实数与二次根式

一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。

例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。

实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。

二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。

1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。

对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。

例如，√4 = 2，因为2² = 4。

二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。

2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。

例如，√9 = 3是一个实数。

- 负实数没有实数的二次根式。

例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。

- 实数的二次根式满足乘法性质。

即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。

3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。

二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。

例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。

- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。

例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。

4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。

二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。

它们无法用有限小数或循环小数形式表示。

- 无理数的二次根式仍然是无理数。

例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。

综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。

实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。

知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。

4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。

3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。

因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。

化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。

数学天地二次根式与实数运算数学天地：二次根式与实数运算数学是一门精确而又广泛应用的学科，其中二次根式与实数运算是数学中的重要概念之一。

本文将介绍二次根式的定义与性质，以及实数运算的基本规则和应用。

一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。

二次根式的特点是结果是一个实数，且满足以下性质：（1）非负数的二次根式，结果是非负实数；（2）零的二次根式，结果仍为零；（3）负数的二次根式，结果是虚数，无实数解。

2. 二次根式的化简化简二次根式是将根号里的数尽可能提取出来，以便更方便进行实数运算。

常见的化简规则包括：（1）同底数相乘或相除：√a * √b = √(a * b)，√a / √b = √(a / b)；（2）同底数相加或相减：√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)；（3）乘方：(√a)² = a。

二、实数运算的基本规则和应用1. 实数运算的基本四则运算实数运算包括加法、减法、乘法和除法。

其基本规则如下：（1）加法规则：a + b = b + a；（2）减法规则：a - b ≠ b - a；（3）乘法规则：a * b = b * a；（4）除法规则：a / b ≠ b / a。

2. 实数运算的应用实数运算在现实生活中有着广泛的应用，例如：（1）计算金融相关问题：利率计算、投资回报率等；（2）物理学中的力、速度、加速度等问题的计算；（3）几何学中的长度、面积、体积等问题的计算；（4）经济学中的成本、销售额、利润等问题的计算。

