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2021年高考数学一轮复习 8-7 抛物线课时作业 文一、选择题1．若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )A ．y2＝8xB ．y2＝－8xC ．x2＝8yD ．x2＝－8y解析：由题意知点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F(0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x2＝8y.选C. 答案：C2．(xx 年成都质检)已知过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2×3＝6，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝8，故选B. 答案：B3．(xx 年合肥质检)下列双曲线中，有一个焦点在抛物线x2＝2y 准线上的是( ) A ．8x2－8y2＝1 B ．20x2－5y2＝1 C ．2y2－2x2＝1 D ．5y2－20x2＝1解析：求出抛物线的准线，依次判断求解．抛物线x2＝2y 的准线方程为y ＝－12，所以双曲线的一个焦点是⎝⎛⎭⎫0，－12，即焦点在y 轴上，排除A 和B ；双曲线2y2－2x2＝1即y212－x212＝1，焦点坐标是(0，±1)，排除C ；双曲线5y2－20x2＝1即为y215－x2120＝1，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，±12，故选D. 答案：D4．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线C2：y2＝4x 的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：依题意可得a ＝b ，即双曲线渐近线的斜率为±1，不妨令直线l 的方程为y ＝x ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y2＝4x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，此时点P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，故选D. 答案：D5．(xx 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4 FQ →，则|QF|＝( ) A.72B.52C ．3D ．2解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM|＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH|＝|QF|. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ||MF|＝|PQ||PF|＝34，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3. 答案：C 二、填空题6．斜率为1的直线l 经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB 的长为________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(1,0)，则有直线l ：y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y2＝4x ，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x2－6x ＋1＝0，x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.答案：87．(xx 年烟台模拟)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AM|＝54|AF|，则k 的值为________．解析：设A(x0，y0)，又M ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋p2，因为|AM|＝54|AF|，所以⎝⎛⎭⎫x0＋p 22＋y20＝54⎪⎪⎪⎪x0＋p 2， 两边平方并化简得y20＝916⎝⎛⎭⎫x0＋p 22， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y0x0＋p 2＝34， 所以k ＝y0x0＋p 2＝±34，故答案为±34.答案：±348．已知直线l 与抛物线y2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．解析：由y2＝8x 知2p ＝8，∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k(x －2)，点A ，B 的坐标分别为(xA ，yA)，(xB ，yB)．又点A(8,8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)． ①将①代入y2＝8x ，整理得2x2－17x ＋8＝0，则xA ＋xB ＝172，∴线段AB 的中点到准线的距离是xA ＋xB 2＋p 2＝174＋2＝254.答案：254三、解答题9.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率． 解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． ∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为kPA ，直线PB 的斜率为kPB ，则kPA ＝y1－2x1－1(x1≠1)，kPB ＝y2－2x2－1(x2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA ＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1， ① y22＝4x2， ② ∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4. 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)， ∴kAB ＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)． 10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y2＝2px 联立，从而有4x2－5px ＋p2＝0.所以x1＋x2＝5p 4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p ＝4，则4x2－5px ＋p2＝0即x2－5x ＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而，B(4，42)．设C(x3，y3)，则OC →＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. B 组 高考题型专练1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F ，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( ) A ．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B ．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C ．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D ．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| 解析：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP1|＝x1＋p 2，|FP2|＝x2＋p 2，|FP3|＝x3＋p 2，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p 2＋x3＋p2＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p ，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.答案：C2．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：设点P(x0，y0)，则点P 到准线x ＝－2的距离为x0＋2，由抛物线定义得x0＋2＝42，x0＝32，则|y0|＝26，故△POF 的面积为12×2×26＝2 3.答案：C3．(xx 年郑州第一次质量预测)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2解析：由题意可设直线方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p 2，y2＝2px ，消参得4x2－12px ＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∵线段AB 的中点的横坐标为3，∴3p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1. 答案：C4．(xx 年高考辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C ：y2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34D.43解析：由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A 与抛物线y2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k>0，则可得切线方程为y －3＝k(x＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x ＋2，y2＝8x ，消去x 得ky2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.答案：D5．(xx 年济南期末考试)已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．解析：设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－16．过抛物线C ：y2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.解析：∵y2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F(1,0)． 又A 到抛物线准线的距离为4，∴xA ＋1＝4，∴xA ＝3. ∵xAxB ＝p24＝1，∴xB ＝13.∴|AB|＝xA ＋xB ＋p ＝3＋13＋2＝163.答案：1637．设抛物线C ：y2＝2px(p>0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O)，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线C 于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于点B ，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________. 解析：A 取特殊位置上的点⎝⎛⎭⎫p2，p ，则A 与B 重合， ∴|OA|·|OB|＝|OA|2＝⎝⎛⎭⎫p 22＋p2＝54p2.又kPQ ＝kOA ＝2，∴直线PQ 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入y2＝2px ，得4x2－6px ＋p2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由抛物线的定义得|FP|·|FQ|＝⎝⎛⎭⎫x1＋p 2⎝⎛⎭⎫x2＋p 2＝x1x2＋p 2(x1＋x2)＋p24＝p24＋p 2×3p 2＋p24＝5p24，所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0. 答案：08．