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第５章㊀二元一次方程组㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１课㊀认识二元一次方程组知识目标认识二元一次方程和二元一次方程组ꎻ了解二元一次方程和二元一次方程组的解ꎻ会判断一组数是不是二元一次方程组的解.重㊁难点认识二元一次方程和二元一次方程组.思维目标方程思想.１.含有㊀两㊀个未知数ꎬ并且所含未知数项的次数都是㊀１㊀的方程叫作二元一次方程.注意:㊀①二元一次方程两个未知项的次数是１ꎬ且系数不为０ꎻ㊀②二元一次方程的左边和右边都应是整式.２.共含有㊀两个㊀未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组.３.适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解(二元一次方程的解有无数个).４.二元一次方程组中各个方程的㊀公共解㊀ꎬ叫作二元一次方程组的解.二元一次方程定义与特征ʌ例１ɔ填选题:㊀(１)下列方程:①ｙ＝３ｘ２＋ｘꎻ②３ｘ＋ｙ＝１ꎻ③２ｘ＋４ｚ＝５ｚꎻ④ｘｙ＝２ꎻ⑤ｘ＋ｙ３＋ｙ＝０ꎻ⑥ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎻ⑦１ｙ＋ｘ＝４ꎬ是二元一次方程的有(㊀Ｂ㊀)㊀Ａ.２个Ｂ.３个Ｃ.４个Ｄ.５个㊀(２)下列方程组中是二元一次方程组的是(㊀Ａ㊀)㊀Ａ.ｘ＋ｙ＝４２ｘ＋３ｙ＝７{Ｂ.２ａ－３ｂ＝１１５ｂ－４ｃ＝６{㊀Ｃ.ｘ２＝９ｙ＝２ｘ{Ｄ.ｘ＋ｙ＝８ｘ２－ｙ＝４{㊀(３)方程ｘ∣ａ∣－１＋(ａ－２)ｙ＝２是关于ｘꎬｙ的二元一次方程ꎬ则ａ的值为㊀－２㊀.㊀分析:(１)(２)按二元一次方程(组)的定义即可得解ꎻ(３)要注意未知项的次数为１ꎬ且系数不为０ꎬ则有∣ａ∣－１＝１且ａ－２ʂ０ꎬ解之即得.二元一次方程(组)解的含义及运用ʌ例２ɔ填选题:㊀(１)已知一个二元一次方程组的解是ｘ＝－１ｙ＝－２{ꎬ则这个方程组是(㊀Ｃ㊀)㊀Ａ.ｘ＋ｙ＝－３ｘｙ＝２{Ｂ.ｘ＋ｙ＝－３ｘ－２ｙ＝１{㊀Ｃ.２ｘ＝ｙｘ＋ｙ＝－３{Ｄ.ｘ＋ｙ＝０３ｘ－ｙ＝５{㊀(２)已知ｘ＝２ｙ＝－１{是方程组ｍｘ＋ｙ＝３ｘ－ｎｙ＝６{的解ꎬ则ｍ＝㊀２㊀ꎬｎ＝㊀４㊀.㊀分析:(１)用验证法即可排除ꎬ要注意Ａ选项不是二元一次方程组ꎻ(２)若知道方程(组)的解ꎬ则直接代入相关方程ꎬ则可求出相应字母的值.㊀解:(１)Ｃꎻ(２)２ꎬ４.特定条件下的二元一次方程组的解ʌ例３ɔ求二元一次方程３ｘ＋２ｙ＝１９的正整数解.㊀分析:观察方程特点ꎬ发现２ｙ是偶数ꎬ则３ｘ应是奇数ꎬ故ｘ应是奇数ꎬ故让ｘ＝１ꎬ３ꎬ５即可得到相应的ｙ值.