高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）
1．（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，
，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线
在点处的切线分别为，且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.
?
·
|
|
1C 1(2,0)F -2F ()
20,(2,3)A 1C A L 2
2:4C x y =B C ,2C B C ,12l l ,1l 2l P 1C 1212PF PF AF AF +=+P P P
2． （本小题满分14分）已知点P 是椭圆上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦 点， O 为坐标原点，动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，。 (I)求动点Q 的轨迹E 的方程； (II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E 于两点且，求三角形面积的取值范围。
【
~
—
、
2
212
x y +=l ,A B OA OB ⊥OAB S
）
3．（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为， 动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM （O 为坐标原点）为直径且 被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线
段ON 的长为定值，并求出这个定值．
`
'
；
【
22221(0)x y a b a b
+=>
>1,)2
P 2(2,)(0)M t t >3450x y --=
:
4．（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为
，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A 、B 在轴的上方）. （1）求双曲线的标准方程；
（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.
》
；
!
Γ3
3
2ΓP Γ,A B x ΓOA OB ⋅
。
:
高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）答案
1．（本题满分14分）解法1：设椭圆的方程为,
依题意: 解得: ∴ 椭圆的方程为. 解法2：设椭圆的方程为，
根据椭圆的定义得，即， ………1分
∵， ∴. ………2分
∴ 椭圆的方程为
. ?
(2)解法1：设点,，则， ，∵三点共线, （∴. ∴,
化简得：. ① 由,即得. 1C 22
221x y a b
+=()0a b >>222222231,4.
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
2
216,
12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 2211612x y +=1C 22
221x y a b
+=()0a b >>1228a AF AF =+=4a =2c =222
12b a c =-=1C 22
11612
x y +=)41,
(211x x B )41,(222x x C ))(4
1,(212212x x x x --=)4
13,2(2
11x x -
-=C B A ,,BC BA //()()()22
2
2
11211
113244x
x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝
⎭12122
12x x x x ()+-=24x y =2
14y x ,=y '=12
x
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ 设点，由②③得：， 而，则 .代入②得 ， 则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.
—
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. 解法2：设点,，，
由,即得. ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① 同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，∵点在直线上， ∴. ∴点的轨迹方程为
. 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，
∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.
!
2C B 1l )(2411121x x x x y -=-
2114
1
2x x x y -=2C C 2l 2
224
12x x x y -=
),(y x P =-211412x x x 2
224
12x x x -21x x ≠)(2121x x x +=
214
1
x x y =212x x x +=214x x y =1244=-y x P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C P 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C 1212PF PF AF AF +=+P ),(11y x B ),(22y x C ),(00y x P 2
4x y =2
14y x ,=
y '=12
x 2C B 1l )(2111x x x y y -=
-2111212x y x x y -+=2114
1
x y =112y x x y -=),(00y x P 1l 101
02
y x x y -=
202
02
y x x y -=
),(),,(2211y x C y x B y x x
y -=
002),(),,(2211y x C y x B L y x x
y -=002)3,2(A L 300-=x y P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C