(xx 年西安质检)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 解析：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x2＝4cy ， 由|0－c －2|2＝322结合c>0，解得c ＝1，所以抛物线C 的方程为x2＝4y.(2)抛物线C 的方程为x2＝4y ，则y ＝14x2，求导得y′＝12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)⎝⎛⎭⎫其中y1＝x214，y2＝x224， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA 的方程为y －y1＝x12(x －x1)， 即y ＝x12x －x212＋y1，即x1x －2y －2y1＝0.同理可得切线PB 的方程为x2x －2y －2y2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x －2y0－2y ＝0的两组解， 所以直线AB 的方程为x0x －2y －2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x0x －2y －2y0＝0，x2＝4y ，消去x 整理得y2＋(2y0－x20)y ＋y20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1. 又点P(x0，y0)在直线l 上，所以x0＝y0＋2， 所以y20＋x20－2y0＋1＝2y20＋2y0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y0＋122＋92，所以当y0＝－12时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.28348 6EBC 溼 31558 7B46 筆 {25584 63F0 揰 21650 5492 咒\24329 5F09 弉26924 692C 椬33621 8355 荕36747 8F8B 辋23074 5A22 娢h。
第七节抛物线[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质[常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12B [如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.]4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是 ．y 2＝－x 或x 2＝－8y [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1，∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .]考点1 抛物线的定义及应用 (1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化． ②注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p2.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．(1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.52B.32C ．1D ．3 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为 ．(1)B (2)4 [(1)∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程x ＝－14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋14＋x 2＋14＝3.解得x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点横坐标为54，∴线段AB的中点到准线的距离为54＋14＝32.故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][母题探究]1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．[解] 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ .6[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]考点2 抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019·潍坊模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为( ) A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝15x 2(2)[一题多解]在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝ .(1)B(2)4[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos ∠AFO＝4.]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]2.如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝xB[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝43，∵AE∥FG，∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.] 考点3 直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 条．(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .①若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； ②若AP →＝3PB →，求|AB |.(1)3 [(1)结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．](2)[解] 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2.①由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋ty 2＝3x，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而由－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.②由AP →＝3PB →得y 1＝－3y 2.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋ty 2＝3x，得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.解答本例(2)第②问的关键是从条件“AP →＝3PB →”中发现变量间的关系“y 1＝－3y 2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．[教师备选例题]1．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0， 故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 2．(2019·金华模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)在第一象限内的点P (2，t )到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存存，请说明由．[解](1)∵点P (2，t )到焦点F 的距离为52，∴2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2,2)， ∴l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎨⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，∴|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，①由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0，∴直线l 2：x ＝ny ＋2，∵圆心M (a,0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n2， ∴|DE |＝212－a －221＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，∴存在实数a ＝2，使得|DE |为定值．1.[一题多解]过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4 B.92 C ．5D ．6B [法一：(直接法)易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.法二：(应用性质)由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法三：(应用性质)因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.]2．(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围． [解](1)证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4， 又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1. ∴M (1，－2＋b )． 又点M 在抛物线内部， ∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b. ∴|BC|＝1＋4|x3－x4|＝5·x3＋x42－4x3x4＝5×64＋16b.又b＞94，∴|BC|＞10 5.∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．。
第7课时 抛物线知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． y ＝2px (p ＞0) y ＝－2px (p ＞0) x ＝2py (p ＞0) x ＝－2py (p ＞0)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．(×) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .(√)(6)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.(×)(7)抛物线y 2＝2x 的对称轴是y 轴．(×)(8)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)(9)点M 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＋6＝0的距离小2，则M 点的轨迹是抛物线，其方程为x 2＝16y .(×)(10)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率．(√)[例1] (1)(2016·高考全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx(k ＞0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D (2)(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9. 答案：9(3)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．解析：如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 答案：4[方法引航] 涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p2(焦点在x 轴上)或|PF |＝|y |＋p2(焦点在y 轴上).1．若将本例(3)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.2．