哈师大附中2015高三数学(理科)模拟试题

东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5 分,目要求白勺•）x 2 x 1 x x21、已知集合, 1A •x0 x1x0 x 1B •迈i2、复数1 J2i ( ) 2V2 iA •B • 1 i3、占八、1,12到抛物线y ax准线的距离为共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题2x 0，则Ixc.2，则a的值为（112a n1C • 4或124或12S9，则当S n最大时，nA• 6B. 7 C • 10 D • 95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1, 则输入的t值不能是下面的（）A• 2012 B• 2013 C2014D20156、下列命题中正确命题的个数是（)2①对于命题p: x R ,使得x x 1 0 ,贝y p: x R，均有4、设S n是公差不为零的等差数列的前n项和，且a10若S5()x2x 1 0②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件③命题“若X y，则sin X sin y”的逆否命题为真命题④“ m 1 ”是“直线11: mx2m 1 y 1 0与直线〔2 ： 3x my 3 0垂直”的充要条件B• 2个C• 3个D. 4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几结束fc=*+l1何体的体积为（）1D .31 4，则这个球的表面积为 __________ .15、 某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修， 共有 _____________ 种 不同选课方案（用数字作答）. 16、 已知函数y sin X2cosX （ 0）的图象关于直线X=1对称，则C . 10D . 12 8、设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 则双曲线离心率的取值范围是（ 1^.2 A . ，焦点F 到一条渐近线的距离为 d ，若 C . 1'3D .远 9、不等式组 点，则 y 4表示的点集记为 的概率为（ ，不等式组y 表示的点集记为 ，在 中任取9 A . 32 7 B . 327_ 1610、设二项式 （ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a 〔 a ?b | b 2a nb n2n 1 111、已知数列 a n 满足m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）已知函数 围为（ ） 12、 1.厂 2 In，若函数FxkX有且只有两个零点，则k 的取值范A . 0,1 0gC .21二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13、向量a ,b 满足2a b，则向量a 与b 的夹角为14、三棱柱C 1心各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120o , C C 2逅,1B .3C .频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 市民的平均年龄; 20人参加宣传活动，从这 20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于 30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.sin 2三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、 17、 （本小题满分12分）已知C 的面积为2，且满足0证明过程或演算步骤.uuu uuur uuur C 4，设 和）uuuC 的夹角为 求的取值范围;求函数2sin 24,3 cos 2的取值范围.18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的 随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图 2. 500名市民中,軸*0 05(1 (25.M)) I 20 0 200|30 加 1 __0. 3501 (35.40)30M W140.45) 10 0t 100 (t it 1001 000500名在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取煙犁井再亞方091go«<nmM(MM19、（本小题满分12分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA 丄底面ABCD , E 、F 分 别为AB 、PC 的中点.求证：EF //平面PAD ;圆上，且 F 2与X 轴垂直.求椭圆的方程;作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值.若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为的位置；若不存在，请说明理由.2 2x _ y_ i2 .2 120、（本小题满分12分）已知椭圆a b（ ab 0）的左、右焦点为F2占5在椭-1 ?若存在，确定点2若fX 有两个极值点x 1，x2 （ x 1x2），求证：1 a 2;1f x 2f x求证：2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.21 y —t 面直角坐标系，直线I 的参数方程是2 （t 为参数）.求曲线C 的直角坐标方程与直线I 的普通方程; 设点 m,°，若直线I 与曲线C 交于24、（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲 设函数 f x l 2x 1 l x 2 .21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数x xlnx ax 2 若曲线y1处的切线过点0, 2 ，求实数a 的值;22、（本小题满分10分）选修4-1: 几何证明选讲 如图，在 c 中，C 90 o,以为直径的圆交圆于点.