下载文档原格式
二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.一、定义法二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.如图1，已知空间中有三条射线CA 、CP 、CB ，且∠PCA =∠PCB =60°，∠ACB =90°，求二面角B -PC -A 的余弦值.图1解：在PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，连接EF ，所以∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角，设CD =a ，因为∠PCA =∠PCB =60°，所以CE =CF =2a ，DE =DF =3a ，因为∠ACB =90°，所以EF =22a ，在△DEF 中，根据余弦定理得：cos ∠EDF =3a 2+3a 2-8a 22∙3a2=-13.解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B -PC -A 的棱PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，从而确定了二面角B -PC -A 的平面角∠EDF ，再根据余弦定理求得cos ∠EDF 的值.二、垂面法垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求二面角B -PC -D 的大小.图2解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面PAC ,可得BD ⊥PC ，分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，则∠BHD 为二面角B -PC -D 的平面角，因为PA =AB =a ，所以BC =a ，PB =AC =2a ，所以PC =3a ，根据勾股定理可得∠PBC =90°，所以在△PBC 中，12PB ∙BC =S △PBC =12PC ∙BH ，则BH ，同理可得DH ，因为BD =2a ，所以在△BHD 中，由余弦定理可得：cos ∠BHD =ö÷2+ö÷2-2a 2-12，因为0<∠BHD <π，则∠BHD =2π3,即二面角B -PC -D 的大小为2π3.本题中的垂直关系较多，于是分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，得到PC 的垂面BHD ，据此确定二面角B -PC -D 的平面角∠BHD ，再在△BHD 中由怎样求解二面角问题方法集锦43余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44。
二面角的求法一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
二、垂面法例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。
三、三垂线法：例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。
（1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。
四、延伸法例4. 如图10，设正三棱柱ABC- '''A B C各棱长均为α，D为C'C中点，求平面'A BD与平面ABC所成二面角的度数.五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角。
1.如图，在三棱柱ABC-111A B C 中，B 1B ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AC=AB=1AA ，E 是BC 的中点．1. （1）求证：AE ⊥1B C ；（2）求异面直线AE 与1AC 所成的角的大小；（3）若G 为1CC 中点，求二面角C-AG-E 的正切值．2.如图，已知正方形ABCD 和矩形BDFE 所在的平面互相垂直，AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点，BC =，BF =1（Ⅰ）求证：BC ⊥AF ：（Ⅱ）求证：BM ∥平面ACE ；（Ⅲ）求二面角B-AF-C 的大小．3.如图，多面体ABCDS 中，面ABCD 为矩形，SD ⊥AD ，且SD ⊥AB ，AD=1，AB=2，SD=．（1）求证：CD ⊥平面ADS ；（2）求AD 与SB 所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D 的余弦值．。
立体几何二面角解题技巧
1. 嘿，你知道吗，找二面角的关键之一就是找到垂直啊！就像在迷雾中找到那盏明灯！比如说在一个三棱锥里，一条棱垂直于一个面，那这可就是找到二面角的重要线索啦，可不能错过呀！
2. 哇，观察图形多重要啊！就好比侦探找线索一样。
看到那些边啊角啊，要仔细研究。
像有两个平面相交，在交线上找特殊点，这就是解题的突破口呀，你能忽视吗？