若将本例(3)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值． 解：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.3．若将本例(1)改为：设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3，选C.[例2] A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)解析：∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D. 答案：D(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．解析：∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，则抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2(3)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，得y ＝－a 2， 故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 216，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .答案：B(4)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( ) A ．2∶ 5 B ．1∶2 C ．1∶ 5 D ．1∶3解析：如图由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH .即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN |＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 答案：C[方法引航] (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. (2)求抛物线方程应注意的问题①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种. ②要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.③要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2解析：选A.由y ＝14x 2得x 2＝4y ，焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.故选A.2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y解析：选D.将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a ＞0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112.当a ＜0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. 所以抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .3．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的标准方程是________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD 交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 为AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x[例3] (1)(2017·河北石家庄二模)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB ＝22，则|AB |＝( ) A ．4 B ．8 C ．3 2 D ．10解析：如图，F (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1⇒y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，又∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )，∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝2 2.即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝22⇒y 1－y 2＝42m 2，∴4m 2＋1＝42m 2⇒m 2＝1，∵|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋4＝8. 答案：B (2)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .①求|OH ||ON |；②除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：①由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，所以ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.②直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．[方法引航] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3 D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝42，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－22，则B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3，故选D. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又|AB |＝ 1＋m 2|y 1－y 2|＝ (1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[方法探究]抛物线的“焦点”访谈直线与抛物线相交，当直线过焦点时，经常用到一些特殊的结论：设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦(称为焦点弦)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则有：(1)x 1x 2＝p 24；(2)y 1y 2＝－p 2；(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，当且仅当x 1＝x 2时，弦长最短为2p (称为通径)；(4)弦长|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)；(5)1|F A |＋1|FB |＝2p； (6)以AB 为直径的圆与准线相切；(7)焦点F 对A ，B 在准线上的射影的张角为90°.[典例] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2[解析] 法一：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.故选C. 法二：若得出y A ＝22， ∴由y A ·y B ＝－p 2＝－4，∴y B ＝－2，S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝322.法三：由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，不妨设A (2，22)，则S △OAF ＝2，又知0<S △OBF <S △OAF ＝2，故2<S △AOB <22，结合选项知选C. [答案] C[回顾反思] 本题中的法一是利用抛物线的定义转化|AF |，直接求A 、B 两点来求面积；法二利用了直线过焦点的特殊结论，y A ·y B ＝－p 2得y 0；法三利用几何特征来估算．[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：选B.不妨设C ：y 2＝2px (p ＞0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝⎛⎭⎫4p 2＋8＝⎝⎛⎭⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2014·高考课标卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选A.由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设点A 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.3．(2015·高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x－2a )，即ax －y －a ＝0. y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．课时规范训练 A 组 基础演练1．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，18B.⎝⎛⎭⎫－18，0C.⎝⎛⎭⎫0，－12D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选C.把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝12，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，故选C.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝2，|PQ |＝4，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝2xD ．y 2＝6x解析：选A.由抛物线的定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又x 1＋x 2＝2，所以p ＝2，即抛物线的方程是y 2＝4x .故选A.3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p2＝2，∴抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.5．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称．若2x 1x 2＝－1，则2m 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：选A.由y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m,2x 1x 2＝－1，以及y 1＝2x 21，y 2＝2x 22可得x 2－x 1＝y 1－y 2＝2(x 21－x 22)，x 1＋x 2＝－12，2m ＝(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝2(x 21＋x 22)＋12＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋12＝2×14＋2＋12＝3，故选A. 6．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________． 解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 答案：x 2＝12y 7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 解析：设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.答案：28．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为yA ＋44＝14＋1＝54.答案：549．