第四节 锐角三角函数与解直角三角形

3
2
=



6
= ，
∴ a =3 3.
由勾股定理得 b = 2 − 2 = 36 − 27 = 3 .
已知一锐角和一边解三角形中的两锐角互
余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已
知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已
5
3
= ，
5
H
2.如图，在△ABC 中，sinB
AC 的长为(
1
= ，tanC
3
=2，AB = 3，则
)
A. 2
B.
5
2
C. 5
D.2
A
B
C
解：如图，过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADC=∠ADB=90°，
A
∵ tanC =2 =

，sinB

1
3
= =

，

∴ AD =2DC，AB =3AD，
∠A的邻边
∠B的邻边
A
a
b
C
知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
1.根据下列条件，解直角三角形：
(1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =20，c =20 2；
解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，


则 sinA = =
20
20 2
=
2
2
，
∴ ∠A =45°，∴ ∠B =90°-∠A =45°，∴ b =a=20.
按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然
后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C 所

锐角三角函数和解直角三角形开心一刻四十出头的莉莲心脏病突发，被送往医院急救。

病情十分糟糕，莉莲感觉自己几乎都已经死了。

抢救中，莉莲突然听见了上帝的声音：“不，你不会死的，你还可以活45年6个月零两天，鼓起勇气活下去！”当然，结果是莉莲奇迹般地被救活了。

身体复原后，莉莲想到自己还能活40多年，便没有急着出院，先是修脸，接着是补唇，然后是隆胸，最后是瘦腹，一古脑儿连续做了4个美容手术，然后又叫了专业美发师上门服务，改换了发色、做了个新潮发型，整个儿看起来年轻了十几岁。

当最后一个整形手术完成后，莉莲便高高兴兴地办理了出院手续，没想到在门口却被一辆急速驶过的救护车撞死了。

到了天堂后，莉莲生气地质问上帝：“既然你说过我还可以活45年，那么你就不应该食言。

”上帝尴尬地耸了耸肩，答道：“真是对不起，当时，车子撞你时……我没认出是你。

”一、知识点回顾1、锐角三角函数①sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． ②锐角三角函数取值范围 ③特殊角三角函数值④增减性⑤锐角三角函数间的关系 （1）余角 （2）同角2、解直角三角形 ①解直角三角形的概念 ②解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．③如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B ＝_____，30° 45° 60° sin α cos α tan αα abcc ba A C B（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．④如图仰角是____________,俯角是____________．⑤如图方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． ⑥如图坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．二、专题讲解专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝3【变式训练】在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35B ．45C ．34D ．43专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值． 例2 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．【变式训练】（1）－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60° （2）312-⎛⎫ ⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用αAC B 45︒南北西东60︒A DC B 70︒OO A B C【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例3 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，BC ＝14，AD＝12，sin B ＝45． (1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值.【变式训练】如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．例4 如图所示，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C 处，则此时小船距港口A 多少海里?(结果保留整数，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391，3≈1.732)【变式训练】如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．三、巩固练习（1）当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值．（2）某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，•AB＝•200m，CD＝100m，求AD、BC的长（精确到1m，3≈1.732）四、拓展训练如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°．AE＝DE，AC、BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2cm，求图中阴影部分的面积．五、反思总结锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）一、选择题1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为 ( )A ．43 B ．45 C ．54 D ．342．已知α为锐角，tan α＝3，则cos α等于 ( )A ．12B ．22C ．32D ．333．如图28－143所示，为了确定一条小河的宽度BC ，可在C 左侧的岸边选择一点A ，使得AC ⊥BC ，若测得AC ＝a ，∠CAB ＝θ，则BC 等于 ( )A ．a sin θB ．a cos θC ．a tan θ D. tan aθ4．某同学想用所学的知识测量旗杆的高度，在地面距旗杆底部5 m 远的地方，他用测倾器测得旗杆顶部的仰角为α，且tan α＝3，则旗杆高等于(不计测倾器的高度) ( ) A ．10 m B ．12 m C ．15 m D ．20 m5．如图28－144所示，测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D 处，在D 处测得山顶B 的仰角为60°，则山的高度BC 大约是(结果保留小数点后两位) ( )A ．1366．03米B ．1482．12米C ．1295．93米D ．1508.21米6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝6，sin B ＝23，那么AB 的长是 ( ) A ．4 B ．9 C ．35 D ．25 7．如图28－145所示，在高楼前的D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到达C 点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼的高度大约为 ( )A ．82米B ．163米C ．52米D ．70米 8．某人沿倾斜角为B 的斜坡前进100米，则他上升的最大高度是 ( )A. 100sin β米B.100sin β米 C ．100cos β米 D ．100cos β米9．铁路路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为2：3，上底宽6米，路基高4米，则路基的下底宽为 ( )A ．18米B ．15米C ．12米D ．10米10．观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．12．如图28－146所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝13，BC＝10，则AB 的长为 ．13．当x ＝sin 60°时，代数式2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-的值是 ．14．已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．15．若∠A ，∠B 互余，且tan A －tan B ＝2，则tan 2A ＋tan 2B ＝ ． 16．如图28－147所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，cos B＝513，则这个菱形的面积是 . 17．已知正方形ABCD 的边长为1，若将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点D ′处，则∠BAD ′的正弦值为 . 18．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．19．在△ABC 中，∠B ＝30°，tan C ＝2，AB ＝2，则BC ＝ ．20．设θ为锐角，且x 2＋3x ＋2sin θ＝0的两根之差为5．则θ＝ ． 三、解答题21．如图28－149所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 边上，BD ＝4，AD ＝BC ，cos ∠ADC ＝35．(1)求DC 的长；(2)求sin B 的值．22．如图28－150所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东60°方向上，向正东方向航行8海里后到达C处，又测得该灯塔在它的北偏东30°方向上，若渔船不改变航向，继续向正东方向航行，有没有触礁的危险?通过计算说明理由．23．如图28－151所示，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处、楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(结果保留小数点后两位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)24．如图28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)为1：3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．25．阅读下面的材料并回答问题．如图28－153所示，在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过A 作AD ⊥BC 于D ，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即s i n b B ＝sin cC，同理，sin c C ＝sin a A ，sin a A ＝sin b B ，所以sin a A ＝sin b B ＝sin cC ，即在—个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a ，b ，∠A ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B ，∠C ，请你按照下面的步骤填空，完成求解过程；第一步：由条件a ，b ，∠A −−−−→用关系式求出∠B ；第二步：由条件∠A ，∠B −−−−→用关系式求出∠C ；第三步：由条件 −−−−→用关系式求出c ；(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在它的北偏西30°方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度沿北偏东45°方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°方向上(如图28－154所示)，求此时货轮与灯塔A 的距离AB ．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 40°≈0．643，sin 65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin 75°≈0．966)。

