三等分角的问题

任意锐角的三等分【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）.实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只能以近似的方式来解决•比如，以a为直径作一个圆，会容易做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）.求解：三等分a .一、作图（参照图2）（1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取OA=AA2=A2A3.（2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB同圆半径），以O 为圆心，以OA2 为半径，作A2B2 ，此时OA2=OB2 （同圆半径），以O 为圆心，以OA3 为半径，作A3B3 ，此时OA3=OB3 （同圆半径）.（3）作/ a的平分线OP.①以A3 为圆心，以OA3 为半径作弧lA ；②以B3 为圆心，以OA3 为半径作弧lB ，交lA 于P；③连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于C3，此时，/ xOP= / POy= / AOC= / COB= / A2OC2= / C2OB2= / A3OC3= / C3OB3.•••同一圆内等角对等弧，••• AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2 ，连接A3W3 ，V3B3.（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3 （同圆半径），贝y OW3 , OV3 三等分/ a ,即/ A3OW3= / W3OV3= /V3OB3.二、证明1.作辅助图（参照图3）.( 1)连接A3V3 交OW3 于KW.(2)以OKW为直径作O R.①以OKW 为半径，以O为圆心作弧101 ,102，以OKW 为半径，以KW为圆心作弧IK1交101于M，作弧IK2交102 于N.②连接MN交OKW 于R,则MN是OKW 的垂直平分线，R 是垂足.••• 0W3是OKW 所在的直线段，•••0W3丄MN.③以R为圆心，以RO (=RKW )为半径，作O R,交MN 于m, n,交0A3 于O, a,交0W3 于0, KW，交0V3 于0, E,交0B3 于O, b,交A3V3 于KW , KW 是A3V3 与O R 的唯一公共点.2.证明.(1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知：O R交A3V3于KW，即KW 是A3V3与O R的唯一公共点.根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点, 可以得出结论：A3V3是O R的一条切线；另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可以得出结论：A3V3丄RKW. v 0W3是RKW 所在的直？段，••• A3V3丄0W3 , KW 是垂足.（2）在Rt △ OKWA3 与Rt △ OKWV3 中，•/ A3V3 丄OW3 , •••/ OKWA3= / OKWV3=90 ° ,v 同圆半径，OA3=OV3 , OKW 为共有直角边，根据HL定理，Rt△ OKWA3 ◎ Rt△ OKWV3.〔•对应边相等，. A3KW=KWV3.（3）在Rt△ W3KWA3 与Rt△ W3KWV3 中，T A3V3 丄OW3 ,•••/ W3KWA3= / W3KWV3=90。

世界难题三分角答案规尺作图华罗庚难题的十八种答案和分角定理副高级周易研究师高春阳二十世纪五十年代，华罗庚教授提出：用圆规直尺三等分任意角和步行上月球一样是不可能的。

就因为‘三分角难题’是由华罗庚提出来的，中国人称它‘华罗庚难题'或“华罗庚数学发展计划”,应该是无可非议的。

总体分析如果不想让人们研究破解，最好是不提不让人想到。

既然提了出来并引起了研究兴趣。

这是任何强权都没法阻止的痴迷思想动力。

先提出“此地无银”，然后再用“三百两”推翻自己的提出，绝非智者所为。

因此，提出难题的目的只能是希望有人研究它破解它。

否定说不成立。

具体分析1.给定条件是‘一样’：意思是‘三分角’和‘上月球’一样是目的；‘用规尺’和‘用步行’一样是方法。

2.论断：因为目的是唯一的，没有对错分别的；方法是多种多样的，有对错优劣差别的。

所以，‘不可能’一词只能否定方法，绝不是否定目的。

3.论证：指导生存革命的中国古代《易经》占卜术提出：“顺（顺应切合）天（自然）命（规律）则昌；逆（违背不切合）天命则亡”。

用现代马克思主义思想解释它，就是主观自我的行为方法步骤，切合了客观实际自然规律，就必然取得成功，趋向昌盛；如果方法步骤违背了实际自然规律，就必然趋向失败，甚至自取灭亡。

这说明古今中外所有的革命科学一律都用是否切合实际来检验自己方法的对和错。

随意放弃（否定）目的停止探索的不是科学思想。

《易经》还提出：“穷（不通）则变，变则通，通则久。

”意思是如果自己行不通，想不通，就应当改变自己的想法做法（行为计划）重新实验。

经过反复多次地自改自验，自验证自改，总会有自己行得通想得通的时刻，这时自己思想中对物变因果规律过程的知觉认识，就是今后可以长期用来指导自身行为实践的真知(觉)真理（解）。

