【习题】《应用二元一次方程组-里程碑上的数》综合练习北师大版八年级数学上册

5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数一．选择题1．今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，商品的价格为y，依题意可列方程组为（）A．B．C．D．2．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．3．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，其中A型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克．若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，且购进两种粽子共用了2560元．设购进A型粽子x千克，B型粽子y千克，则可列方程为（）A．B．C．D．4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，若分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．5．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：捐款（元）35810人数2■■31表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（）A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）A．B．C．D．7．甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（）A．B．C．D．8．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（）A．B．C．D．9．一道来自课本的习题：甲乙两人相距27km．若两人同时出发相向而行，则出发1.5h相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发30min，则乙出发70min后两人相遇，求甲乙两人的速度．嘉琪将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是（）A．0.3x+0.7y＝27B．x+y＝27C．x+y＝27D．x+y＝2710．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，可列方程组为（）A．B．C．D．11．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（）A．720km B．750km C．765km D．780km 12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（）A．10两B．11两C．12两D．13两13．如图，有四个相同的小长方形和两个相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长与宽的差是（）A．B．﹣C．D．2m﹣3n14．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km15．小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm二．填空题16．街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有名环卫工人．17．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣8，5），则点A的坐标是．18．某图书馆分两次购进一批图书．第一次购买了A、B两种经典名著若干本，用去5890元；第二次购买了C、D两种现代文学若干本，用去3770元，其中A、B两种图书的数量分别与C、D两种图书的数量相等，且A种图书与D种图书的进价相同，B种图书与C种图书的进价相同．若A、B两种图书的进价之和为105元，则该图书馆购进的这一批图书共有本．19．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．则甲每分钟跑圈．20．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AD＝12cm，BE＝4cm，则一个小长方形的面积为．21．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为．22．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是．23．甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和四辆乙车一次可运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米，若每辆甲车每次运土x立方米，每辆乙车每次运土y立方米，则可列方程组．24．一个两位数的十位数字与个位数字的和是13，把这个两位数减去27，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为．25．解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．则甲带了钱．三．解答题26．某景点的门票价格如下表：购票人数（人）1～5051～99100以上（含100）门票单价（元）484542（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？27．哈美加在疫情期间决定往灾区捐赠物资，租用了甲和乙两种型号的货车，将已经装箱的药品、食品、日用品运往灾区，每辆车中均装有药品、食品、日用品，其中甲货车总共装箱400箱，药品的箱数占甲车总箱数的．（1）甲货车中药品多少箱？（2）若乙货车的总箱数比甲货车的总箱数多，且乙货车中食品箱数占乙货车总箱数的一半，求乙货车中食品有多少箱？（3）在（1）、（2）的条件下，甲货车中日用品的箱数是乙货车中日用品的箱数的，到灾区两车救灾物资在一起，此时日用品的箱数占两车总箱数的，求甲货车中食品有多少箱？28．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价；（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．29．某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元．（1）求A、B两种纪念品的购进单价；（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费750元，那么该商店购进这A、B 两种纪念品有几种可行的方案，并写出具体的购买方案．30．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴的正半轴上，坐标为（0，a），点B在x轴的负半轴上，坐标为（b，0），同时a、b满足．连接AB，且AB＝10．点D是x轴正半轴上的一个动点，点E是线段AB上的一个动点，连接DE．（1）求A、B两点坐标；（2）若∠BED＝90°，点D的横坐标为x，线段DE的长为d，请用含x的式子表示d；（3）若∠BED＝100°，AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE相交于点F，求∠F的度数．