3. 嘿，不要小瞧辅助线的威力呀！它简直就是我们的秘密武器。
比如在一个复杂的图形里，画上那么一条精准的辅助线，二面角不就清晰可见了，这得多厉害呀！
4. 哇塞，定义可不能忘啊！那可是基础呀。
想想看，根据二面角的定义去寻找，有时候答案就呼之欲出了。
就像要去一个地方，知道了路线图，还怕找不到吗？
5. 嘿呀，利用三角函数也是很妙的一招呢！把边和角的关系用三角函数表示出来，就像给二面角穿上了合适的衣服。
比如知道两边和夹角，不就能算出二面角的大小了，多神奇呀！
6. 哎呀，从特殊情况入手也不错哟！有时候先想想特殊的图形或者条件，就像找到了开门的钥匙。
比如正方体里的二面角，那不是很容易找到规律嘛，你还不赶紧试试？
7. 嘿，空间想象力可要好好锻炼呀！把图形在脑子里转起来，就像放电影一样。
当你能清晰地“看”到二面角的时候，解题还会难吗？
8. 哇，多种方法结合起来更是厉害啦！就如同各路英雄一起作战。
观察图形、画辅助线、利用定义等等，一起上，二面角肯定乖乖就范呀！
我的观点就是，只要掌握这些解题技巧，立体几何二面角就不再让人头疼，而是变得有趣又好解决啦！。
立体几何二面角问题
立体几何二面角问题是数学中常见的一个概念。
它是指一个多面体（可以是四面体、八面体、十六面体等）的每个面上，两个夹角的总和。
举个例子，一个三角形的立体几何二面角总和是180度，而一个四边形的立体几何二面角总和是360度。
立体几何二面角问题是在几何学中有重要意义的一个概念，它经常被用来分析多面体的构和形状，并且能够解决几何学中各种复杂的问题。
首先，关于立体几何二面角的总和，有一个重要的定理。
它叫做Euler定理，它定义了一个多面体的立体几何二面角总和应该是
V+F-E的形式，其中V为多面体的顶点数，F为多面体的面的数量，以及E为多面体的边的数量。
这个定理被用来表示一个多面体的结构和特性，并且也用于研究多面体的性质，以及理解多面体之间的关系。
此外，立体几何二面角的总和也可以用来推导几何学中各种几何形状的性质。
比如，人们知道一个垂直的直角三角形的立体几何二面角的总和是180度，那么由此可以推导出，一个垂直的直角三角形的两个长度之比是1：1：√2，这就是余弦定理。
另外，根据立体几何二面角的定理，还可以推导出其它几何形状的性质，比如二维平面上的四边形、三角形等等。
最后，立体几何二面角的性质也可以用来解决几何学中复杂的问题。
比如，在三角形中，如果要求根据三条边的长度求两个角的大小，那么就可以利用立体几何二面角的定理来解决这个问题。
总的来说，立体几何二面角在几何学中扮演着重要的角色，它不仅能推导出几何形状的性质，还可以用来解决复杂的几何学问题。
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
立体几何二面角余弦值公式
在立体几何中，二面角是一个重要概念，它指的是两个平面相交所形成的角。
求解二面角的余弦值是立体几何中的一个常见问题。
接下来，我们将介绍二面角余弦值公式的应用、规则、适用场景以及延申。
一、二面角余弦值公式的应用
在求解二面角余弦值时，常用的方法包括定义法、三垂线法、垂面法、面积法以及找棱法等。
这些方法在实际应用中可以相互转化，以适应不同问题的需求。
二、二面角余弦值公式的规则
1. 当两个法向量夹角为锐角或钝角时（即点乘后所得结果同号），二面角的大小与两个法向量的夹角相等。
2. 当两个法向量夹角为钝角时（即点乘后所得结果异号），二面角的大小与两个法向量的夹角互补。
三、二面角余弦值公式的适用场景
1.求解二面角的余弦值：当需要求解二面角的余弦值时，可以使用二面角余弦值公式进行计算。
2.判断二面角的性质：通过计算二面角的余弦值，可以判断二面角是锐角还是钝角。
3. 在几何模型中应用：二面角余弦值公式在各种几何模型中都有广泛的应用，如棱锥、棱柱、平面凸轮等。
四、二面角余弦值的延申
1.空间向量的应用：二面角余弦值的求解可以扩展到空间向量的应用，如求
解空间向量的模、夹角、投影等。
2.空间几何中的其他问题：二面角余弦值的求解方法可以延申到空间几何的其他问题，如求解空间直线与平面的夹角、求解空间两个平面的夹角等。
总之，二面角余弦值公式在立体几何中具有重要的应用价值。
通过掌握二面角余弦值公式的求解方法，可以更好地解决立体几何中的相关问题。
同时，了解二面角余弦值公式的适用场景和延申，有助于提高解决实际问题的能力。
解题宝典二面角是立体几何的重要内容，也是各类试题考查的重点内容.求二面角问题主要考查作二面角的平面角的方法以及同学们的空间想象能力.本文重点介绍求二面角的三种基本方法：定义法、三垂线法、公垂面法.一、定义法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱.以二面角棱上的任意一点O 为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA 、OB ，则∠AOB 就是此二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量.在求二面角的大小时，我们只要根据二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形，即可求得平面角的大小.