函数的对称性
一、 三角函数图像的对称性
1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。
6、 )(x a f y -=与)(b x f y -=关于直线2b a x +=
对称。 二、单个函数的对称性
一、函数的轴对称：
定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2
b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
二、函数的点对称：
定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.
推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.
推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
性质5：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b
+，2c
）对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。
5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。
6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。
7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。
例1：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）
（第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
例2.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，
f (x) = －21
x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）
例3．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数
)(x g = 。
例4．函数)()(a x f y a x f y +-=-=与函数的图象关于 对称
（2017全国卷 ）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）
A ．1
-２ B ．13 C ．1
2 D ．1
【答案】C
【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )
4442(e e )2(e e )
x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++
∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，
由题意，()f x 有唯一零点，
∴()f x 的零点只能为1x =，
即21111
f a--+
=-⋅++=，
(1)121(e e)0解得1
a=．
2