求证：D 是圆 的切线；求证：DC D C D.23、（本小题满分10分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 ^交 '-于，点D 是C 边的中点，连接D2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为X 轴的正半轴，建立平两点，且1，求实数m 的值.已知曲线C 的极坐标方程是东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案 选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B12.C4填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16.5三•解答题：17•解：（I ）设△ ABC 中角A B , C 的对边分别为a b, c ,可得tan 1，所以：4 2 .6分2 nf ( ) 2sin•、一 3cos 21 cos n 2.3cos2n)42r~sin 2 -.3cos2 1 2si n2n 1(1 sin 2 ). 3 cos 23.8分[—,—) 2 — [-,2 )- •. 2 < 2si n 2n 1< 34 2 3 6 33.18.解：（1）由表知：①，②分别填35, 0.300 .补全频率分布直方图如下：2分扛频率 组距解不等式f x 0 若X 0R，使得X2m4m，求实数m 的取值范围.年龄（岁）50rd *2025303540450908070605040302000 0000 00.01则由已知: bcsin2 20 bccos 4即当5 n n 12 时f( ) max3•当4 时f ( )min212分所以：函数f（）的取值范围是[2,3]5一(45 0.05 55 0.2 65 0.35 75 0.3 85 0.1) 33.5平均年龄估值为：2 \1(2)由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X 的可能取值为0,1,2 P(X 0) C 2 15C 22021 38P(X 1) C ；C 115 X 的分布列为21 38 115 382 2015 3822 38P(X 2) C ； c 20238 期望E(X) 021 1 38 15 38 2 2 38 (人) 19.证明：(i )取PD 中点M , 连接MF , MA,在厶CPD 中，F 为 PC 的中点, MF//1 DC 2 ，正方形ABCD 中E 为AB 中点,AE//1 DC2AE//MF 故：EFMA 为平行四边形 EF //AM又EF平面 PAD AM 平面 PADEF // 平面 PAD(n )如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ：1 1 1P(0,0, 2), B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0), F( , ,1)2 2 2由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)假设存在Q 满足条件:uu u EQuuu uuu EF ,EF1 1(2,0,1),Q(2,2,)2ycos m, nuuuuuu rAP (0,0, 2), AQ),设平面I T m (1,,0)m nPAQ的法向量为(x, y,z)由已知:yc分2分4z I10分2x故椭圆方程为 8由已知:k即：2k 2 1\42 2k, 2O到直线AB 的距离：1k 22k 2 12k 2 11,2 U 2,42 ——2——2,0 U 0,22k 1此时 S AOB (0,2 2]解得:2 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015届高三数学第四次模拟考试试题理（扫描版）2015哈师大附中四模（数学理）答案一．选择题：CBABB CBBAD BD二．填空题：13. 4 14.36 15. 144 16. b a c >> 三．解答题：17.解：（1）由已知：222cosB (sinA cosA)(sinA cosA)cosC 2a b c ab+-=-⋅=- cos(A )cosAcosC sinAsinC sinAcosC cosAcosC C ⇔-+=-+=- sinAsinC sinAcosC ⇔=0sin ≠A Θ sinC cosC ∴= 4C π∴=……6分 （2）由（1）知：3B A 4π=-cos(B )cosA 2sin(A )46ππ++=-=- ……9分 ∴当A 62ππ-= 即：2A 3π=时：cos(B )4π+-取最大值2 ……11分此时：B 12π= ……12分18.解：（1）设：事件1A 表示购物者获得一等奖，事件2A 表示购物者获得二等奖 ……1分()22221251P A 5c c c +== ()11222252P A 5c c c +== ……3分 ∴购物者获得一等奖或二等奖的概率为：()()123P A P A 5+= ……4分 （2）两名购物者至少有一人获得一等奖的概率为：2491525⎛⎫-= ⎪⎝⎭……8分 （3）由已知1X B(1000,)5: ……10分故:()1E 10002005x =⨯=()11D 1000116055x ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ……12分19.（1）证明：连BD ,取BC 中点E ,连DE ，PE在BDC ∆中：BCD BAD 60∠=∠=oBC DC =BDC ∴∆为正三角BC ∴⊥DE又PB PC =Q BC ∴⊥PEDE PE E =Q I BC ∴⊥平面PDEPD ∴⊥BC ……4分（2）由已知：PD ⊥AC由（1）知：PD ⊥BC又Q AC BC C =I , AC 、BC ⊂平面ABCDPD ∴⊥平面ABCD ……6分设AC BD O =I ,以O 为原点，如图建立空间直角坐标系。

