23xy的图象上，求这n个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）依题意，设数列n a 的公差为(0)d d．由12318a a a ，可得26a ，则16a d ，36a d ．由前三项之积为120可得，(6)6(6)120d d ，解得4d.舍负得4d =. 所以 42na n ．（Ⅱ）由于点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b 依次都在函数23x y的图象上，且42na n ，所以213n nb ．所求这n 个点123,,A A A ,…，n A 的纵坐标之和即为数列n b 的前n 项和n T ． 由于19n nb b ，所以数列n b 为以3为首项，9为公比的等比数列．所以 3193(91)198n nnT ． 【考点】 等差数列；等比数列 【难度】 317．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,BC 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为31=18060， 所以应从选择B 题作答试卷中抽出2份，从选择C 题作答试卷中抽出2份．（Ⅱ）记在（Ⅰ）中抽出的选择A 题作答的试卷分别为123,,a a a ，其中12,a a 得优；选择B 题作答的试卷分别为12,b b ，其中12,b b 得优；选择C 题作答的试卷分别为12,c c ，其中1c 得优．从123,,a a a ，12,b b 和12,c c 中分别抽出一份试卷的所有结果如下：111{,,}a b c 112{,,}a b c 121{,,}a b c 122{,,}a b c 211{,,}a b c 212{,,}a b c 221{,,}a b c 222{,,}a b c 311{,,}a b c 312{,,}a b c 321{,,}a b c 322{,,}a b c所有结果共有12种可能，其中3份都得优的有111{,,}a b c 121{,,}a b c 211{,,}a b c 221{,,}a b c ，共4种．设“从被抽出的选择,,A B C 题作答的的试卷中各随机选1份，这3份试卷都得优”为事件M ，故所求概率41123P ==．【考点】 抽样；古典概率【难度】 318．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l 平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）证明：由已知，DA DM =．因为点O 是线段AM 的中点， 所以DO AM ⊥．又因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以DO ⊥平面ABCM ． 因为DO ⊂平面DOB ， 所以平面DOB ⊥平面ABCM ．（Ⅱ）证明：因为在矩形ABCD 中，2AB AD =,且M 为CD 的中点，所以AM BM AB ===， 所以AM BM ⊥．由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABCM ， 因为BM ⊂平面ABCM ， 所以DO BM ⊥．因为DO ⊂平面ADM ,AM ⊂平面ADM ，且DO AM O =，所以BM ⊥平面ADM ． 而AD ⊂平面ADM ， 所以AD BM ⊥．ABCMDOABCMD（Ⅲ）过D 点不存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：（1）l平面BCD ； （2）//l AM ．理由如下：（反证法）假设过D 点存在一条直线l 满足条件， 则因为//l AM ，l平面ABCM ，AM ⊂平面ABCM ，所以//l 平面ABCM ． 又因为l平面BCD ，平面ABCM平面BCD BC =，所以//l BC .于是//AM BC ，由图易知AM ，BC 相交，矛盾. 所以，不存在这样的直线l ． 【考点】 立体几何综合 【难度】 319．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y ,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r相切，求r 的值．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)不妨设直线l 在x 轴的上方，则,A B 两点关于y 轴对称.设11(,)A x y ，11(,)B x y 11(0,0)x y ，则11(,)OAx y ，11(,)OB x y ．由90AOB ，得0OA OB，所以2211y x ．又因为点A 在椭圆上，所以221114x y ．由于10x ，解得1255x ，1255y ，则 22(5,55A ，B ． 所以1452542555OABS． （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为ykxm ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程组 22,4 4.y kx m x y 整理得222(41)8440k x kmx m ． 由方程的判别式0，得22410k m ， （※） 则 122841km x x k ，21224441m x x k ． 由90AOB，得0OA OB ，即12120x x y y ， 而1212()()y y kx m kx m ， 则2212121212(1)()0x x y y k x x mk x x m ． 所以 2222244(8)(1)04141m km k mk m k k ． 整理得 225440mk ， 把22454k m 代入（※）中，解得 234m 而224540k m ，所以 245m ，显然满足234m ． 直线l 始终与圆222x y r 相切，得圆心(0,0)到直线l 的距离d 等于半径r ． 则22221m r d k ，由224455m k ，得245r ， 因为0r ，所以255r． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为255x ，此时，直线l 与圆2245x y 相切，255r ． 综上所述255r ． 【考点】 圆锥曲线综合【难度】 420．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ． （Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性； （Ⅱ）当01a 222()21af x t at 对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)因为1a ，π[0,]4x ， 所以()cos sin cos sin 0f x a x xx x ． 故()f x 在区间π[0,]4上是单调递增函数．（Ⅱ）令()0f x ，得cos sin a x x ， 因为在区间π[0,]4上cos 0x，所以tan a x ． 因为(0,1)a，tan [0,1]x ， 且函数tan y x 在π[0,]4上单调递增， 所以方程tan a x 在π(0,)4上必有一根，记为0x ， 则000()cos sin 0f x a x x ． 因为()cos sin f x a x x 在π[0,]4上单调递减， 所以，当0(0,)xx 时，0()()0f x f x ； 当0(,)4x x 时，0()()0f x f x ．所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)4x 上单调递减，所以max000()()sin cos f x f x a x x ． 又因为00cos sin a x x ，且2200sin cos 1x x ， 所以220(1)cos 1a x ，2021cos 1x a ， 故22max00()()(1)cos 1f x f x a x a ． 依题意，(0,1)a 2222121aa t at 恒成立，即(0,1)a 时，2(2)20t a t ，恒成立． 令2()(2)2h a =t a t ，则 (0)0,(1)0,h h 即2220,0.t t t 解得 1t 或0t ．【考点】导数的综合应用【难度】 4。