这不仅是古占卜学的中心思想，也是毛泽东《实践论》一书的中心思想。

更是所有科学家一贯继承和坚持的科研思想方法.华罗庚确实说过“不要再钻牛犄角尖了......”“牛犄角尖”一词，正是指用量角器或钟表盘之类行不通又不肯动脑改想新法的死板错误做法。

古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。

古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。

角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。

其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。

下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。

让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。

由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。

2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。

以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。

连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。

在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。

尺规三等分角是什么意思
1、把一个角用2条线将它3等分，那么那两条线就是三等分线。

三等分角线是可以用来三等分任意角的曲线。

若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。

2、三等分角线（Trisectrix）是可以用来三等分任意角的曲线。

若只用标准的尺规作图，不配合曲线或是有刻度的直尺，“三等分一个已知角”在历史上已证明是尺规作图所不能解决的问题，但仅用尺规作出某一个三角形，并作出各角的三等分角线是可以做到的。

有许多的曲线可以作为三等分角的辅助，而进行三等分角的方式也各有不同。

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）.先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。

2）.定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。

3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C
过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，
令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。

林浩南。

三等分角问题
三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺把一任意角三等分。

问题的难处在于作图使用工具的限制。

古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆
规。

这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。

１８３７年凡齐尔（１８１４－１８４８）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。

在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。

人们还发现，只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。

古希腊数学家阿基米德（前２８７－前２１２）发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。

现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点Ｐ，命尺端为Ｏ。

设所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移动，Ｐ点在圆周上移动，当尺通过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）。

由于ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。

这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。

帕普斯双曲线是由法国数学家亨利·帕普斯在1731年发现的一种双曲线。

它具有许多有趣的性质和应用，其中之一就是可以利用帕普斯双曲线来实现三等分角的问题。

本文将结合帕普斯双曲线的性质和三等分角的概念，给出帕普斯双曲线三等分角的证明过程。

1. 帕普斯双曲线的定义帕普斯双曲线是指平面上满足以下性质的点的集合：对于给定的两个不相交的固定点F1和F2（称为焦点），到这个平面上任意一点M的距离之差的绝对值等于常数2a（称为焦距）与MF1和MF2的距离之和之差的绝对值。

2. 帕普斯双曲线的性质帕普斯双曲线具有以下性质：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差是常数2a。