例1.已知二面角α-a -β等于120°，PA ⊥α，A∈α,PB ⊥β，B ∈β，求∠APB 的大小.分析：本题可运用定义法求解，首先需要根据二面角的定义作出二面角的平面角.为了求得∠APB ，可过A 作二面角棱的垂线交棱于O 点，连接OB ,使APBO 在同一平面内，这样便可运用四边形的内角和为360o的定理求得结果.解：如图1，过A 作二面角棱的垂线交棱于O 点，连接OB ,∵PA ⊥α，a ⊂α，∴PA ⊥a ，同理PB ⊥a ，∴a ⊥平面PAB 又∵OA ⊂平面PAB ，∴a ⊥OA ，且O 、P 、A 、B 四点共面，同理a ⊥OB ，∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角.在四边形PAOB 中，∠AOB =120°，∠PAO =∠POB =90°，∴∠APB =60°.图3图1图2二、三垂线法三垂线法是指运用三垂线定理求二面角的方法.我们首先要找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得到二面角的平面角.在运用三垂线法解题时，只需要构造出三条垂线，便可利用三垂线定理来证明所作的角为二面角的平面角.例2.如图2，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，侧棱AA 1长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求二面角C 1-DE -C 的正切值.解：过点C 1作C 1O ⊥DE ，连接CO ，由三垂线定理可得CO ⊥DE ，∴∠C 1OC 为二面角C 1-DE -C 的平面角，又∵ABCD 是边长为2的正方形，∴CD =2,CE =1,DE =5，在RtΔADE 中，S ΔCDE =12CD ∙CE =12DE ∙CO ，∴CO =，又∵CC 1=1，tan ∠C 1OC =CC1CO.该解法主要运用了三垂线法作出了二面角的平面角，然后在直角三角形C 1OC 中，根据正弦函数的定义求得二面角C 1-DE -C 的平面角∠C 1OC 的正切值.三、公垂面法公垂面法是指作一个与棱垂直的平面，使该垂面与二面角的两半平面相交，得到的交线所成的角即为二面角的平面角.公垂面法的适用范围较小，一般只适用于方便求作两个半平面的公垂面的问题.例3.如图3，已知PA 与正方形ABCD 所在的平面垂直，且AB =PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小.分析：该二面角的平面角很难作出来，由图可知平面PAD 为平面PAB 与平面PCD 的公垂面，可运用公垂面法求解，寻找出它们的交线便可找出二面角的平面角，由已知的边角关系即可求得二面角的大小.解：∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ,∴CD ⊥平面PAD ，而CD ⊂平面PCD ,∴平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证，平面PAB ⊥平面PAD ，∵平面PCD ∩平面PAD =PD ,平面PAB ∩平面PAD =PA ，∴PA ,PD 与所求二面角的棱均垂直，∴∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD =45°.定义法、三垂线法、公垂面法三种方法都是求二面角的常用方法，但其适用的情形各不相同.定义法适用于解答可直接利用定义作出二面角的问题；三垂线法适用于解答垂直关系较多的问题；公垂面法适用于解答方便求作两个半平面的公垂面的问题.（作者单位：山东省无棣县第三高级中学）刘阳43。
立体几何中的二面角问题
一、常见基本题型： (1)求二面角的大小
例1、已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11ABB A 是菱形，且 160A AB ∠=︒，M 是11A B 的中点，.MB AC ⊥ （1）求证：MB ⊥平面ABC ；
（2）求二面角11A BB C --的余弦值。
解：（1）∵侧面11A ABB 是菱形且o 601=∠AB A ∴11A
BB ∆为正三角形 又∵点M 为11A B 的中点 ∴11BM A B ⊥ ∵AB ∥11A B ∴BM AB ⊥
由已知AC MB ⊥ ∴⊥MB 平面ABC （2）如图建立空间直角坐标系 设菱形11A ABB 边长为2
得1(0,1B -，(0,2,0)A
,1,0)C
，1A
则1(0,1BA = ，(0,2,0)BA =
1(0,1BB =-
，,0)BC =
设面11A ABB 的法向量1111(,,)n x y z = ，由1n BA ⊥ ,11n BA ⊥
得
11120
y y =⎧⎪⎨
+=⎪⎩，令11x =，得1(1,0,0)n = 设面11BB C C 的法向量2222(,,)n x y z = ， 由21n BB ⊥ ，2n BC ⊥
得
22220
y y ⎧-+=⎪⎨
+=⎪⎩,令32=y
，得2(1)n =-
得5
5
5
11-
=⋅-=
=
.