锐角三角函数的定义与三角形边的关系
总结词
锐角三角函数的定义与三角形边的关系是密切相关的。锐角三角函数是描述直角三角形中锐角与边之 间的比例关系的函数。
详细描述
锐角三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示直角三角形中锐角与边的比例关系 。这些函数可以帮助我们解决与直角三角形相关的问题，例如找到未知边的长度或确定三角形的形状 。
建筑结构设计
建筑结构设计中，利用直 角三角形的边角关系可以 提高建筑物的稳定性和抗 震性能。
工程测量
工程测量中，利用直角三 角形的边角关系可以确定 地形的形状和大小。
航海中如何利用直角三角形定位
航道导航
航海中，利用直角三角形可以计算船只的位置和 航向，以确保航行安全。
海洋资源调查
为了确定海洋资源的分布和位置，利用直角三角 形进行海洋资源调查。
三角形的面积公式
总结词
三角形的面积公式是计算三角形面积的 基本方法，它基于三角形的底和高来计 算面积。
VS
详细描述
三角形的面积公式是：面积 = (底 × 高) / 2。这个公式可以帮助我们计算任何三角 形的面积，只要我们知道三角形的底和高 。这个公式在几何学中非常有用，因为它 可以帮助我们解决与三角形面积相关的问 题。
性质
正切函数随着角度的增加而增加，没有极限值。
02
直角三角形的边角关系
勾股定理
总结词
勾股定理是直角三角形中一个非常重要的边角关系，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
详细描述
勾股定理是几何学中一个基本的定理，它告诉我们，如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方 和等于斜边的平方。这个定理在解直角三角形的问题中非常有用，因为它可以帮助我们找到未知边的长度。

m 的形式.m的值的顺口溜为：1， 2
②正切值可表示为
m
的形式.m的值的顺口溜为：3，9，27.
三、解直角三角形
•１、直角三角形中，除直角外，一共有五个元素， 即 和 . 在直角三角形中，由已知元素求 元素的过程， 就是解直角三角形. •２、在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ、ｂ、 ｃ 分别是∠Ａ∠Ｂ∠Ｃ的对边. 在解直角三角形的过程中，常用的边角关系： （１）三边之间的关系： ； （２）两锐角之间的关系： ； （３）边角之间的关系：sinA=
中考真题· 实战演练
一、选择题(每小题10分，共50分) 1.(2010·哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， AB＝7，则BC的长为( (A)7sin35° (C)7cos35° ) (B) (D)7tan35°
【解析】选C.由三角函数的定义可知.
2.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 1 ，则sinB＝(
一、锐角三角函数的概念以性质
• 1、锐角三角函数的概念： 在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A、∠B、 B
∠C的对边分别是a、b、c，如图.
A的对边 (1) s in A 斜边 A的邻边 （2） cos A 斜边 A的对边 (3) tan A A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的
10 . 2008 · （ 龙岩中考）如图，在 Rt△ ABC中，CAB 90 ，AD 1 是CAB的平分线， B , tan 2 则CD :DB
小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一 般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，选用适当锐角三角形 函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．