哈师大附中2008年高三第三次模拟数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共22小题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2． 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4． 作图可先使用铅笔画出，确定必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5． 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．复数211i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2．函数()sin f x x =的一个单调递减区间为A ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．集合{}{}2,|3|6021A B x x x x x ==>+-≤+，则A B I =A ．[][]3,21,2--UB ．()()3,21,--+∞UC ．[)(]3,21,2--UD ．(](],31,2-∞-U4．直线:20l x y m -+=按向量()2,3a =-r 平移后得到的直线1l 与圆()()22512y x +=+-相切，则m 的值为 A ．9或1- B ．5或5- C ．7-或7 D ．3或135．已知向量()(),,cos ,sin a b m n θθ==r r ，其中m 、n 、R θ∈。

若4a b =r r，则当2a b λ⋅<r r 恒成立时，实数λ的取值范围是A ．λλ><B ．22λλ><-或C ．λ<D ．22λ-<<6．已知相交直线l m ﹑都在平面α内，并且都不在平面β内，若:p l m ﹑中至少有一条与平面β相交；q ：平面α与β相交，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则E η和D η分别为A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和6.68．定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[)0,1x ∈时，()21x f x =-，则123log 8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．12-B ．52- C ．5- D ．6-9．设()12n x +展开式的各项系数和为n a ，各二项式系数的和为n b ，则11lim n nn n nb a a b +→∞+-=+A ．13-B ．13C ．1-D ．010．已知函数()sin ,f x x x R x =∈，则(),,134f f f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为A ．()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知F 1、F 2为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，点P 到右准线的距离为d ，若12,PF PF ，d 依次成等差数列，此双曲线离心率的取值范围是A．( B．)2⎡+∞⎣ C．2⎡⎣ D．(1,2 12．已知{},1,2,3,2008S A S =⊆L 且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有A ．32008C 个B ．32004A 个C ．210042A 个D ．210042C 个第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

哈尔滨三中2015年第三次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集U R =, 集合{}220A x x x =->，{}lg(1)B x y x ==-，则()U C A B ⋂=A. {}20x x x ><或B. {}12x x <<C. {}12x x <≤D. {}12x x ≤≤ 2. 命题“∃03,00≤∈xR x ”的否定是A ．∀03,≤∈xR x B ．∃03,00≥∈x R xC ．∃03,00>∈x R x D ．∀03,>∈x R x3. 已知复数531iz=i+-,则下列说法正确的是 A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为14i -C ．5z =D ．z 在复平面内对应的点位于第二象限4. 已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则该双曲线的离心率为 A.45或35B. 45C. 53或52D. 355. 一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是半径为1的圆,则这个几 何体的表面积为A.3πB.4πC.5πD.6π6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A.2 B ．C ．8D ．16正视图 侧视图7. 椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上,若14PF =,则12F PF ∠的大小为 A. 90︒ B. 120︒ C. 135︒D. 150︒8. 一只碗内有5个汤圆，其中两个花生馅三个黑芝麻馅，某人从碗内随机取出两个，事件A =“取到的两个汤圆同一种馅”，事件B =“取到的两个汤圆都是黑芝麻馅”，则()P B A = A ．110 B ．310 C ．14D ．34 9. 将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图像,则()y g x =的图像的一条对称轴是 A. 12x π= B. 6x π= C. 3x π= D. 23x π=10.直三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都相等，M 为11AC 中点，N 为1BB 中点，则AM 与1NC 所成的角的余弦值为A ．