5.5.2诱导公式二

数学的诱导公式诱导公式在三角函数这一章中具有重要意义,如何有效记忆三角函数的诱导公式是学习的难点,下面店铺给你分享数学的诱导公式，欢迎阅读。

数学的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα数学的诱导公式推算3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα数学的诱导公式口诀1.数学的诱导公式记忆“奇变偶不变，符号看象限”。

授课主题二倍角教学目标1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．3．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．4．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．教学内容1．二倍角的正弦、余弦、正切公式在公式sin()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，得到sin 2α＝2sin αcos α，这就是二倍角的正弦公式；在公式cos()α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；在公式tan()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan2α，这就是二倍角的正切公式．注意: tan 2α＝2tan α1－tan2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋kπ且α≠π2＋kπ(k∈Z)还有1－tan2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋kπ(k∈Z)综上所述α≠π4＋kπ2且α≠π2＋kπ(k∈Z)而公式S2α、C2α中，角α可以是任意角．2．二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n＝2×α2n＋1等等．(2)当α＝kπ＋π2()k∈Z时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sinπ3≠2sinπ6.(4)公式的逆用变形:升幂公式：1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2.降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3．公式汇总二倍角公式:sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2. 降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.半角公式:sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．题型一 二倍角公式的简单应用例1 已知tan α2＝2，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用． 解析：(1)∵tan α2＝2，∴ tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×21－4＝－43，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－43＋11＋43＝－17. (2)由(1)知， tan α＝－43，∴6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝6⎝⎛⎭⎫－43＋13⎝⎛⎭⎫－43－2＝76.点评：二倍角是两个角间的相对关系.2x 是x 的二倍角x 是x 2的二倍角.x 2是x4的二倍角．巩 固 (1)已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin 2α，cos 2α，tan 2α之值．(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x 的值为________． 解析：(1)∵cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－1213＝120169，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－5132＝119169， tan 2α＝sin 2αcos 2α＝120119.(2) 49题型二 利用二倍角公式化简与求值 例2 已知sin θ＋cos θ＝22，0＜θ＜3π4，求sin 2θ，cos 2θ的值． 解析：∵0＜sin θ＋cos θ＝22＜1，且0＜θ＜3π4， ∴π2＜θ＜3π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 将sin θ＋cos θ＝22，两边平方得sin 2θ＝－12， ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 点评：注意利用(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ的关系解题．巩 固 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解析：方法一 (1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 方法二 由题意得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.题型三 利用二倍角公式化简与证明例3 已知tan 2β＝tan 2α＋1cos 2α.求证：cos 2α－2cos 2β＝1.分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系． 证明：∵1＋tan 2β＝1＋tan 2α＋1cos 2α，∴1cos 2β＝2cos 2α，∴cos 2α＝2cos 2β， ∴1＋cos 2α2＝1＋cos 2β， ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， ∴cos 2α－2cos 2β＝1.点评： 有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证． 巩 固 求证：()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝tan x 2.分析：本题考查利用二倍角公式证明．①直接利用二倍角公式将原式化为x2的三角函数形式；②首先看分母，利用“1”与三角函数的关系，将已知条件化简后再向右边靠近．证明：证法一()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 2sin 2x＝4sin 2x 2cos x 2sin x cos x ＝sin 2x 2sin x 2cos x 2＝sinx2cos x 2＝tan x2. 证法二()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1sin 2x＝()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1()sin x ＋cos x 2－1＝()sin x ＋cos x －1()sin x －cos x ＋1()sin x ＋cos x ＋1()sin x ＋cos x －1＝sin x －cos x ＋1sin x ＋cos x ＋1＝2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 22sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2＝sinx 2cosx 2＝tan x2.点评： 无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口．题型四 二倍角公式与其他知识的综合问题例4 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α与tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，求α＋β. 分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用方法之一．解析：由韦达定理有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴－π<α＋β<0， ∴α＋β＝－2π3.巩 固 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，当截取的矩形的长和宽与半圆的半径之比为多少时，所截矩形的面积最大？解析：如右图所示，设∠AOB ＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R ，则面积最大的矩形ABCD 必内接于半圆O ，且两边长分别为|AB |＝R sin θ， |DA |＝2|OA |＝2R cos θ. 则这个矩形的面积为S 矩形ABCD ＝|AB |·|DA |＝R sin θ·2R cos θ＝R 2sin 2θ.所以，当sin 2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD 的面积取得最大值R 2. 即当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是2∶1∶2时，所截矩形的面积最大． 题型五 倍角公式的变形与应用例5 已知cos α＝－35，且180°<α<270°，求tan α2的值．分析：本题可直接利用公式tan α2＝±1－cos α1＋cos α来解，也可由cos α＝－35解出sin α，再根据公式tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α求解．对第一种解法，要注意符号的选择．解析：方法一 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限角，∴tan α2<0，故tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 方法二 ∵180°<α<270°，即角α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， 故tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－35－45＝－2.或tan α2＝sin α1＋cos α＝－451－35＝－2.点评：两种解法有异曲同工之妙，用半角公式来解题，尤其要注意角的取值范围对符号的影响．第二种解法实际也对符号进行了确定，只不过转移至sin α了．巩 固 已知3π2<α<2π，试化简1＋sin α－1－sin α.分析：本题是一个根式，要想化简，根据化简的基本思想，需要消去根式，联想恒等式1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22可以帮助求解．解析：∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，从而有sin α2＋cos α2<0，sin α2－cos α2>0.∴1＋sin α－1－sin α＝⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2＋cos α2－sin α2＝－2sin α2. 