（2）焦点到双曲线上任意一点的距离之和大于常数2a。

（3）双曲线的中心是焦点连线的中点。

3. 三等分角的概念在平面几何中，如果一个角被分成三个完全相等的角，那么我们称这个角被三等分。

三等分角是一个常见的几何问题，其解法有多种。

4. 帕普斯双曲线的应用帕普斯双曲线可以用来解决三等分角的问题。

通过构造一个特殊的帕普斯双曲线，可以很容易地实现三等分角。

5. 帕普斯双曲线三等分角的证明现在我们来给出帕普斯双曲线三等分角的证明过程：（1）构造一个帕普斯双曲线。

选取两个不相交的焦点F1和F2，并取定焦距为2a。

根据帕普斯双曲线的性质，我们可以确定双曲线的形状和位置。

（2）选择双曲线上的一个点A，并连接该点与两个焦点F1和F2，分别得到线段AF1和AF2。

（3）接下来，我们将点A关于焦点F1和F2做镜像，分别得到点B 和点C。

此时，由于帕普斯双曲线的性质，有AF1+AF2=BF1+CF2=2a。

（4）根据三角形的性质，可以得出角F1AF2等于角F1BF2，等于角F1CF2。

（5）我们成功地将角F1AF2三等分为三个完全相等的角，即角F1AF2等于角F1BF2，等于角F1CF2。

通过以上证明过程，我们成功地利用帕普斯双曲线实现了三等分角的问题。

这个方法不仅简洁高效，而且具有普遍性和实用性，可以在实际问题中得到广泛的应用。

有关三等分角的综述作者：孙兴波来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期三等分角是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何作图问题.所谓三等分角问题,就是说任意给定一个角,作图工具仅限于直尺和圆规,问能不能将这个角三等分.一、简单说明三等分角是不可能的下面我们给出三等分角问题的代数方程:设已知角的三分之一为α,则已知角的为3α,我们取它的余弦(或正弦).根据平面三角学的三倍角公式有cos3α=4cos3α-3cosα.令2cos3α=m,2cosα=x,我们得到:x2-3x-m=0.容易看到,这就是三等分角问题的代数方程,这个方程的根x,一旦能用尺规作图作出来,则∠α的大小就可以用尺规作出来.然而,这个代数方程对于任意给定的已知角,它的根x并不能表示成“可作图几何量”,因此三等分角问题用尺规作图法是不能解决的.二、解决方法正是因为这个用平面解析几何无法解决,但又看似“简单”的问题,就使得许多数学家和业余数学爱好者不断地研究它,希望能够解决它.而对这个问题的研究只能沿如下两个方面进行:求近似的作图方法和借助其他的作图工具.(一)求近似的作图方法(这就要求有较高的精确度)1952年,德国画家杜勒(Albrecht.Durer)提出“三等分角”的一个近似解法:给定∠AOB,以O为圆心,OA为半径作弧得扇形OAB;在AB上取点C,使AC∶BC=2∶1;取点E,使BE=BD;点F为EC的三等分点,EF∶FC=1∶2;在圆弧上取点G,使BG=BF,则∠BOG≈13∠AOB.以∠BOG作为∠AOB的三等分角近似程度有多大呢?不妨设OA=1,∠AOB=3α,则AB=2sin32α,AC=23AB,BC=13AB.故AC•BC=29AB2=89sin232α.延长DC交圆O于D′,则CD′=CD+2cos32α.由圆幂定理得CD•CD′=AC•BC,即CD(CD+2cos32α)=89sin232α.CD=cos232α+89sin232α-cos32α.=43sin232α+2cos232α-2cos32αcos232α+89sin232α.BG=BF=BC+23CE=BC+23(BE-BC)=13BC+23BE.设∠BOG=β,则sinβ2=BG/2=BC/6+BE/3-23sin232a-2cos3a21-三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大.但是,对于60度角大约只差1″,对于90度角大约只差18″.(二)突破作图工具的限制,借助其他的作图工具1.用新的思想方法(1)尼科梅德斯的蚌线构造一条蚌线要从一条直线L和一点P开始.过P画射线与L相交.在每条这样的射线上,以L为界向外截出一段固定的长度a并取点.那么这些点的轨迹便形成蚌线.蚌线的极坐标方程是:r=a+bsecθ.三等分已知角P可采用如下办法:取∠P为直角三角形△QPR的一个锐角.以P为极点,QR 为固定线L画一条蚌线,使得它由L向外截出的固定长度等于斜边长PQ的两倍2h.过R点作RS⊥QR并交蚌线于S点.现∠QPT即为∠QPR的三分之一(T为PS与QR的交点).证明:令M为TS的中点,则RM=h,这是因为△SRT为直角三角形,其斜边中点到各顶点等距离.现因MS=MR=h,所以∠1=∠2=k°.而∠3是△SMR的一个外角,从而∠3=2k°.又因MR=PR=h,又有∠3=∠4=2k°.∵PQ与RS共面,且同垂直于QR,∴PQ∥RS.∴∠2=∠5=k°.这样一来,∠QPR=3k°,而13∠QPR=k°=∠5.由此,∠QPR被三等分.(2)希皮亚斯(Hippias,约公元前5世纪)的割圆曲线设ABCD是正方形,弧BED是以A为圆心的四分之一圆弧,如果圆的半径从AB位置,同时以匀速绕A转动到AD,同时直线BC也以匀速向AD位置作平行移动,转动的半径和作平行移动的直线最终都同时和AD相重合.它们的交点的轨迹(如图中的曲线BFNG)就称为割圆曲线.它显然有以下性质:∠BAD∠EAD=它的极坐标方程为:r=2θa/(πsinθ)(a为正方形的边长).设已知角为∠DAX,以顶角A为圆心,在正方形ABCD内作圆弧BD,并在圆弧内作割圆曲线BFG,设AX交割圆曲线于F.将FH三等分,使PH=13FH,作PN∥AD,交割圆曲线于N,过A点作直线AN,交圆弧BD于M.又作NK垂直AD于K.因为所以即∠DAM=13∠DAX.除这两种以外还其他的很多方法.但值得注意的是希腊数学家都是从运动的观点来认识这两条曲线的.2.改变机械工具阿基米德的滑动传杆装置:假设我们要三等分的角为∠AOB,如图,延长∠AOB的边AO,令AO表示以∠AOB的顶点O 为圆心的圆的半径.∵∠AOB是△OBD的外角,∴z=y+x.同理,∠BCO是△COD的外角,∴x=y+y,即z=3y.由此,y是∠AOB大小的13,从而∠AOB已被三等分.值得注意的是,无论是新的想法,还是新的工具,他们都有一个非常重要的共同点:都是从运动的观点来考虑问题、分析问题、解决问题.这一点思想正是笛卡尔《解析几何学》的主要思想(方程与几何图形相结合起来,从运动的观点看).参考文献[1](美)T.帕帕斯著,张远南,张昶译.数学趣闻集锦[M].上海:上海教育出版社,1998.[2]张卿.妙趣横生的数学难题[M].天津:天津人民出版社,1980.11.[3]王志雄.数学美食城[M].北京:民主与建设出版社,2000.1.[4]袁小明,胡炳生,周焕山.数学思想发展简史[M].上海:上海出版社,1991.[5](美)H.伊夫斯著,欧阳绛译.数学史概论[M].太原:山西人民出版社,1986.3.(责任编辑金铃)。