23 B．35 D ．45 11.已知函数1312(1)()32(1)x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩,且方程()f x a =有三个不同实根,则实数a 的取值范围为A. [)0,4B.()0,4 C. [)0,1 D. ()0,112.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c , a c =,且满足cos (cos )cos 0C A A B +=, 若点O 是ABC ∆外一点, 24OA OB ==,平 面四边形OACB 面积的最大值是A. 8+B. 4+12D. 4+哈尔滨三中2015年第三次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 设随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ,若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为 __________14. 若直线:1l y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短,则直线l 的方程是 __________15. 已知向量a , b 的夹角为60︒,且2,1a b ==,则a 与2a b +的夹角等于______16. 设n 是正整数, 111()123f n n =++++,计算得3(2)2f =, (4)2f >, 5(8)2f >, (16)3f >,观察上述结果,按照上面规律,可以推测(1024)________f >三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=,等比数列{}n b 满足11b a =,441b a =+. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．为了增强环保意识，哈三中从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.附:2K ＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++已知几何体ABCD E -如图所示，其中四边形ABCD 为矩形， 2=AB ，3=AD ，ABE ∆为等边三角形，平面⊥ABCD 平面ABE ,点F 为棱BE 上的动点. （Ⅰ）当点F 为中点时,求证: BE ⊥面ADF ;（Ⅱ）是否存在点F ,使得二面角F DC E --的余弦值为10103,若存在，确定点F 的 位置, 若不存在,请说明理由.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:4C x y =的焦点，直线l ：y kx m =+与抛物线交于不同的两点,A B ，且OA OB λ⋅=. （Ⅰ）当直线l 过抛物线C 的焦点F 时，求λ的值；（Ⅱ）设⊙O 是以O 为圆心且过焦点F 的圆，当直线l 与⊙O 相切时,若()3,0λ∈-，求∆AOB 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数1()ln af x x b x c x-=+++在点(1,(1))f 处的切线为垂直于y 轴的直 线，方程为22y a =+. (Ⅰ) 用a 表示,b c ；(Ⅱ) 讨论函数()f x 在定义域上的单调性；(Ⅲ)设函数322(23656),1()51(),14x x ax ax a a e x g x e f x x ⎧+++-⋅≤⎪=⎨⎛⎫⋅+> ⎪⎪⎝⎭⎩（其中e 是自然对数的底 数）.则是否存在正数a ,使()g x 在[],a a -上为增函数？若存在,求a 的取值范围；若 不存在,请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 做线段BD交⊙O 于点C ，且CD C B =，过D 作⊙O 的切线DE ，切点为E .（Ⅰ）求证：ABD ADB ∠=∠；（Ⅱ）若5AD =，ED =求AC 长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出曲线是什么曲线； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设(2,0)P ,求PA PB +的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3231f x x x =++-的最小值为m ，实数,,,a b p q满足2222a b p q m +=+=.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：44223p q a b+≥.。

三校联考三模理科数学答案2015.5一．选择题：BADAC ABAAC BA二．填空题：13. 35.0 14.2 15. 882.0 16. )8,8(-三．解答题： 17.解:(1) 由已知：)6sin(2)(πϕω++=x x f 2 分依题意:πωωπ=∴=22 1)6s i n (±=+πϕ 且20πϕ<< 3πϕ=∴故:)cos(2)(x x f π= 4 分 由)(22z k k x k ∈≤≤-ππππ得)(x f 的增区间z k k k ∈-]2,12[ 6 分 (2)由1)(=πAf 得321cos π=∴=A A 8 分 由余弦定理得:3cos8264492π⋅⨯-+=c c 解得:5=c 或3=c 10 分因为ABC ∆为锐角三角形,所以: 5=c 12 分18解：(1)这种抽样方法是系统抽样. 3 分（2）茎叶图如下：6 分 （3）由茎叶图可得：1007103102101299298=+++⨯+⨯=甲x1007103102101100999897=++++++=乙x728794101497247941114422=++++++==++++++=乙甲s s 10 分由上面样本的数字特征可知：在平均值相等的情况下，甲的包装比乙的包装质量更稳定. 