巩 固 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．证明：证法一 原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cosθ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ.证法二 原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.题型六 两角和与差公式的变形与应用例6 已知锐角α，β满足条件cos 2α－cos 2β＝cos 2()α－β－32，求α－β的值．分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右边是α－β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式，右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然后再化简求值．解析：∵cos 2α－cos 2β＝cos 2()α－β－32，∴－2sin ()α＋βsin ()α－β＝1－2sin 2()α－β－32，即2sin 2()α－β－2sin ()α＋βsin ()α－β＋12＝0，2[sin 2()α－β－sin ()α＋βsin ()α－β＋14sin 2()α＋β]＋12－12sin 2()α＋β＝0，∴2[sin ()α－β－12sin ()α＋β]2＋12cos 2()α＋β＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos ()α＋β＝0，sin ()α－β－12sin ()α＋β＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin ()α＋β＝1，sin ()α－β－12sin ()α＋β＝0. 则sin ()α－β＝12，又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴α－β＝π6.点评：由已知条件求值类的题目我们一般先找出所求与已知的联系，再用适当的方法求解，此题中所求为α－β的值，故我们在已知等式左右两边想办法凑出与α－β有关的三角函数来．等式的左边要凑出与α－β有关的三角函数，很自然的应该想到和差化积公式，所以熟练运用公式是快速解题的关键．巩 固 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.分析：从消除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角x,2x 凑成3x 2，x 2的形式，注意到x ＝3x 2－x 2，2x ＝3x 2＋x2.证明：右边＝2sin x cos x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cos x 2＝tan 3x 2－tan x2＝左边．A 组1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425<0， cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫－352－⎝⎛⎭⎫452＝－725<0， ∴角α是第三象限角．故选C. 答案：C2．设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 33．sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ()270°＋40°＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A.答案：A4．直接应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°； (2)cos 215°－sin 215°； (3)2tan 15°1－tan 215°. 解析：(1)sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝14.(2)cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.(3)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. B 组1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( )A ．π B.π2 C.π4 D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 答案：A2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2 α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B.答案：B3．化简sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的结果是( )A.12sin 2xB.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12si n 2x解析：原式＝⎝⎛⎭⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝⎛⎭⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x ＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 答案：B4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ ( )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝15.∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 答案：B5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2( ) A.2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4C.2sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4 解析： 1＋cos α2－1－cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵3π<α<4π，∴3π2<α2<2π，∴sin α2<0，cos α2>0. ∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4.故选A. 答案：AC 组1．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0， 又α是三角形的一个内角，故α是钝角．故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；解析：f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14. (2)求f (x )的最大值和最小值．解析：f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R.∵cos x ∈[]－1，1，∴当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.3．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值． 解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，2sin αcos α＝－23，又0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53， ∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53.A 组1．下列各式中恒成立的是( )A ．tan α2＝1－cos αsin αB ．cos 2α2＝1＋cos α2C ．tan α2＝± 1－cos α1＋cos αD ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α解析：A.tan α2＝1－cos αsin α不恒成立．恒成立的条件是sin α≠0， C ．tan α2＝±1－cos α1＋cos α不恒成立．恒成立的条件是cos α≠－1， D ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α不恒成立．恒成立的条件是tan α≠±1， B 恒成立，故选B.答案：B2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析：原式＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.故选B. 答案：B3．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos 1B ．cos 1C.3cos 1 D ．－3cos 1 答案：CB 组1．已知180°＜α＜360°，则cos α2＝( ) A.1＋cos α2 B. 1－cos α2 C ．－ 1＋cos α2D ．－ 1－cos α2 解析：∵90°＜α2＜180°，∴cos α2＝－ 1＋cos α2.答案：C2．将函数y ＝si n 2x 的图象向左平移π4个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x 解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋co s 2x ＝2cos 2x ，故选A.答案：A3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.故选D. 答案：D4．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么1＋tan α1－tan α的值为( ) A.1316 B.322 C.1322 D.316答案：B5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79解析：cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－1＋2×19＝－79. 答案：AC 组1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；解析：A ＋C ＝π－B ，A ，B ∈(0，π)⇒sin(A ＋C )＝sin B ＞02sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇔cos A ＝12⇔A ＝π3. (2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：设BC →＝a ，AC →＝b ，AB →＝c ，则|a |2＝a·a ＝(b －c )·(b －c )＝b ·b ＋c ·c －2b ·c ＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a ＝3⇒b 2＝。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。