文科保温练习一（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}10A x x =->，{}21xB x =>，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}01x x <<C ．{}0x x <D ．{}1x x > 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．10 D ．55 3.若01x y <<<，则下列不等式正确的是（ ）A ．44y x< B ．33>x yC ．44log log x y <D ．11()()44x y <4.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ． 55C ．54D ．305.已知点)1,1(-A ，)2,1(B ，)1,2(--C ，)4,3(D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2153-B ． 2153C ． 223-D ． 223 6.设0x 是方程x x -=4ln 的解，则0x 属于区间（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(7． 为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 A.一类 B.二类 C.三类 D.无法判断 8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是其棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．已知复数z 满足12i12i z+=-，则复数z =_____________． 10．已知双曲线14222=-y ax 的渐近线方程为3y x =±，则此双曲线的离心率为_______． 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图有半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．A'B'C'D'A BCD12．在ABC ∆中，3π=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则边BC 的长为__________． 13．当实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥02,,0k y x x y x (k 为常数)时，y x z 3+=有最大值12，则实数k 的值是__________．14. 有排列成一行的四户人家．已知： 小王家在小李家的隔壁,小王家与小张家并不相邻.如果小张家与小赵家也不相邻，那么， 小赵家的隔壁是 家.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,48a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足24log n n b a =()n ∈*N ，试求数列{}nb 前n 项和nT 的最大值.16．（本题满分13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB =1，sin B =31， 3()22C f =，求AC 的长.17．（本小题满分13分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义 务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25， 第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ+u u u r u u u r与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．文科保温练习一答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q (0)q >，则有211181248a q q a a q ⎧=⇒=⎨+=⎩或13q =-（舍） ------------------3分.则12832a q ==，16132()22n n n a --=⋅=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）6224log 4log 2424nn n b a n -===-+，---------------------------------------------9分22(20244)111212222()222n n n T n n n +-==-+=--+-----------------------11分所以当5n =或6n =时数列{}n b 前n 项和n T 的最大值为60. -----------------13分 16. (本小题满分13分)解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=π1πcos 2cossin 2sinsin 2cos 2sin 2sin(2)66223x x x x x x π-+=+=+......3分 （Ⅰ）令πππ2π22π,232k x k k Z -≤+≤+∈，则5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z . 所以函数的单调递增区间为5ππ[π,π]().1212k k k -+∈Z .............6分（Ⅱ）由已知π()sin()232Cf C +==， …………………………….8分 因为ππ4π0π,333C C <<∴<+< 所以π2π33C +=，π3C =，所以sin C=2. ……………………10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB B C =，得1sin sin 2AB B AC C ⋅===. …..13分. 17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由频率直方图可知：第3组的人数为0.06510030⨯⨯= 第4组的人数为0.04510020⨯⨯= 第5的人数为0.02510010⨯⨯=所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯= 第4组：206260⨯= 第5组：106160⨯= 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……6分 （Ⅱ）记第3组的3名志愿者为123,,,A A A 第4组的2名志愿者为12,,B B 则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：12(,),A A 13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种其中第4组的2名志愿者为12,,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为710. ………….13分. 18. （本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE ==. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分 （Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I ,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE . ……………9分 解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， …………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ……………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ……………14分19. （本小题满分13分）解（Ⅰ）过点(0且斜率为k 的直线l方程为：y kx =+ABCED F M由2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(12)20k x +++= ------------------------------2分22)8(12)0k ∆=-+> ------------------------------3分 即 212k >，即22k k ><------------------------------4分 所以 k的取值范围为(,()22-∞-+∞U ------------------------------5分（Ⅱ）由题意知，(0,1)A B，则(AB =u u u r-----------------------------6分设 11(,)P x y 22(,)Q x y由（Ⅰ）知，12212x x k+=-+ ------------------------------7分2121222()1212y y k x x k k +=++=-+=++ ---------------------8分121222(,)(,)1212OP OQ x x y y k k∴+=++=-++u u u r u u u r ------------------------------9分 若OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线，则= ------------------------------10分2k ∴=------------------------------11分这与(,)22k ∈-∞-+∞U 矛盾，故k 不存在．------------------------------13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞． ……………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-． ……………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-． ……………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为2a a <，所以01a <<．………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．……………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．