- 1 - 证明矩阵相似的五种方法
矩阵是线性代数中重要的概念之一，相似矩阵则是矩阵理论中的一个重要概念。相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一定的变换关系相互转化，具有相同的特征值和特征向量。在实际应用中，相似矩阵具有很多重要的应用，如矩阵对角化、线性变换等。本文将介绍证明矩阵相似的五种方法。
一、定义法
定义法是最基础的证明方法。根据相似矩阵的定义，如果矩阵A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。证明矩阵A和B相似，只需要找到一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1即可。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7
8]。
首先，求出矩阵A的特征值和特征向量，得到λ1=5，λ2=-1，v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]。由于矩阵A有两个不同的特征值，因此A可以对角化为A=PDP^-1，其中D是A的特征值构成的对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵。
令P=[v1 v2]，则P^-1=[1/5 -1/15; -2/5 1/15]。将A和P代入A=PDP^-1中，得到B=P^-1AP=D=[5 0; 0 -1]。因此，A和B相似。
二、特征值法
特征值法是证明矩阵相似的另一种常用方法。根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征值。因此，可以通过 - 2 - 求解两个矩阵的特征值来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4
3]。
求解矩阵A和B的特征值，得到A的特征值为λ1=5，λ2=-1，B的特征值为λ1'=5，λ2'=-1。由于A和B具有相同的特征值，因此它们相似。
三、特征向量法
特征向量法是证明矩阵相似的另一种常用方法。根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征向量。因此，可以通过求解两个矩阵的特征向量来证明它们相似。
1 ４－２ 相似矩阵与矩阵的对角化习题评讲
６、设可逆矩阵Ａ与Ｂ相似，证明：Ａ－１∽Ｂ－１。
证明：因为ｎ阶方阵Ａ与Ｂ相似，即存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ。因为Ａ与Ｂ均可逆，对上式两边求逆，得Ｐ－１Ａ－１Ｐ＝Ｂ－１，其中Ｐ－１是可逆矩阵，故Ａ－１∽Ｂ－１。
Ｐ１８８ 第四章自测题
１、（３）若方阵Ａ与方阵Ｂ＝200011031相似，则Ａ的特征值为 。
解：Ａ∽Ｂ，则Ａ与Ｂ有相同的特征多项式，即
AE＝BE＝200011031＝1131)2(
＝)4)(2(2＝)2()2(2。
Ａ的全部特征值为：２，２，－２。
７、第４题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不可对角化？并对可对角化的矩阵Ａ，求一个可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ成为对角矩阵。
７（１）解：４（１）中３阶方阵Ａ有３个单特征值１，２，３，故Ａ可对角化。分别取特征值１，２，３的特征向量
１＝111，２＝332，３＝431，得到方阵Ａ的３个线性无关特征向量，令
Ｐ＝（１，２，３）＝431331121，则Ａ可逆，且Ｐ－１ＡＰ＝321。
７（２）解１：４（２）中的３阶方阵Ａ，其单特征值１，有１个线性无关的特征向量（１，１，１）Ｔ；Ａ的２重特征值０只有１个线性无关特征向量（１，２，３）Ｔ，故３阶方阵Ａ只有两个线性无关的特征向量，所以Ａ不能对角化。
７（２）解２：４（２）中的３阶方阵Ａ的２重特征值０只有１个线性无关特征向量（１，２，３）Ｔ，所以Ａ不能对角化。
７（３）解：４（３）中的３阶方阵Ａ，其２重特征值１有两个线性无关的特征向量１＝ 2 （２，１，０）Ｔ，２＝（－１，０，１）Ｔ；Ａ的单特征值－１有一个线性无关的特征向量３＝（３，５，６）Ｔ。３阶方阵Ａ有３个线性无关的特征向量，所以Ａ可以对角化。令
1 第五章：相似矩阵及二次型
本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。
4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。
§1 向量的内积、长度及正交性
内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式yyxxyx, ,,2；n 维向量x与y的夹角yxyx ,arccos；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A的n个列（行）向量构成向量空间 Rn 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。
重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。
§2 方阵的特征值与特征向量
内容：矩阵的特征值与特征向量；A
的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式nnnnnnaaaaaaaaaf212222111211； 2 若λ是 A 的特征值，则 也是A的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
§3 相 似 矩 阵
内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与
B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；
设n21，则有
例1. 设矩阵111
4
335Axy−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，已知A有3个线性无关的特征向量，2λ=是A的2重特征
值. 试求可逆矩阵P，使1PAP−为对角阵.
解：由于2λ=是A的特征值，所以
111111
22202
333000EAxyxy−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−=−−−→−+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦
又2λ=是A的2重特征值，故该特征值应有两个线性无关的特征向量，可得
2,2xy==−
且该特征值对应的全部特征向量为()()121,1,01,0,1TTkk−+(12,kk不全为零).
于是111
242
335A−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，其特征方程为
()()2111
242260
335EAλ
λλλλ
λ−−
−=−−=−−=
−
当6λ=时，解齐次线性方程组()60EAx−=，得特征值6λ=对应的全部特征向量为
()()331,2,30Tkk−≠.
取111
102
013P⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1200
020
006PAP−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.
例2. 已知矩阵310
410
481A⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，矩阵A是否可以对角化，为什么？
解：矩阵A的特征多项式为
()()()()()2310
410131411
481EAλ
λλλλλλλ
λ−−
−=+=+−+−=+−⎡⎤⎣⎦−+
故A的特征值为121λλ==，31λ=−.
当121λλ==时，解方程组()10EAxλ−=，由 ()1210210210
420000000
4820102051EAλ−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
可知，方程组()10EAxλ−=
的基础解系只含有一个向量121
5ξ⎡⎤−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦，从而可知方阵A的属于二重
特征值121λλ==的线性无关的特征向量只有一个，故方阵A不可以对角化.
.