B 1
又二面角11A BB C --。
（2）已知二面角的大小，求其它量。
例1、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ∥CD ，AB= 2AD =2CD =2．E 是PB 的中点． （I ）求证：平面EA C ⊥平面PBC; （II ）若二面角P-A C-E
PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PC ，
∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝2，
∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．
（Ⅱ）如图，以C 为原点，DA →、CD →、CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．
设P (0，0，a )（a ＞0）， 则E ( 1 2，－ 1 2， a
2），
CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，
CE →＝（ 1 2，－ 1 2， a 2
），取m ＝(1，－1，0)，则
m ·CA →＝m ·CP →＝0，m 为面PAC 的法向量．
设n ＝(x ，y ，z )为面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，
即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，
取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)， 依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝6
3，则a ＝2．
于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1，1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n |__________|PA →||n |
＝2
3，
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为2
3． （3）求二面角的取值范围
例3.如图，已知△AOB ，∠AOB ＝
2π
，∠BAO ＝
6
π
，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若
△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B －AO －C
的 大小为θ．
（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；
（2）当θ∈[2π，23
π
]时，求二面角C －OD －B 的
余弦值的取值范围．
解：（1）如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0，0，
)， B (0，2，0)， D (0，1
，C (2sin θ，2cos θ，
设1n
＝(x ，y ，z )为平面COD 的一个法向量，
由110,0,
n OD n OC ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩
得sin cos 0,0,x y y z θθ+=+=⎧⎪⎨⎪⎩， 取z ＝sin θ，则1n
＝θsin θ，sin θ)．
因为平面AOB 的一个法向量为2n ＝(1，0，0)，
由平面COD ⊥平面AOB 得1n ⋅2n
＝0，
所以cos θ＝0，即θ＝
2
π．
（2）设二面角C －OD －B 的大小为α，由(Ⅰ)得当θ＝
2
π时， cos α＝0；
当θ∈(
2
π，
23
π]时，tan θ
cos α= 12
12||||
n n n n ⋅
， 5
cos α＜0．
综上，二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为[5
，0]．
A
O
B
D
二、针对性练习
1.如图，斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形， ︒
=∠90ACB ,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点， 且CA BC =.
(1)求证:平面11A ACC ⊥平面CB C B 11; (2)若二面角11C AB B --的余弦值为7
5-
, 设λ=BC
AA 1
,求λ的值. 解: (1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥面ABC ， 11BB C C ABC ∴⊥面面
11BC BB C C ABC =⋂ 面面，AC BC ⊥ 11AC BB C C ∴⊥面， 11AC ACC A ⊂ 面 1111ACC A BCC B ∴⊥面面
（2）以CA 为ox 轴,CB 为oy 轴,过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴， 建立空间直角坐标系 设2AC BC ==，1B M t = 则(2,0,0),(0,2,0),(0,1,),(0,1,)A B C t C t -
即111=2,1,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC -=-=- （
设面1AB B 法向量1(,,)n x y z = 11
(1,1,)n t
∴= ；
面11AB C 法向量2(,,)n x y z = 2(,0,1)2
t
n ∴=
125
cos ,7
n n =-
t ∴= 12,1BB λ∴==即
2. 如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ，
90=∠=∠BCD ADC ，
22====BC AD PD PA ，3=CD ，M 在
棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为
30
（1）求
MC
PM
的值； B
A
1
C
1
A
1
B
C
P
N M
D C
B
（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的正弦值．
解：（1）建立如图所示的坐标系xyz N -，其中)0,0,0(N ，)0,0,1(A ，)0,3,0(B ， )0,3,1(-C ，)0,0,1(-D ，)3,0,0(P 。
设)0(>=λλ，则)13
,13,1(
λ
λλλλ+++-M ， 于是)0,3,0(=
，(
1NM λλ-=+ 设z)y,(x,n = 为面MBN 的法向量，则0,0=⋅=⋅n n ， ∴03=y ，,033=++-z y x λλ取),0,3(λ=n ，
又)1,0,0(=m 为面BNC 的法向量，由二面角C BN M --为︒30， 得2
330cos 3,cos 2
=
︒=+=
⋅=
λλ
n
m n m n m ， 解得,3=λ故
3=MC
PM。
（2）由（1）知，),0,3(λ=n 为面BNC 的法向量
设直线PB 与平面MBN 所成的角为θ，由)3,3,0(-=PB 得
4
63
2633sin =
⨯=
=
θ， 所以直线PB 与平面BMN 所成角的正弦值为4
6。