剖析角三等分及解和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（这里用的尺是不带刻度的直尺，规是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。

其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论，我在角三等分题解中无论从理论上还是从实际尺规作图上都证明了角三等分确实有解。

下面我用第二种方法即剖析角三等分及解来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行剖析角三等分及解四种混合尺规作图达1670多次，装订成册16本，验证了这个理论是完全正确的，让角三等分无解的结论彻底破灭，並用剖析角三等分及解理论来验证角三等分理论的正确性。

剖析角三等分及解也为角的其他等分的解决打下基础，也是角尺规等分法中的一部分。

剖析角三等分及解共有四种题解，下面介绍的是其中一种。

由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。

2011 4-22 和平二剖析角三等分及解（一）在角三等分题解中已证明了用尺规作图可将一任意角三等分，现在换一种思维方式将一任意角的一半已经分成三等分中的某个角进行解剖和分析，那么这个角的三个点用尺规作图能否证明可以找到吗﹖如果能证明可以找到的话，就用已被证明找到的三个点所构成的角将其任意角的一半三等分。

来验证角三等分理论的正确性。

以O点为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3析-1-1。

在A圆上作一任意圆心角为∠γ，把∠γ扩大六倍的圆心角为∠α，即：∠AOQ=∠QOI=∠IOH=∠HOW=∠WOG3=∠G3OB=1/6∠AOB=1/6∠α=∠γ.在A 圆上作∠AOD=∠AOB=∠BOC=1/3∠DOC=∠α=6∠γ,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°，这里应指出的是3∠α一定要小于平角，如果3∠α大于或等于平角时，必须将∠γ缩小偶数倍的角再扩大18倍的角小于平角为止。

连接CD交OB线上K点，交OA线上G点，连接BD交OH线上H1点。

三等分任意角度的最佳方法----兼论三大几何难题之解三等分任意角度是世界著名的三大几何难题之一(还有化圆为方和二倍立方体)，早在１７７５年德国科学院就向世界宣布：三大几何难题无解。

下面首先推出三等分任意角度的最佳方法。

用无刻度直尺和圆规（这是最古老的尺规作图法）二等分任意角度，作平行线，多等分直线段等都是可行的；也可以对已知的９０°及其整倍数的角度,乃至小于９０°的特殊角度进行三等分。

但对未知的一般任意角度如何进行三等分呢？先看一下，已知任意直线段ＯB（如图1），是如何被三等分的：过Ｏ点作直线，取ＯC＝CＥ＝EＡ，得直线段ＯA。

连接ＡＢ，过C 和E点分别作ＡＢ的平行线CＤ和EＦ，则：ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。

简要证明：过Ｄ和Ｆ点分别作ＯＡ的平行线ＤＨ和ＦＫ，∵△ＯＣＤ，△ＤＨＦ和△ＦＫＢ皆为全等三角形，∴ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。

仿照上述三等分任意直线段的方法，对任意角度进行三等分：绘制任意角度∠ＡＯＢ（如图２），以Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径画弧交ＯＢ于Ｂ点，并连接弦ＡＢ。

延长ＯＡ至Ｑ，使ＱＡ＝ＯＡ，以Ｑ为圆心，以ＱＡ为半径画弧，在弧上取弦ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＧ，分别连接QＣ、QＤ和QＧ三个半径，并连接弦ＡＧ分别交中间两个半径于Ｅ和Ｆ点。