参考答案一．选择题1．解：设有x人，商品的价格为y，依题意，得．故选：D．2．解：由题意可得，，故选：A．3．解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得，故选：D．4．解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，所以可得方程组：．故选：D．5．解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：，即．故选：A．6．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，依题意，得：．故选：C．7．解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，依题意有，故选：A．8．解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由“这个长方形的长比宽多10cm”得到方程：x﹣y＝10．由长方形的周长是80cm得到方程：2x+2y＝80．所以由题意可得方程组，，故选：B．9．解：设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是：（+）x+y＝27，整理得：x+y＝27．故选：C．10．解：设现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，根据题意得：，故选：B．11．解：设飞机无风时的平均速度是akm/h，风速为bkm/h，，解得，，即飞机无风时的速度为750km/h，故选：B．12．解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，依题意，得：，解得：，∴＝＝11．故选：B．13．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：m+y﹣x＝n+x﹣y，即2x﹣2y＝m﹣n，整理得：x﹣y＝．则小长方形的长与宽的差是．故选：C．14．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车耗油量为ykm，也即甲车注入燃料量为ykm，注入后甲车剩余ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB（105+70）÷2＝140（km）．故选：B．15．解：设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，依题意，得：，解得：，∴x+（50﹣1）y＝56．故选：B．二．填空题（16．解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，依题意，得：，解得：．故答案为：8．17．解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意，得：，解得：，∴x﹣y＝3，x+2y＝6，∴点A的坐标为（﹣3，6）．故答案为：（﹣3，6）．18．解：设购进A种图书x本，B种图书y本，A种图书的单价为a元，则购进C种图书x 本，D种图书y本，B种图书的单价为（105﹣a）元，C种图书的单价为（105﹣a）元，D种图书的单价为a元，依题意，得：，由①+②，得：105（x+y）＝5890+3770，∴x+y＝92，∴2（x+y）＝184．故答案为：184．19．解：设甲的速度为x圈/分钟，乙的速度为y圈/分钟，依题意，得：或，解得：或．故答案为：或．20．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，∴小长方形的面积＝2×6＝12（cm2）．故答案为：12cm2．21．解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，故答案为：．22．解：根据题意，得．故答案为：．23．解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，由题意得，，故答案为：．24．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：，解得：，∴10x+y＝85．故答案为85．25．解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据题意，得，解得：故答案为：36．三．解答题26．解：（1）设七年级1有x名学生，2班有y名学生，由题意得：，解得：，答：七年级1有49名学生，2班有53名学生；（2）设八年级报名x人，九年级报名y人，分两种情况：①若x+y＜100，由题意得：，解得：，（不合题意舍去）；②若x+y≥100，由题意得：，，解得：，符合题意；答：八年级报名48人，九年级报名58人．27．解：（1）400×＝100（箱），答：甲货车中药品100箱；（2）400×（1+）＝600（箱），600×＝300（箱），答：乙货车中食品有300箱；（3）甲货车和乙货车共有：400+600＝1000（箱），1000×＝280（箱），设甲货车中日用品为x箱，乙货车中日用品为y箱，由题意得：，解得：，即甲货车中日用品为120箱，则甲货车中食品的箱数为：400﹣100﹣120＝180（箱），答：甲货车中食品有180箱．28．解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则，解得：，答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，解得m1＝20，m2＝40．因为顾客能获取更多的优惠，所以m＝40．29．解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，依题意，得：15x+13y＝750，∴x＝50﹣y．∵x，y均为正整数，∴y为15的倍数，∴或或，∴该商店共有3种进货方案，方案1：购进37件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进24件A种纪念品，30件B种纪念品；方案3：购进11件A种纪念品，45件B种纪念品．30．解：（1）∵a、b满足，∴解方程组得，，∴点A坐标为（0，8），点B坐标为（﹣6，0）；（2）如图1，连接AD，∵A（0，8），B（﹣6，0），∴OA＝8，OB＝6，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝10．∵点D是x轴正半轴上的一个动点，点D的横坐标为x，∴OD＝x，∴BD＝6+x，∵AB＝10，DE＝d，∠BED＝90°，∴S△BAD＝AB•DE＝BD•OA，∴10d＝8（6+x），∴d＝x+（x＞0）；（3）如图2，延长AF，交BD于点C，∵AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE，∴∠CAO＝∠BAO，∠CDF＝∠BDE，∵∠BED＝100°，∠BOA＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝80°﹣∠BDE，又∵∠ABD＝90°﹣∠BAO，∴80°﹣∠BDE＝90°﹣∠BAO，∴∠BAO﹣∠BDE＝10°，∵∠ACD＝90°﹣∠CAO＝90°﹣∠BAO，∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝∠ACD+∠CDF＝90°﹣∠BAO+∠BDE＝90°﹣（∠BAO﹣∠BDE）＝90°﹣×10°＝85°．。