………………………11分③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当12a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………14分。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}52,A x x =-<<{}33,B x x =-<<则AB =（ ）( A ) {}32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {}53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22111x y ++-=（C ）()()22112x y +++= （D ）()()22112x y -+-=（3）下列函数中为偶函数的是（ ）（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x =（C ）ln y x = （D ）2xy -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）（A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6（6）设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“a //b ”的（ ）（A ） 充分而不必要条件（B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）(A) 1 （B ）（B ）(D) 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数()1i i +的实部为．（10）13222,3,log 5-三个数中最大数的是．（11）在ABC ∆中，23,,3a b A π==∠=则B ∠=．（12）已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b =．（13）如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(),P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B =（ ）.A. {}32x x -<<B. {}52x x -<<C. {}33x x -<<D. {}53x x -<<2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）. A. ()()22111x y -+-= B. ()()22111x y +++=C. ()()22112x y +++= D. ()()22112x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）.A.2sin y x x = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2xy -=4．某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）.A.90B. 100C. 180D. 3005．执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）. A.3 B. 4 C. 5 D. 66．设a ，b 是非零向量，“a b =a b ”是“//a b ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）.A.1B.C. D. 2俯视图侧（左）视图正（主）视图118．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ).A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．复数()i1i+的实部为.10．32-，123，2log5三个数中最大数的是.11．在ABC△中，3a=，b=2π3A∠=，B∠=. 12．已知()2,0是双曲线()22210yx bb-=>的一个焦点，则b=. 13．如图，ABC△及其内部的点组成的集合记为D，(),P x y为D中任意一点，则23z x y=+的最大值为.14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.总成绩年级名次267总成绩年级名次从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.16．（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =；问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？17．（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（本小题14分）如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC BC ⊥，且AC BC =O ，M 分别为AB ，VA 的中点.（1） 求证：//VB 平面MOC . （2） 求证：平面MOC ⊥平面 VAB . （3） 求三棱锥V ABC -的体积.19．（本小题13分）设函数()2ln ,02x f x k x k =->. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.OMBAV20．(本小题14分)已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于两点M . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（北京文）一、选择题 1.【答案】A【解析】在数轴上将集合A 、B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B ⋂为图中阴影部分，即{}32x x -<< 2.【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=3.【答案】B【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 4.【答案】C【解析】：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =. 5.【答案】B 【解析】初值为a=3,k=0，进入循环体后，3333,1;,2;,3;,4;24816a k a k a k a k ======== 此时，a<14，退出循环，故k=4 6.【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b =<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b =-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.7.【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA ===8.【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.二、填空题 9.【答案】-1【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 10.【答案】log 25【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>2log 5最大. 11.【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =，所以4B π∠=.12.【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =13.【答案】7【解析】由题图可知，目标函数b=233z b x =-+， 因此当x=2，y=1，即在点A 出时z 取得最大值为7.14.【答案】①乙 ②按照全年级排名答案为语文靠前，按照班级排名答案为数学靠前 【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.三、解答题 15.【解析】 （1）1cos ()sin 2sin 2sin()3xf x x x x x π-=-==+ 故周期为2π（2）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤ 所以f(x)的最小值为2()3f π=16. 【解析】根据124310,2a a a a +=-=得到1210a d +=且d=2 于是14,a =所以1(1)22n a a n d n =+-=+ （2）23378,16b a b a ==== 从而4622,.128q b b q === 令22128n a n =+=得到63n =17. 【解析】（1）从表格可以得到同时购买乙和丙的人数为200人，由于总人数为1000人， 所以概率为200110005P == （2）顾客可能同时购买甲、乙、丙或者同时购买甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、丁，从而概率300110003P == （3）同时购买乙的人数为200人，同时购买丙的人数为600人，同时购买丁的人数为100人，从而丙的可能性更大。