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明：法一：设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A .∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B . 则k OC ＝y B －p 2＝2p 2y A p ＝2p y A ＝y 2A x A ·1y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .法二：如图，设准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D . 则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ，则 |EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |，即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． B 组 能力突破1．如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p ＞0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A ．p 2B.p 24 C .p 22 D.p 23 解析：选B.设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p 2＝x 1， 同理|CD |＝x 2.故AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24. 2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3解析：选C.∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212. 由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12. 3．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB＝( )A.45B.35C.34D.55解析：选 B.由抛物线方程可知焦点F 的坐标为(0,1)．联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.令A (－2,1)，则B (4,4)，∴|AB |＝36＋9＝35，|AF |＝4＋0＝2，|BF |＝16＋9＝5，∴在△ABF 中，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF ||BF |＝4＋25－452×2×5＝－45，∴sin ∠AFB ＝ 1－1625＝35，故选B. 4．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是__________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6，直线与抛物线方程联立消去x 可得m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0.∴y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2，可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 法二：|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.而|AB |＝2p sin 2α，∴sin 2α＝12，即sin α＝22. α＝45°或135°，∴k ＝1或－1.AB 的方程为y －1＝x ，或y －1＝－x .答案：y －1＝x 或y －1＝－x5．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)． 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得 y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。
第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是( )A.3x ＋y ＋2－4 3＝0B.3x ＋3y ＋6－4 3＝0 C ．x ＋3y －2 3－4＝0 D ．x ＋3y ＋2 3－4＝02．已知经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．23．已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A ．－2或1 B ．2或1 C ．－2或－1 D ．2或－14．直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.13 B.23 C ．－32 D ．－135．若A(1，－2)，B(5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________．6．若直线l 先沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是__________．7．(2016年北京)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．88．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．9．直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程； (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．10．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截得的线段AB以P为中点，求直线l的方程．－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．11．求经过点A()第2讲 两直线的位置关系1．(2016年湖北模拟)若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( ) A ．－2 B ．－3C ．2或－3D ．－2或－32．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．103．先将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋14．已知两条直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32，－1和－126．已知a≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B. 2 C ．4 D ．27．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n)重合，则m ＋n ＝( )A ．4B ．6 C.345 D.3658．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．9．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为2 2，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)10．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程为__________________．11．已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．12．已知点A(－3,5)，B(2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使得||PA ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．(2016年新课标Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．22．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A.5＋3 B ．6 5＋14C ．－5＋3D ．－6 5＋143．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 24．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的方程为______________________．5．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．6．(2016年浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．7．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．8．已知圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C 的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l 的方程及△POM 的面积．11．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．第4讲 直线与圆的位置关系1．(2015年安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b ＝( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或122．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 23．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y ＋3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝04．(2015年重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2105．(2015年山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－346．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．37．(2017年广东调研)若直线x ＋y ＝1与曲线y ＝a －x 2(a>0)恰有一个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝12B ．a>1或a ＝12C.12≤a<1D.12<a<1 8．(2016年新课标Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD|＝____________.9．(2016年吉林实验中学三模)已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线3x －y ＝0上，该圆与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为2 7，直线l ：kx －y －2k ＋5＝0与圆C 相交．(1)求圆C 的标准方程；(2)求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长．10．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON(O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．11．(2015年广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．第5讲 椭 圆1．从椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.322．椭圆x 249＋y224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．283．点P 在椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是( )A.57B.56C.45D.354．(2016年新课标Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.345．