5.5 里程碑上的数一．选择题1．若甲数的比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（）A． x﹣4y=1 B．4y﹣=1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣y=12．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：23．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（）A．B．C．D．以上各式均不对4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．二、填空题5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为．6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有个．7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组．三、解答题8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：（1）求a、b的值；（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？四、能力提升15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为．16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1．这两位数是多少？17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？19．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？五、聚沙成塔22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？参考答案与试题解析一．选择题1．若甲数的比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（）A． x﹣4y=1 B．4y﹣=1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣y=1【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．【分析】由题意可得等量关系：甲数×﹣乙数×4倍=1．【解答】解：根据甲数的比乙数的4倍多1，则x﹣4y=1．故选A．【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写．2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2【考点】一元一次方程的应用．【专题】行程问题．【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度+水流速度=顺水速度﹣水流速度．【解答】解：设船的逆水速度为a，水流速度为x，则顺水速度为3a，那么：a+x=3a﹣x解得：x=a静水速度=顺水速度﹣水流速度，所以静水速度为：3a﹣a=2a所以船的静水速度与水流速度之比为2：1．故选B．【点评】本题中虽然有多个未知数，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于利用转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解．3．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（）A．B．C．D．以上各式均不对【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．根据这两个等量关系，可列方程组．【解答】解：设原数十位数字为x，个位数字为y．根据题意列出方程组为．故选C．【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字．4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；（2）如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，可以列出方程组．【解答】解：设甲、乙每秒分别跑x米，y米，由题意知：．故选：C．【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．二、填空题5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为．【考点】列代数式．【分析】本题的等量关系为：被除数=商×除数+余数．【解答】解：∵被除数=商×除数+余数，∴这个数为5a+1．【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有个．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设十位数字为x，个位数字为y，由十位数字与个位数字之和为5建立方程求出其解即可．【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，由题意，得，由①，得y=5﹣x，∴5﹣x≥0，∴x≤5．∴0＜x≤5．∵x为整数，∴x=1，2，3，4，5．∴．∴这样的两位数为：14，23，32，41，50．∴这样的两位数共有5个．故答案为：5．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等式的解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键．7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】首先注意公式：顺风速度=本身的速度+风速，逆风的速度=本身的速度﹣风速．然后根据此题中的等量关系：①顺风飞行，每小时飞行500km；②逆风飞行，每小时飞行460km．列方程组即可．【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行500km，得方程x+y=500；根据逆风飞行，每小时飞行460km，得方程x﹣y=460．可列方程组．【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程．三、解答题8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，根据个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，列方程组求解．【解答】解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，由题意得，，解得：．则这个两位数为49．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】行程问题．【分析】可设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，则小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm，下坡路xkm．已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于xy的两个方程，求解即可．【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm，下坡路xkm，根据题意得：由①得：10x+6y=33③由②得：10y+6x=39④③×10得：100x+60y=330⑤④×6得：36x+60y=234⑥⑤﹣⑥得：x=1.5，将x=1.5代入③得：15+6y=33，∴y=3；∴，所以，小华到姥姥家有1.5km上坡路，3km下坡路，共有4.5km．答：姥姥家离小华家4.5km．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设原来的一个加数为x，另一个加数为y，根据两个加数的和分别为888和861建立二元一次方程组，求出其解即可．【解答】解：设原来的一个家数为x，另一个加数为y，由题意，得，解得：．答：原来的两个加数分别是81，78．【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程组是关键．11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：（1）求a、b的值；（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出a和b的值．（2）根据九年级的捐款数和a，b的值可求出结果．【解答】解：（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b 元，，解得：．所以a的值是800，b的值是600．（2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为等量关系列方程组求解．第2问根据总人数是23和总捐款数可求出解．12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，根据甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇，列方程组求解．【解答】解：设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，由题意得，，解得：．答：甲、乙两人的速度各是80m/min，70m/min．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可．【解答】解：设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，由题意，得，解得：．答：火车的速度为20米/秒，桥的长度为200米．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组是关键．14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，根据顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，列方程组求解．【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，由题意得，，解得：．答：这艘轮船在静水中的速度为17千米/小时，水的流速为3千米/小时．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．四、能力提升15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，根据甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；甲让乙先跑2秒，甲跑4秒就追上乙，列方程即可．【解答】解：设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，由题意得，．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1．这两位数是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】应用题．【分析】这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，则个两位数表示为10x+y，然后根据两位数减去它的各位数之和的3倍得23可列方程10x+y﹣3（x+y）=23，由于这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1，根据整数的除法得到10x+y=5（x+y）+1，然后组成方程组，再解方程组即可．【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，根据题意得，解得，所以这个两位数为56．答：这个两位数为56．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】计算题．【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解．【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：，解得：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解．18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，根据以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组求解．【解答】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，由题意得，解得：．答：甲乙两地的距离为120千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．19．甲、乙两人分别从相距30千米的A 、B 两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲的速度为xkm/h ，乙的速度为ykm/h ，那么可以分两种情况：①当甲和乙还没有相遇相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的2倍可以列出方程组解决问题；②当甲和乙相遇了相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的2倍可以列出方程组解决问题． 【解答】解：设甲的速度为xkm/h ，乙的速度为ykm/h ，则有两种情况：（1）当甲和乙还没有相遇相距3千米时，依题意得，解得； （2）当甲和乙相遇了相距3千米时，依题意得，解得．答：甲乙两人的速度分别为4km/h 、5km/h 或km/h ， km/h ．【点评】此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相遇两种情况解题．20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】应用题．【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=1；同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程﹣乙路程=1【解答】解：设甲每分跑x圈，乙每分跑y圈，则解得答：甲每分跑圈，乙每分跑圈．【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程+乙路程=甲乙相距路程，甲路程﹣乙路程=甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是一圈．21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量；②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为1，则第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为；第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为，根据等量关系列出方程组求解即可．【解答】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，由题意得，整理得，解得．答：设两工程队各工作了16天，在施工期间有10天有雨．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方程组求解．五、聚沙成塔22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？【考点】一元一次不等式的应用．【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．故一个队至少要积7分才能保证出线．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．。