连接ＢＧ，过Ｅ和Ｆ点分别作ＢＧ的平行线交ＡＢ于Ｈ和Ｍ点，连接OＨ和OＭ点作半径ＯＫ和ＯＮ，则∠ＡＯＢ被近似三等分：即∠ＡＯＫ＝∠ＮＯＢ≌∠ＫＯＮ。

对该绘图方法的精度分析：（１）当所取AG=AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ＝∠ＫＯＮ，因为对过Ａ点相对于ＯＱ的垂线（未画出）而言，其两侧图的所有点都是对称的。

虽然所取AG等于ＡＢ的几率很小，但在理论上它是存在的。

（２）当所取AG≠AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ≈∠ＫＯＮ。

按照三等分直线段的方法，其对应线段的比例关系是不变的：即ＡＥ︰ＦＧ＝ＡＨ︰ＭＢ；ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ。

∵△ＡＱＥ和△ＧＱＦ为全等三角形，∴ＡＥ＝ＦＧ，则ＡＨ＝ＭＢ故∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ；虽然ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ，在表示线段成比例时是对的，但在AG≠AB的条件下，将其分别转换成相对应的角度以后不可能相等，必然会产生误差，只能得到：∠ＡＯＫ≈∠ＫＯＮ。

三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。

纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。

然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。

找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。

用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。

但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。

很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。

直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。

但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。

一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。

数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。

二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。

三等分角第一种方法一，做任意角O二，以OA长为半径，做弧AB，交角O的两边于A,B两点三，连接AB，并做角AOB的角分线OP,连接OP,取OP与AB的交点为L,取弧AB与OP的交点为E四，以LA为半径，以点L为原点，做圆取与射线OP的两个交点为Z,X五，将半圆弧AXB三等分，取两个三等分点分别为M,N六，以点Z为原点，以ZA为长做弧AFB,取弧AFB与OP的交点为F注：弧AEB为原弧，弧AFB为变弧以向量OP方向为正方向（1）当角O小于90°时EF为正（2）当角O等于90°时EF为零（3）当角O大于90°时EF为负七，以EF长为长，以点Z点为一个端点，在向量ZP方向上取另一点Q八，连接QM,QN取QM,QN与弧AEB的交点分别为H,I九，连接OH,OI,则射线OH,OI即为角AOB的两个三等分线。

十，大于180°小于360°角的三等分角解法1，利用解决小于180°角的三等分角的方法将小于180°的那部分角进行三等分2，然后以OA长为长，以点H为圆心点做弧与圆O交于C点,再以C点为圆心点做弧与圆O交于点S3，同理，以OB长为长，以点I为圆心点做弧与圆O交于D点,再以D点为圆心点做弧与圆O交于点T4，连接OS,OT第二种方法：一，180°的三等分角的解法A：做法1，作一个平角O2，以点O为圆点，以OA长为半径作弧，设其与平角O的两个交点为A,B两点3，以OA长为长，分别以点A,B两点为圆点作弧，设其与这个半圆的两个交点为C,D 4，分别连接OC,OD，则射线OC,OD即为平角的两条三等分线。

B，论证1，连接AC,CD,BD2，由作法部分知AC=AO=CO，所以知三角形AOC是等边三角形，知角AOC=60°3，同理，知三角形BOD为等边三角形，所以知角BOD=60°4，∠AOC=∠BOD=60°，所以知∠COD=60°5，综上，OC,OD为平角AOB的两条三等分线二，90°角的三等分角作法A，作法：1，作一个直角O2，以OA长为半径，以点O为圆点作弧，取其与∠O的两边的交点分别为A,B两点3，作∠ AOB的角分线OP, 连接AB，取AB与OP的交点为L4，以LA长为半径，以点L为圆点作圆，取这个圆与OP的另一个交点为Q5，以LA长为长，分别以点A,B为圆点作弧，取其与半圆AQB的两个交点分别为C,D 6，连接OC,OD则OC,OD为∠AOB的两条三等分线B，论证1，连接AC,CD,BD,LC,LD2，由上文论证180°角三等分角的部分知∠ALC=∠CLD=∠BLD=60°，所以知弧AC=弧CD=弧BD3，由圆周角定理知∠ AOC=∠COD=∠BOD,所以知OC,OD为∠AOB的两条三等分线三，90°-----180°角的三等分角的作法A，作法1，作∠AOB2，以点O为圆点，以OA长为半径作弧，交∠O两边于A,B两点3，作∠AOB的角分线OP，并将OP反向延长，连接AB，取AB与OP的交点为L4，以点L为圆点，以LA长为半径作圆，分别以点A,B为圆点以LA长为半径作弧取其与弧APB的两个交点为C,D.5，连接OC,OD则OC,OD即为∠AOB的两条三等分线。