12 分 19. (1)证明：在ABC ∆中:BC AC = 且D 为AB 中点,故CD AB ⊥ ⊥C A 1 平面ABC AB C A ⊥∴1 又C DC C A = 1 ⊥∴AB 平面CD A 1⊂AB 平面AB A 1 ∴平面⊥CD A 1平面AB A 1 6 分 (2)解：以D 为原点，如图建立空间直角坐标系则：()0A ，)B 0，0 ()010C ，， ()1012A ，，()12B ，)122C ，设(),,n x y z =为平面1A BC 的法向量())1,,,1,32n A B x y x y z ⋅=----= ()()1,,0,0,220n A C x y z z ⋅=⋅-=-= 取3,0x y z ===，故()3,3,0n =设(),,m x y z =为平面1C BC 法向量()()10,2,2,,220m C B x y z y z ⋅=--⋅=--=()()11,2,,20m C C x y z y z ⋅=--⋅=--=取1y z x ===.故(1,3,m =cos ,7m n ∴<>==故二面角11A BC C --的余弦值为712 分 20.解：（1）由已知：椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ),0,(c F 直线c x y AB -=:2 分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12222b y ax cx y 得：0)(2)(2222222=-+-+b c a cx a x b aADB1XZ设),(),(2211y x B y x A ，则：222222122221)(,2b a b c a x x b a ca x x +-=+=+222212122ba cb c x x y y +-=-+=+ 4 分 依题意：))(1()(22121x x y y +-=+ 222b a =∴ 解得：22=e 6 分 （2）由（1）知：22222c b a == 故椭圆方程为：22222c y x =+设),(00y x M 则：]5[]4[]3[22]2[22]1[22210210222222212122020y y y x x x c y x c y x c y x λλ+=+==+=+=+ 8 分 由]5][4][3][2][1[得：221212222)2(222c y y x x c c =++⋅+λλ 10 分又： 3))((,02212121c c x c x y y x x -=--== 0≠λ解得：32=λ 12 分 21.解：（1）1a ≤ 4 分（2）由已知：)2(2242222)(2/<-+-=-+=x x ax ax x ax x f 当10≤<a 时：0)1(1616162≤-=-=∆a a a a0)(/≤∴x f 对)2,(-∞∈x 成立，即：)(x f 在)2,(-∞上递减. 6 分又0)1(>f ，044ln 2)2()2(2222=-<+-=----a a e e a e f aa a所以：此时0)(=x f 有且只有一根. 8 分当1>a 时：由22(1)2(1)'()02a x a f x x ---==-得：21(1)a x a --=解得：<01212,12x x =<=< 列表如下：当：1x =时:2()(12ln(10f x a =++> (1)a > 所以：(,1x ∈-∞时，()0f x >即：()0f x =在(,1-∞+内无解； 令202a x e --=，则2022a x e -=-<所以：2200()2ln 440a f x ax e a a -=+<-=,故0(1x ∈ 又因为：()f x 在[1上是减函数，所以:()0f x =在[1+内必有一根。

哈師人附中2015年烏三第三次模拟考试理科数学本试卷分第I卷（选择删）和第II檳（非徙择题）胸部分，共I知分，粤试时间120分神。

尊试结枣厉■将本试推和荐题卡一并交回。

注意事项：L答童前.考生务必先将自己前姓名.准考证号码填写清楚•将条賂码准确粘贴在条緒区1（內・2. 透择迎必须便用2B铅笔填涂：非选择軀必線便期0」堡朋熙色字逝的签字笔替丐丫字体工饶、笔迹清蹩“3. 诸按擦题号颇洋程各魁日的屏題区域内作答，駁出答題IX域书写的答案无效:在疏轴纸、试题卷上答题无效.4-作團可先鰹用铅笔脚出，嵋定后必缄用黑邑字迹的签字笔描黑n5.保持卡而清旃，不耍折叠•不要界《L靑做.不准便用涂改液.烽正带*刮紙刀。

第I卷（选择题共60分）一■选择题（本大滙共12小麵』毎小題，分，在每小題给出的四牛选项中,只有一项是符舍通目要求的｝L设集合仁｛JC|暫》寺卜占=討訂|创卜9tAC\B =（）A. （ J）8.（ -t JI C [ -lj| DJ -M）2 ■ i* i —―Z复数工壽冷•则工的共範复数H的虚部是（）a e知一组数据叭宀內必內的平均数蹇；“，方差艮彳•那么另-组數据3^-2,3x2-2t3Xi ■2.旅.-23x^2的平均数和方菱分别是（）A.2t y B+2J c.4,y D.4$4.巴知-警T剿角2拆所征的象限是（）他第一筆限乩第二象舉C第三峨陶D•第四象限至过原点的程坡I与蛀T 乂0有公共点.则直线（倾斜角的脱值拖憎为（）心詔】氐善¥】C [著,打）U[0t~]D・（于‘号2（f■冷]理科敛学试题第】肚f共心贡）6"等比It 列｛%｝中,□[ ©4■刑“I 则丄+丄十…*丄工（ ）2 Q [叫 叫乩 4 一+ 氏—^7 士D+4—^YH 有三牛命题’其中其命聽的牛敬是（ ）（口”两条直线无公共点”是“这两条直线为异面直线”的必要不充分簽件罩（2广条直线垂直于-•个平面内无数条直线"是*这無直线垂直于这个平鹵”的兗愛条件* （3M 上咼平囲“外的曲条葭线，且“0、吋忖是"£的充分不必要第件.A.3B.2C.1D.0乳如图，网格纸L 小正方形的边长为】■图中粗线嘶出的绘-牛几何体的三视图*则壊几何体的表 團积是（ ）C. J5TT 4-12 D, + 12c^n卡― -------A/ I J + ® B [ |_1 + ® ] C. [ -|-, 0C j D. [£ao]】2.已知W.5为双曲线音洛"仏>0,b>0）的左、右顶点H 耳于点 S ）是讽曲线tft#- 点，记直线叽氏的蚪率分别为讣,则当 艸' - In “禹）脫最小值时，职曲线算心事为 （ ）扎找B.万 G2D.^ + i珅科数学试題第2页｛共4页）A. 12 +12TTf = f+ 19. 