常用的级数展开公式
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常用的级数展开公式
1. 正弦函数的 Maclaurin 级数：
$$。
\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
x^{2n+1}。
$$。
2. 余弦函数的 Maclaurin 级数：
$$。
\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}。
$$。
3. 指数函数的 Maclaurin 级数：
$$。
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}。
$$。
4. 自然对数函数的 Maclaurin 级数：
$$。
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}。
$$。
5. 三角函数的 Taylor 级数： $$。
\sin(x+a) = \sin a \cos x + \cos a \sin x \\。
\cos(x+a) = \cos a \cos x - \sin a \sin x \\。
\tan(x+a) = \frac{\tan x + \tan a}{1-\tan x \tan a}。
$$。
其中 $\sin a = a - \frac{a^3}{3!} + \frac{a^5}{5!} -
\frac{a^7}{7!} + \cdots$，$\cos a = 1 - \frac{a^2}{2!} +
\frac{a^4}{4!} - \frac{a^6}{6!} + \cdots$。
6. $\frac{1}{1-x}$ 的幂级数：
$$。
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n。
$$。
7. $\frac{1}{1+x}$ 的幂级数：
$$。
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n。
$$。
8. $\ln(1+x)$ 的幂级数：
$$。
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}。 $$。
9.$e^x-1$的幂级数：
$$。
e^x-1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}。
$$。
10. $\arctan x$ 的幂级数：
$$。
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}。