(2016年湖南常德模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，设直线PA ，PB ，PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，若k 1²k 2＝－14，则k 3²k 4＝( )A.32 B ．－83 C ．－38D ．－4 6．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2016年江苏)如图X751，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图X7518．(2015年陕西)如图X752，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图X7529．已知椭圆C ：y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →²OF →的取值范围．第6讲 双曲线1．(2015年湖南)若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.532．(2017年新课标Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a －y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B．(2，2) C ．(1，2) D ．(1,2)3．如图X761，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过焦点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )图X761A.13B.15 C ．2 D. 34．(2017年新课标Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.325．(2015年新课标Ⅰ)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→²MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 23，2 23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2 33，2 33 6．(2016年天津)已知双曲线x 24－y2b＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y23＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y212＝1 7．(2017年黑龙江哈尔滨质检)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．68．(2017年山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为______________．9．(2016年上海)双曲线x 2－y 2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB|＝4，求直线l 的斜率．10．(2016年江西上饶横峰中学第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝3相切，过双曲线C 的左焦点且斜率为3的直线与圆O 相切．(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A ，B 两点，△AOB 的面积为3 2，求直线l 的方程．第7讲 抛物线1．已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．43．(2016年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.524．已知M 是y ＝x 24上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．105．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k>0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2015年浙江)如图X771，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X771A.|BF|－1|AF|－1 B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1 7．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 38．(2017年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83B.8 33C.163D.16 339．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点F 是椭圆C 1的顶点．(1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →²FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2017年北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P(1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．第8讲 轨迹与方程1．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝122．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ|＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线3．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ²k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b24．已知双曲线C 1：x 2a －y 2b＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1 的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝8yC ．x 2＝4 2yD ．x 2＝8 2y5．记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线6．(2017年天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC ＝120°，则圆的方程为____________．7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________．8．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P的轨迹C 的方程为____________．9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左右焦点．(1)设椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎪⎫22，32到F 1，F 2两点距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程； (2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F 2且斜率为1的直线与其相交于A ，B ，求△ABF 1的面积；(3)在(1)的条件下，设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ²k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年新课标Ⅱ)设点F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 32．(2015年山东日照模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) A.32 B.2 32C.9 32 D.2 3273．已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过点P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y24＝1 4．(2013年新课标Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y29＝1 5．如图X791，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若|AF|＋|BF|＝6，则点D 的横坐标为____________．图X791 图X7926．如图X792，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．7．椭圆x 2＋4y 2＝4的长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．9．(2015年陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c. (1)求椭圆E 的离心率；(2)如图X793，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图X79310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M(1,0)且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积的最大值．第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．B2．B 解析：由2y ＋1－ －3 4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0.∴a ＝－1，或a ＝－2. 4．D 解析：设P(a,1)，Q(7，b)， ∵线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，∴由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋72＝1，b ＋12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3.故P(－5,1)，Q(7，－3)．直线l 的斜率为1＋3－5－7＝－13.故选D.5．x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0 解析：方法一，设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a.由题意，得M(3,2)．若a ＝0，即直线l 过点(0,0)和(3,2)．所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点M(3,2)，所以3a ＋2a ＝1.所以a ＝5.此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二，易知M(3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k≠0， 则直线l 的方程为y －2＝k(x －3)．令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k.所以3－2k ＝2－3k.解得k ＝－1或k ＝23.所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.6．－137．C 解析：线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x≤4，即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4.因为P(x ，y)在线段AB上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7.故2x －y 的最大值为7.8．解：由题意知，直线l 的斜率为32.故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b.直线l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，解得b ＝－35.