阅渎如图所斥时程序椎图.则该算注的功能是（A.计算数列｛町的前6项和C 计算數列订的前&坝和10. 已知破敎貞 i ） -I + jcsimf - I Wk 卷！）*则（ Q/tain?） <flc （«3）rl 亠 U-l I jre[0T 2]g 已躺数） “2"若 B +计算数列5｝的前5项和 D. if 算数列｛« + !｝的前5项和 ） 乩卅觎）</（™2）D. f ｛ *in4） <f ｛ co»4）:>0时拓+恒城立用瞋散*的屉值范围[「如〕第U卷（非选择题共如分）本卷包括必考18和选看迥两部分.第门题•第21題为必奪題，毎牛试尊勇生都必硕作善，第22團-第24遷为透甬覆.考生桶据要求作答・二、填空題（卓大题扶4小题、毎小遷5分，）11由下面样木数据利用帰小一舉法求出的线性冋归方程实数_____________I巴一3456I r 2.534 4.5M已知向虽；珂2Q和则二圖（“K）的最小值为______________________15.如阳，用心禹4 三类不局的元件连接成一牛系统.筑4, __________ 、嘉能否正常工作相互独立，当K正常王作艮虬、為至少有一个正常工作时.果统正常工件，已知八扎、拓正常工作的概率嵌欢为0.9、69』.昭则系统正常工作的機率为 ____ ,15 MB临数列bj的通项公式为 3 2”環，若｛曲是单调递增敎列•则实数&的取疽范围是_______ .解答题（解答应写出文字说阴.证明过程戒演鼻步■）（本小题滞分12分）已知雷數/（ x） = QsinJ cuff +^P）+ CTWOK取哪-gicukgi岬（ii > 0t0 < ^ < ）是偶函收*相邻两牛零点间距离为】*（I ［求兀鼻）的单调遥增区间£（E1）已超ZUBC为锐角三角花，角仏乩f对边分别为J扒“若彳半上1卫"上二趴求黔18.（^小题満分12分）某化肥厂甲.乙车闾包談肥斜”在自动包装传递带上毎隔和皿讪抽取•包产品•称貝歳师（单位；千克）•分别记量抽卷數据如下：甲J02 JOI .99.98J03.98 .99 ：98 JW T W JO2 J01 .97,103（I ）这种抽样方法是哪一种？（H）#这两组数据用茎叶图表示；皿）根抿两组数据.茯得样本的数字特掘.对曲个车间产甜电赧进行评价19.（*小题満分12分）如Uh三棱柱磁"芒心中丿上‘丄底面ABC, A ACS » 为胡中鼠（I ）求证严面儿仞丄平面町甩（3 ）求二面角瑶-HC -€,的余弦值.理科數学试题箒3观f共4页）加(本小题満分12分)已知椭厕的中心为坐标辰点①焦点在工轴上*斜甲为I 乩过摘圆和烯点F 的直线交椭圜于儿 月两点,3t+o8与；= (2t -i )共线.(1 )求椭鬪的离心率* 一(U)设駅誌于乩册为梆圆上一点■且ai/=(M+A S3 (A^W).求A 的甄2】.(本出題満分】2分)已知刃盒)二/ +21n(2-x) (ae R)(I )若找巧在区间口2｝上是减歯数■求"的取值范枫 (H)&a>0, *W/( t) =0根的个数，幷证明你的结论.睛从下面所给的22^3.24三壓中选定一嵐件菩■并用2U 铅笔在善進卡上将所选■目対应的尊号方 框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、窑涂均按所答第一题评分;峯答按所答第一题评分。

2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6B．7C．10D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012B．2016C．2014D．20156．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．8C．10D．128．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，3]D．[，+∞）9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．111．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25]50.05[25，30]200.20[30，35]①0.350[35，40]30②[40，45]100.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选：B．2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i【解答】解：==i，故选：C．3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或【解答】解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=﹣，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或﹣．故选：C．4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6B．7C．10D．9【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012B．2016C．2014D．2015【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+…sin的值，因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin+sin=＞12014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin+sin+sin+sin=＜12015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin+sin+sin+sin+sin=0＜12016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0＜1故选：A．6．