线性规划的对偶问题 线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
第二章 线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4
st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4 ≤5
4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3 ＝－4
xj ≥0 （j＝1,2,3） x1 － x3＋ x4≥1
x1，x3≥0，x2，x4无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5
x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束 x1≤0， x2≥0，x3 无约束
2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；
（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；
（4）模型中全部x1用31'x代换。
2.3 已知线性规划问题 min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4
st. x1＋2x2 ＋ x4≥3
3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2
x1 ＋ x3 ≥2
xj≥0（j＝1,2,3,4）
(1) 写出其对偶问题；
线性规划对偶问题
线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：
最小化 C^T * X
约束条件 A * X >= b
X >= 0
其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：
最大化 b^T * Y
约束条件 A^T * Y <= C
Y >= 0
其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=
b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
Tags：数学
对偶问题
max{cT
x|Ax≤b}=min{bT
y|AT
y≥c}
引⽤这个博客⾥的例⼦：
某⼯⼚有两种原料A、B，⽽且能⽤其⽣产两种产品：
1、⽣产第⼀种产品需要2个A和4个B，能够获利6；
2、⽣产第⼆种产品需要3个A和2个B，能够获利4；
此时共有100个A和120个B，问该⼯⼚最多获利多少？
⽤数学表达式描述如下：
已知：
2×X1+3×X2≤100
4×X1+2×X2≤120
求：
6×X1+4×X2的最⼤值画出来是这样：
⼿动⼆分得，X1=X2=20时最⼤为200
⼯⼚除了拿原料⽣产成产品卖掉这条出路外，还有⼀种⽅法是直接将原料卖掉。但是要求把原料卖掉赚的钱⽐⽣产成产品赚的钱
多。那么最低可以接受多少的价格呢？假设资源A和B的单价分别为：Y1和Y2，那么可以⽤数学表达式描述如下：
已知：
2×Y1+4×Y2≥6
3×Y1+2×Y2≥4
求：
100×Y1+120×Y2的最⼩值画出来是这样⼦
⼿动⼆分得最⼩值是200
再来看看这个式⼦
max{cT
x|Ax≤b}=min{bT
y|AT
y≥c}
PS：AT
表⽰矩阵的转秩，也就是沿对⾓线翻折。⼩写字母都是列向量。
c：每种成品的收益
x：每种成品⽣产多少个
A：⽣产每种成品所需要的原料数
b：每种原料的总个数
y：直接卖原料、每种原料的价格⼤概能够理解了？关于对偶问题的性质对偶问题的对偶问题是原问题两问题的最优解相等两问题的可⾏解，显然对于上式左边要⼩于等于右式题⽬
Processing math: 100%
线性规划的对偶问题 线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