总结：本文介绍了数学中的二次根式与实数运算的基本概念与应用。

二次根式是一种特殊的根式，其结果为实数，但在处理负数时会得到虚数。

实数运算是数学运算的基本规则，其四则运算在现实世界中有着广泛的应用。

数学天地广阔而深奥，希望本文能够为读者提供一些有关二次根式与实数运算的基本了解，并能够在实际问题中运用数学的方法解决难题。

第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。

易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。

易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。

易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。

易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。

易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。

考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。

第一章数与式§1.1实数与二次根式考点1实数的分类与实数的有关概念1.(2022舟山,1,3分)若收入3元记为+3,则支出2元记为()A.1B.-1C.2D.-22.(2022绍兴,1,4分)实数-6的相反数是()A.-16B.16C.-6D.63.(2021杭州,1,3分)-(-2 021)= ()A.-2 021B.2 021C.-12 021D.12 0214.(2021湖州,1,3分)实数-2的绝对值是()A.-2B.2C.12D.−125.(2021丽水,1,3分)实数-2的倒数是()A.2B.-2C.12D.−12考点2实数的运算与实数大小的比较1.(2021温州,1,4分)计算(-2)2的结果是()A.4B.-4C.1D.-12.(2021宁波,1,4分)在-3,-1,0,2这四个数中,最小的数是()A.-3B.-1C.0D.23.(2022舟山,5,3分)估计√6的值在()A.4和5之间B.3和4之间C.2和3之间D.1和2之间4.(2022舟山,17(1),3分)计算:√83-(√3-1)0.5.(2022温州,17(1),5分)计算:√9+(-3)2+3-2-|−19|.6.(2022绍兴,17(1),4分)计算:6tan 30°+(π+1)0-√12.7.(2022金华,17,6分)计算:(-2 022)0-2tan 45°+|-2|+√9.8.(2021温州,17(1),5分)计算:4×(-3)+|-8|-√9+(√7)0.9.(2021丽水,17,6分)计算:|-2 021|+(-3)0-√4.考点3科学记数法1.(2022舟山,3,3分)根据有关部门测算,2022年春节假期7天,全国国内旅游出游251 000 000人次,数据251 000 000用科学记数法表示为() A.2.51×108 B.2.51×107C.25.1×107D.0.251×1092.(2022绍兴,2,4分)2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力,减排320 000吨二氧化碳.数字320 000用科学记数法表示是()A.3.2×106B.3.2×105C.3.2×104D.32×1043.(2022金华,3,3分)体现我国先进核电技术的“华龙一号”,年发电能力相当于减少二氧化碳排放16 320 000吨,数16 320 000用科学记数法表示为()A.1 632×104B.1.632×107C.1.632×106D.16.32×1054.(2022湖州,2,3分)2022年3月23日下午,“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲,神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课,某平台进行全程直播.某一时刻观看人数达到3 790 000人.用科学记数法表示3 790 000,正确的是()A.0.379×107B.3.79×106C.3.79×105D.37.9×105考点4实数的开方与二次根式1.(2021湖州,2,3分)化简√8的正确结果是()A.4B.±4C.2√2D.±2√22.(2020杭州,1,3分)√2×√3= ()A.√5B.√6C.2√3D.3√23.(2020宁波,11,5分)实数8的立方根是.4.(2021丽水,12,4分)要使式子√x−3有意义,则x可取的一个数是.基础练一、选择题(每小题3分,共33分)1.(2022衢州开化一模,)22的相反数是()A.122B.−122C.22D.-222.(2022金华模拟,)-6的倒数是()A.6B.-6C.-16D.163.(2022衢州开化一模,)2022年北京冬奥会收视率创历届新高,某视频平台与北京冬奥会相关视频的播放总量突破6 000 000 000次,6 000 000 000用科学记数法可表示为() A.6×109 B.0.6×1010C.60×108D.6×10104.(2022衢州常山一模,)在-2,0,-1,2这四个数中,最小的数是()A.-2B.0C.-1D.25.(2022温州文成一模,)数√2,-2,0,3中为无理数的是()A.√2B.-2C.0D.36.(2022杭州西湖一模,)在下列各数中,比-2 021小的数是()A.2 022B.2 020C.-2 022D.-2 0207.(2022台州玉环一模,)如果向东走5米记作+5米,那么-3米表示()A.向东走5米B.向西走5米C.向东走3米D.向西走3米8.(2022金华婺城一模,)正数2的平方根可以表示为()A.22B.±√2C.√2D.−√29.(2022温州乐清一模,)计算(-3)×5的结果是()A.2B.-2C.15D.-1510.(2022福建,)如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是()A.-√2B.√2C.√5D.π11.(2022台州玉环一模,)小明在学习《实数》这一章时,用两个面积为1的正方形以如图所示的方式拼出一个面积为2的正方形,则这个面积为2的正方形的边长的值大约在()A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间二、填空题(每小题4分,共4分)12.(2022宁波余姚一模,)若二次根式√3−x有意义,则x的取值范围是.三、解答题(共33分) 13.(2022福建,)计算:√4+|√3-1|-2 0220.14.(2022嘉兴嘉善一模,)计算:2 0220+(12)−1−√18.15.(2022杭州上城一模,)计算:√9+22−√83.16.新考法(2021河北,)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m 本甲种书和n 本乙种书,共付款Q 元. (1)用含m ,n 的代数式表示Q ;(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q 的值.提分练一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2022台州椒江一模,)若a 的相反数是2 022,则a 为( )A.-2 022B.2 022C.-12 022 D.12 022 2.(2022宁波江北二模,)无论x 取什么数,总有意义的代数式是( )A.√x 2B.4xx 3+1 C.1(x−2)2 D.√x +33.(2022杭州上城一模,)斑马线前“车让人”,反映了城市的文明程度,但行人一般都会在红灯亮起前通过马路.某人行横道全长24 m,小明以1.2 m/s的速度过该人处时,9秒倒计时灯亮了.小明要在倒计时结束前通过马路,他的速度行横道,行至13至少要提高到原来的()A.1.1倍B.1.4倍C.1.5倍D.1.6倍4.(2022杭州萧山二模,)已知a>0,a+b<0,则下列结论正确的是()>-1 D.a2+ab>0A.-a<bB.a-b<0C.ab5.(2022新疆,)将全体正偶数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第10行第5个数是()A.98B.100C.102D.104二、填空题(每小题4分,共24分)6.(2022陕西,)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则a-b.(填“>”“=”或“<”)7.(2022杭州西湖一模,)如图,点A,B分别表示数-x+3,x,则x的取值范围为.8.(2021丽水三模,)在如图所示的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格中的实数之积为 .9.(2021台州模拟,)观察下面的变化规律:21×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−17,27×9=17−19,……. 根据上面的规律计算:21×3+23×5+25×7+⋯+22 019×2 021= . 10.新考法(2022北京,)甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A ,B ,C ,D ,E ,每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下:甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂. (1) 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的Ⅱ号产品最多,写出满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号). 11.新设问(2022湖南长沙,)当今是大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中,尤其在全球“新冠”疫情防控期间,区区“二维码”已经展现出无穷威力,看似“码码相同”,实则“码码不同”.通常,一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方格组成,其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码,这相当于1 000个方格中只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识,这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码.现有四名网友对2200的理解如下:YYDS (永远的神):2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数; DDDD (懂的都懂):2200等于2002; JXND (觉醒年代):2200的个位数字是6;QGYW (强国有我):我知道210=1 024,103=1 000,所以我估计2200比1060大. 其中对2200的理解错误．．的网友是 (填写网名字母代号). 三、解答题(共31分) 12.(2022温州洞头二模,)计算:√9+2×(-3)+|-4|-(√5)0.13.(2022宁波余姚一模,)计算:|-2|+(13)−1-(√3-2 022)0.14.(2022金华婺城一模,)计算:(3-π)0-2sin 30°-√12+|1−2√3|.15.(2021绍模拟,)【算一算】如图①,点A、B、C在数轴上,B为AC的中点,点A表示-3,点B表示1,则点C表示的实数为,AC的长为;【找一找】−1、如图②,点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点A、B分别表示实数√22√2+1,Q是AB的中点,则点是这个数轴的原点;2【画一画】如图③,点A、B分别表示实数c-n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).图①图②图③。