所以直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.9．解：(1)如图D128设直线l 的方程为图D128x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.10．解：方法一，设直线l 的方程为y ＝k(x －3)，将此方程分别与直线l 1，l 2的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x－3 ，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x－3 ，x ＋y ＋3＝0， 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1.∵P(3,0)是线段AB 的中点， ∴3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6.解得k ＝8. 故所求的直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 方法二，设直线l 1与AB 的交点A 的坐标为(x 1，y 1)，∵P(3,0)是线段AB 的中点，∴直线l 2与AB 的交点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0， 6－x 1 ＋ －y 1 ＋3＝0. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式得直线l 的方程为y －0163－0＝x －3113－3，即8x －y －24＝0. 11．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb＝1(a<－2，b>2)．∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b 2－b.∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2²2b 2－b ＝b2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b－2 ＋4b －2＋4 ≥2b－2 ²4b －2＋4＝8.当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时取等号，S 最小．此时a ＝－4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k(x ＋2)，显然k>0，由题意，得S ＝12||2k ＋2²⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≥8. 当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求的直线方程． 第2讲 两直线的位置关系1．C 解析：∵直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，∴－2m ＋1＝－m3.解得m ＝2或－3.2．A 解析：由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．A4．A 解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m(m ＋2)－3＝0.解得m ＝1或m ＝－3.故选A.5．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P(－1，－2)．若点P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12，此时三条直线交于一点P ；若k ＝32或k ＝－1，则有两条直线平行．故k≠－12，32和－1.6．D 解析：由直线垂直，可得a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0，变形可得a 2＋b 2＝4.由基本不等式，可得4＝a 2＋b 2≥2ab.∴ab≤2.当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴ab 的最大值为2.7．C 解析：由题可知坐标纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3.它也是点(7,3)与点(m ，n)连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2³7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.8．2 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8.则直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 9．①⑤ 解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，设直线m 与l 1的夹角为θ，则有sin θ＝22 2＝12.所以θ＝30°.而l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.10．2x ＋3y ＋1＝0 解析：因为点P(2,3)在已知直线上， 所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0.所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23.所以所求直线方程为y －b 1＝－23(x －a 1)．所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0. 11．解：正方形中心G(－1,0)到四边的距离均为 |－1－5|12＋32＝610. 设与已知直线平行的一边所在直线的方程为 x ＋3y ＋c 1＝0， 则|－1＋c 1|10＝610，即|c 1－1|＝6.解得c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知边所在直线平行的直线的方程为x ＋3y ＋7＝0. 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0， 则|3³ －1 ＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6.解得c 2＝9或c 2＝－3.故正方形另两边所在直线方程为 3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为 x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.12．解：由题意知，点A ，B 在直线l 的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点A′，再连接A′B，则直线A′B 与l 的交点P 即为所求．事实上，设点P′是l 上异于点P 的点，则||P′A ＋||P′B ＝||P′A′＋||P′B >||A′B ＝||PA ＋||PB .设A′(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x ＋3²34＝－1，3²x －32－4²y ＋52＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.∴A′(3，－3)．∴直线A′B 的方程为18x ＋y －51＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，18x ＋y －51＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝3.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3.第3讲 圆的方程1．A 解析：由x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0配方，得(x －1)2＋(y －4)2＝4，所以圆心坐标为(1,4)，半径r ＝2.因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，所以|a ＋4－1|a 2＋12＝1.解得a ＝－43.故选A. 2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即 －2 2＋12＋3＝5＋3.故选A.3．D 解析：由题意知圆心C(2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0.整理，得a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b)＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ³2ab ＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m)2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0. ∴2＜m ＜4，当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a.则(4－a)2＝a 2＋22.解得a ＝32.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5，a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不表示圆．7．(x －1)2＋y 2＝2 解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝1－2 2＋ 0＋1 2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a)．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a>0，r ＝2a.又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a)2，所以a ＝1.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y±1)2＝3.10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y)．由题设知CM →²MP →＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13.故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1³1＋3³3－8|10＝105，则|PM|＝22－⎝⎛⎭⎪⎫1052＝4105. 所以S △POM ＝12³4105³4105＝165.11．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b)，令f(x)＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D ＝2，F ＝b.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2³0－(b ＋1)³1＋b ＝0，右边＝0. 所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)． 第4讲 直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b ＝2或12.故选D. 2．D 解析：易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切．∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，∴a ＋b≤3 2(当且仅当a ＝b ＝3 22时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2.3．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k(x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k ＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k|k 2＋1＝1，得k ＝43或k ＝0.联立切线与圆的方程可得切点A ，B 的坐标，可得直线AB 的方程． 