分析：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数x的右
边接着写较小的数y，所写的数可表为 100 x；+ y
在较大数x的左边接着写上较小的数y，所写的数可表示
为 100 y +．x
等量关系：
1、两个两位数的和是68，即：x+y=68
2、前一个四位数－后一个四位数=2178
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有：
等量关系：１．原三位数－４５＝新三位数, (100x+y)-45=10y+x
２．９ 百位数字＝两位数－３. 9x=y-3
分析：数字百问位数题字中，十设位未数知字数个也位很数有字技巧，表达此式问题中 由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”， 可设为原数一个未x知数y，百位数设y 为x： １００x＋ y
解：设十位上的数字为x，个位上的数
字为y，根据题意得：
x y 5 (x 10 y) (10x y) 143
x 9
解得
y
4
答：这个两位数是94
新课讲授
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是 小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到 的里程碑上的数吗？
是一个两位数 字，它的两个 数字之和为7．
解：设这个两位数的十位数为x，个位数为y，
依题意得：
56-3(5+6)=23
10x y 3x y 23, 5x y 1 10x y.
56÷(5+6)=5…1
7x 2y 23, 整理，得 5x 4y 1.
பைடு நூலகம்
解得
x 5,
y
6.
答：这个两位数是56．
2、有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则 比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字 和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．

《应用二元一次方程组-里程碑上的数》 即时练习
1.一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如 果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去 除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．
分析：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，那 么这个两位数是10x+y，两个数字之和是（x+y），个位 数字与十位数字对调后的两位数是10y+x，由题意可列 出两个等式．
2.一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于 行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需 用2小时30分，而从乙地回到甲上坡的速度为20千米/ 时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程 中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
解：设两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得
10x y 10y x
7(x y) 6 3(x y) 5
(1) (2)
即
3x 6y 6 (3) 2x 7 y 5 (4)
(3)×2－(4) ×3得 9y=27,y=3
把y=3代入(3)得 x=8 答：这个两位数是83．
分析：设上坡路为x千米，下坡路为y千米，由总路程可 得平路的长度，在根据来回所用的时间建立方程，解 方程组，求出x，y即可.
解：设甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为
y千米，则平路为(70－x－y)千米
根据题意，得
x 20

y 40

70
x 30

y

2.5,

x
40

y 20

70
x 30

y

2.3.
解得
x 12,