二次根式相关的概念二次根式是数学中的一个重要概念，它是指具有形式√a的数，其中a表示一个实数。

在这篇文章中，我将详细介绍二次根式的相关概念，并解释其在数学中的应用。

首先，让我们正式定义二次根式。

一个二次根式可以写为√a，其中a表示一个实数。

实数可以是正数、零或负数。

二次根式可以分为两种类型: 简化的二次根式和非简化的二次根式。

一个简化的二次根式是指，它的根号下面的数没有其他平方数因子。

例如，√4是一个简化的二次根式，因为4可以分解为2的平方。

而√6就是一个非简化的二次根式，因为6不能被分解为任何平方数的乘积。

在实际计算中，我们通常喜欢使用简化的二次根式，因为它们更加简洁。

对于一个给定的非负实数a，如果存在一个实数x，使得x的平方等于a，则称x为a的平方根，记为√a。

平方根的概念是二次根式的基础，因为二次根式就是表示一个数的正平方根。

例如，√9的值是3，因为3的平方是9。

同样地，√16的值是4，因为4的平方是16。

二次根式还有一些重要的运算规则。

首先，对于任意两个非负实数a和b，可以使用以下规则进行运算:1. 加法和减法:√a ±√b = √(a ±b)2. 乘法:√a ×√b = √(a ×b)3. 除法:√a ÷√b = √(a ÷b)这些运算规则可以帮助我们简化和计算二次根式的值。

例如，我们可以使用乘法规则将√2 ×√3简化为√(2 ×3) = √6。

值得注意的是，对于负数的二次根式，存在一个虚数单位i，它表示平方根为负数的情况。

例如，√(-1) = i，因为i的平方等于-1。

负数的二次根式在复数的研究中非常重要，但在实数范围内我们通常只考虑非负实数的二次根式。

二次根式在数学中有着广泛的应用。

它们被广泛用于几何学、物理学和工程学等领域。

在几何学中，二次根式可以表示长度、面积和体积等物理量。

例如，一个正方形的边长为a，那么它的面积可以表示为√a。

专题复习 实数和二次根式知识点归纳：一．实数：1. 数的分类：或◆常见的几种无理数： ①根号型：如35,2等开方开不尽的数. ②三角函数型：如sin60°,cos45°等.③圆周率π型:如2π，π-1等. ④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数.◆ 相反数、倒数和绝对值：（1）实数a 的相反数是 ；（2）实数a （0≠a ）的倒数是 ；（3）若a a =， 则：a 0； 若a a -=，则：a 0.◆ 负指数幂、零指数幂：=-p a ， =0a (0≠a ).◆ 对无理数的估算：记住常用的：≈2 ；≈3 ；≈5 .◆ 科学记数法： （1）2030000用科学记数法表示为： ；（2）0.000203用科学记数法表示为： ；（3）-0.000203用科学记数法表示为： .2. 平方根的性质：（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a .（3） ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a )0()(2≥=a a a3. 立方根的性质：（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（2） a a =33 a a =33)(二．二次根式：1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。

2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。

3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。

4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。

5.二次根式运算法则：加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 除法：)0,0(>≥=b a ba b a6.常见化简：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(22a b a a b a b a )0(1>==a a a a a a a 或难点指导典型例题讲解及变式练习：例1.填空1. 的平方是_________；的平方根是_________，的算术平方根是__________2. 16的算术平方根的平方根是_________，的算术平方根是__________3.已知的负的平方根为－5，则x＝_________4.若16的平方根是a，b的绝对值是5，则a＋b＝_________5.－0.064的立方根是_________，4的立方根是__________6. 表示__________，表示__________7.平方根是它本身的数是_______，算术平方根是它本身的数是_______，立方根是它本身的数是______________8.若，则___________9.把下列各数分别填入相应的空内，0，，3，0.15，，，，，3.14159，，0.2020020002…（1）整数：___________________________（2）分数：___________________________（3）正数：___________________________（4）负数：___________________________（5）有理数：___________________________（6）无理数：___________________________10. 的相反数是___________，的绝对值是________，的倒数是__________。