㊀解:由已知得ｙ＝１９－３ｘ２ꎬʑ当ｘ＝１时ꎬｙ＝８ꎻ当ｘ＝３时ꎬｙ＝５ꎻ当ｘ＝５时ꎬｙ＝２ꎻʑ方程的正整数解为ｘ＝１ｙ＝８{ꎬｘ＝３ｙ＝５{ꎬｘ＝５ｙ＝２{.１.下列方程组中是二元一次方程组的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘｙ＝１ｘ＋ｙ＝２{Ｂ.５ｘ－２ｙ＝３１ｘ＋ｙ＝３{Ｃ.２ｘ＋ｚ＝１３ｘ－ｙ＝１５{Ｄ.ｘ＝５ｘ２＋ｙ３＝７{２.(２０１６临沂)为了绿化校园ꎬ３０名学生共种７８棵树苗.其中男生每人种３棵ꎬ女生每人种２棵ꎬ该班男生有ｘ人ꎬ女生有ｙ人.根据题意ꎬ所列方程组正确的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘ＋ｙ＝７８３ｘ＋２ｙ＝３０{Ｂ.ｘ＋ｙ＝７８２ｘ＋３ｙ＝３０{Ｃ.ｘ＋ｙ＝３０２ｘ＋３ｙ＝７８{Ｄ.ｘ＋ｙ＝３０３ｘ＋２ｙ＝７８{３.已知方程２ｘ＋３ｙ－４＝０ꎬ用含ｘ的式子表示ｙ为:ｙ＝㊀４－２ｘ３㊀ꎻ用含ｙ的式子表示ｘ为:ｘ＝㊀４－３ｙ２㊀.４.已知ｘ＝－２ｙ＝３{ꎬ是方程ｘ－ｋｙ＝１的解ꎬ那么ｋ＝㊀－１㊀.１.记清二元一次方程(组)的定义与其指数特征ꎻ２.了解二元一次方程的解有无数组ꎬ但在某些特定条件下其解可能是有限的ꎻ但二元一次方程组的解常常是唯一的ꎻ３.要学会设两个未知数来表达应用题中的未知量.Ａ组㊀夯实基础一.选择题１.(２０１４泰安)方程５ｘ＋２ｙ＝－９与下列方程构成的方程组的解为ｘ＝－２ｙ＝１２{的是(㊀Ｄ㊀)Ａ.ｘ＋２ｙ＝１Ｂ.３ｘ＋２ｙ＝－８Ｃ.５ｘ＋４ｙ＝－３Ｄ.３ｘ－４ｙ＝－８２.二元一次方程ｘ－２ｙ＝１有无数多个解ꎬ下列四组值中不是∙∙该方程的解的是(㊀Ｂ㊀)Ａ.ｘ＝０ｙ＝－１２{Ｂ.ｘ＝１ｙ＝１{Ｃ.ｘ＝１ｙ＝０{Ｄ.ｘ＝－１ｙ＝－１{３.(２０１６毕节)已知关于ｘꎬｙ的方程ｘ２ｍ－ｎ－２＋４ｙｍ＋ｎ＋１＝６是二元一次方程ꎬ则ｍꎬｎ的值为(㊀Ａ㊀)Ａ.ｍ＝１ꎬｎ＝－１Ｂ.ｍ＝－１ꎬｎ＝１Ｃ.ｍ＝１３ꎬｎ＝－４３Ｄ.ｍ＝－１３ꎬｎ＝４３４.(２０１６龙东)为了丰富学生课外小组活动ꎬ培养学生动手操作能力ꎬ王老师让学生把５ｍ长的彩绳截成２ｍ或１ｍ的彩绳ꎬ用来做手工编织ꎬ在不造成浪费的前提下ꎬ你有几种不同的截法(㊀Ｃ㊀)Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４二.填空题５.已知ｘ＝３ｙ＝－２{是方程组２ｘ－ｙ＝ｍｘ＋ｎｙ＝－３{的解ꎬ则ｍ＝㊀８㊀ꎬｎ＝㊀３㊀.６.已知│ｘ－１│＋(２ｙ＋１)２＝０ꎬ且２ｘ－ｋｙ＝４ꎬ则ｋ＝㊀４㊀.７.(２０１６吉林)某学校要购买电脑ꎬＡ型电脑每台５０００元ꎬＢ型电脑每台３０００元ꎬ购买１０台电脑共花费３４０００元.设购买Ａ型电脑ｘ台ꎬ购买Ｂ型电脑ｙ台ꎬ则根据题意可列方程组为㊀ｘ＋ｙ＝１０５０００ｘ＋３０００ｙ＝３４０００{㊀.