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，因此不正确；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m≠0时，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=﹣1，可知：“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB⊥面ABC，VE⊥AB，CD⊥AB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=×AB•CD•VE==10，故选：C．8．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，3]D．[，+∞）【解答】解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d==b，|FB|=，因为|FB|≥d，所以≥b，所以c2≥2c2﹣2a2，所以2a2≥c2，所以1＜e≤．故选：A．9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选：A．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．1【解答】解：由于二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n、b n，则a n =2n，b n =2﹣n，所以===2n+1故选：C．11．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：数列a n=n3﹣n2+3+m，令f（x）=x3﹣x2+3+m，（x≥1）．f′（x）=x2﹣x，由f′（x）＞0，解得x＞，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时函数f（x）单调递减．∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．f（3）﹣f（2）=9﹣﹣（﹣5）＞0，∴f（2）最小，∴×8﹣5+3+m=1，解得m=．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）【解答】解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR2=64π．故答案为：64π．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有84种不同选课方案（用数字作答）．【解答】解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14=84种．故答案为：84．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=[sin（πx+φ）﹣cos（πx+φ）]，令sinα=，cosα=，则y=[sin（πx+φ）cosα﹣cos（πx+φ）sinα]=sin（πx+φ﹣α），∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25]50.05[25，30]200.20[30，35]①0.350[35，40]30②[40，45]100.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.30．补全频率分布直方图，如右图所示．平均年龄估值为：（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX==．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=•，O到直线AB的距离：d=，∴S==，△AOB∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x（0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．。

东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤2=（ ）A ．)2i B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．( B．)+∞ C ．(]1,3 D．)+∞ 9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+ B ．()1221n -+ C ．12n + D ．1 11、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14- D ．13- 12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 24f πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CDP-AB的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面CDAB，E、F分别为AB、CP的中点．()I求证：F//E平面DPA；()II若2PA=，试问在线段FE上是否存在点Q，使得二面角Q D-AP-的余弦值为5Q的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为1F、2F，点(A在椭圆上，且2F A与x轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A作直线与椭圆交于另外一点B，求∆AOB面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M ⋅A +M ⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,23821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分年龄(岁)又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD4分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。