三.解答题８.若方程ｘ２ｍ－１＋５ｙ３ｎ－２＝７是关于ｘ㊁ｙ的二元一次方程ꎬ求ｍ㊁ｎ的值.㊀解:由已知得２ｍ－１＝１３ｎ－２＝１{ꎬ解得ｍ＝１ｎ＝１{.９.根据题意ꎬ列出方程组(不解):㊀(１)某班共有学生４５人ꎬ其中男生比女生的２倍少９人ꎬ该班男生㊁女生各有多少人?设该班男生有ｘ人ꎬ女生有ｙ人.㊀(２)将一摞笔记本分给若干同学ꎬ每个同学５本ꎬ则剩下８本ꎻ每个同学８本ꎬ又差了７本ꎬ共有多少本笔记本㊁多少个同学?设共有笔记本ｘ本ꎬｙ个同学.㊀(３)将若干只鸡放入若干笼中ꎬ若每个笼中放４只ꎬ则有一鸡无笼可放ꎻ若每个笼里放５只ꎬ则有一笼无鸡可放ꎬ问有多少只鸡ꎬ多少个笼?设ｘ只鸡ꎬｙ个笼.㊀解:(１)ｘ＋ｙ＝４５ｘ＝２ｙ－９{ꎻ(２)５ｙ＋８＝ｘ８ｙ－７＝ｘ{ꎻ(３)４ｙ＝ｘ－１５(ｙ－１)＝ｘ{.１０.甲种物品每个４ｋｇꎬ乙种物品每个７ｋｇꎬ现有甲种物品ｘ个ꎬ乙种物品ｙ个ꎬ共７６ｋｇ.(１)列出关于ｘꎬｙ的二元一次方程㊀㊀㊀㊀ꎻ(２)若ｘ＝１２ꎬ则ｙ＝㊀㊀㊀㊀ꎻ(３)若有乙种物品８个ꎬ则甲种物品有㊀㊀㊀㊀个ꎻ(４)请你用含ｘ的式子表示出ｙꎬ然后再探究出满足条件的ｘꎬｙ的全部数值.解:(１)４ｘ＋７ｙ＝７６ꎻ(２)４ꎻ(３)５ꎻ(４)ｙ＝７６－４ｘ７ꎬ经探究可知:满足条件的ｘꎬｙ有两组:ｘ＝１２ｙ＝４{ꎬｘ＝５ｙ＝８{.Ｂ组㊀提高巩固１１.(２０１６齐齐哈尔)足球比赛规定:胜一场得３分ꎬ平一场得１分ꎬ负一场得０分.某足球队共进行了６场比赛ꎬ得了１２分ꎬ该队获胜的场数可能是(㊀Ｃ㊀)Ａ.１或２Ｂ.２或３Ｃ.３或４Ｄ.４或５(提示:设该队胜ｘ场ꎬ平ｙ场ꎬ则负(６－ｘ－ｙ)场ꎬ根据题意ꎬ得:３ｘ＋ｙ＝１２ꎬ即:ｘ＝１２－ｙ３ꎬȵｘ㊁ｙ均为非负整数ꎬ且ｘ＋ｙɤ６ꎬʑ当ｙ＝０时ꎬｘ＝４ꎻ当ｙ＝３时ꎬｘ＝３ꎻ即该队获胜的场数可能是３场或４场ꎬ故选Ｃ.)１２.二元一次方程２ｘ＋ｙ＝７的正整数解为㊀ｘ＝１ｙ＝５{ꎬｘ＝２ｙ＝３{ꎬｘ＝３ｙ＝１{㊀.(提示:将原方程变形为ｙ＝７－２ｘ.ȵｘꎬｙ均为正整数ꎬʑｘ只能取小于４的正整数ꎬ共有１ꎬ２ꎬ３三个.当ｘ＝１时ꎬｙ＝５ꎻ当ｘ＝２时ꎬｙ＝３ꎻ当ｘ＝３时ꎬｙ＝１.)１３.某电视台有黄金时段的２ｍｉｎ广告时间内ꎬ计划插播长度为１５ｓ和３０ｓ的两种广告.１５ｓ广告每播１次收费０.６万元ꎬ３０ｓ广告每播１次收费１万元.若要求每种广告播放不少于２次ꎬ问:(１)两种广告的播放次数有几种安排方式?(２)电视台选择哪种方式播放收益较大?解:设播１５ｓ的广告ｘ次ꎬ播３０ｓ的广告ｙ次ꎬ则有１５ｘ＋３０ｙ＝１２０.即ｘ＋２ｙ＝８ꎬ又ｘȡ２ꎬｙȡ２ꎬ且ｘ㊁ｙ为整数ꎬʑｘ＝２ｙ＝３{或ｘ＝４ｙ＝２{ꎻ当ｘ＝２ｙ＝３{时ꎬ收费为２ˑ０.６＋３ˑ１＝４.２(万元)ꎬ当ｘ＝４ｙ＝２{时ꎬ收费为４ˑ０.６＋２ˑ１＝４.４(万元).应选择１５ｓ广告播４次ꎬ３０ｓ广告播２次.㊀。