方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x－2 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54， x－1 2＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.4．C 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a³1－1＝0，a ＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r 2＝ －4－2 2＋ －1－1 2－4＝6.故选C.5．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1.整理，得12k 2＋25k ＋12＝0.解得k 1＝－43，或k 2＝－34.故选D. 6．C 解析：如图D129，切线长|PM|＝|PC|2－1，显然当|PC|为圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离，即3＋12＝2 2，所以|PM|最小值为7.故选C.图D1297．B 解析：曲线y ＝a －x 2表示一个半圆，如图D130.当直线与半圆相切时，满足条件，即12＝a ，解得a ＝12；图D130当直线的横截距小于圆的半径时，满足条件，即1<a ，a>1.综上所述，a 的取值范围是a ＝12或a>1.故选B.8．4 解析：由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6.代入圆的方程，并整理，得y 2－3 3y ＋6＝0. 解得y 1＝2 3，y 2＝ 3.所以x 1＝0，x 2＝－3.所以|AB|＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＝2 3.又直线l 的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，|CD|＝|AB|cos 30°＝4.9．解：(1)设圆心C(a ，b)，a ＞0，b ＞0，半径为r ， 则b ＝3a ，r ＝3a.则圆心C(a,3a)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －3a|12＋12＝2a ，则有(2a)2＋(7)2＝(3a)2.即a 2＝1. ∵a ＞0，∴a ＝1.∴圆心C(1,3)，半径为3.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.(2)∵直线l ：kx －y －2k ＋5＝0，即(x －2)k －(y －5)＝0. ∴直线l 过定点M(2,5)．∴|CM|＝5，k CM ＝2.当弦长最短时，直线l 与直线CM 垂直，即k l ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －12＝0.最短弦长为2r 2－|CM|2＝4.10．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m. 若此方程表示圆，则5－m>0，即m<5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x ，得(4－2y)2＋y 2－2(4－2y)－4y ＋m ＝0，即5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165，①y 1y 2＝m ＋85.②由OM ⊥ON 知y 1x 1²y 2x 2＝－1.即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，代入上式，得(4－2y 1)(4－2y 2)＋y 1y 2＝0， 即16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②代入上式，得16－8³165＋5³m ＋85＝0.解得m ＝85.(3)将m ＝85代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，得25y 2－80y ＋48＝0.解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45. ∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85， |MN|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－452＝85. ∴所求圆的半径为45.∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.11．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点为M(x 0，y 0)， 由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l.设直线l 的方程为y ＝mx(易知直线l 的斜率存在)， 所以kC 1Μ²m＝－1，y 0＝mx 0.所以y 0x 0－3²y 0x 0＝－1.所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94.因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m|m 2＋1<2.所以m 2<45.所以y 20＝m 2x 20<45x 20.所以3x 0－x 20<45x 20.解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M(x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T(4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D131)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 53的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－2 53，则k PT ＝2 534－53＝2 57，而当直线L 与轨迹C 相切时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32， 解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34.因为2 57<34， 所以k ΡΤ<k. 结合图形(如图D132)，可得在x 轴下方的圆弧，当0<k≤2 57或k ＝34时，直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－2 57≤k<0或k ＝－34时，直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点．当k ＝0时，显然也只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k≤2 57或k ＝±34时，直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一个交点．图D131 图D132第5讲 椭 圆1．C 解析：左焦点为F 1(－c,0)，PF 1⊥x 轴．当x ＝－c 时，c 2a 2＋y 2P b 2＝1⇒y 2P ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2⇒y P ＝b 2a (负值不合题意，已舍去)，点P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .由斜率公式，得k AB ＝－b a ，k OP ＝－b2ac.∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ⇒－b a ＝－b2ac ⇒b ＝c.∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c 2a ＝12⇒e ＝c a ＝22.2．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝ 2c 2＝100，②①2－②，得|PF 1|²|PF 2|＝48.则12PF F S ＝12³48＝24.方法二，利用公式12PF F S ＝b 2tanθ2，得 12PF F S ＝b 2tan 90°2＝24³tan 45°＝24.故选C. 3．A 解析：设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c.因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即2(2a －m)＝m ＋2c.解得m ＝13(4a －2c)．即|PF 1|＝13(4a －2c)．所以|PF 2|＝2a －13(4a －2c)＝13(2a ＋2c)．又∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 4a－2c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 2a＋2c 2＝(2c)2.整理，得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c(舍去)．故e ＝c a ＝57.4．A 解析：方法一，设点M(－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c.从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a)，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c.∴a ＝3c.∴e ＝c a ＝13.方法二，如图D133，设OE 的中点为N ，由题意知|AF|＝a －c ，|BF|＝a ＋c ，|OF|＝c ，|OA|＝|OB|＝a.图D133∵PF ∥y 轴，∴|MF||OE|＝|AF||AO|＝a －c a ，|MF||ON|＝|BF||OB|＝a ＋c a . 又|MF||OE|＝|MF|2|ON|，即a －c a ＝a ＋c 2a. ∴a ＝3c.故e ＝c a ＝13.5．C 解析：设P(m ，n)，A(－a,0)，B(a,0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由于线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，因此m ＝a 2.若k 1²k 2＝－14，则n －0a 2－ －a ²n －0a 2－a ＝－14.解得n ＝34a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，34a .代入椭圆方程，可得14＋316²a 2b 2＝1，即a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则k 3²k 4＝32b b － －3b ²32b b －3b ＝341－3＝－38.6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 2 7 22³2³4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.63 解析：由题意，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，FB →²FC →＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2＝0，即c 2－⎝⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.8．(1)解：由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)＋1(k≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k(k －1)x ＋2k(k －2)＝0. 由已知得Δ＞0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1x 2≠0.则x 1＋x 2＝4k k－1 1＋2k 2，x 1x 2＝2k k－21＋2k2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k)4k k－12k k－2＝2k －2(k －1)＝2.9．解：(1)因为椭圆C ：y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)．则2a ＝2＋0＋2＋ 2＋2 2＝4 2.解得a ＝2 2.又由b 2＝a 2－c 2，得b ＝2.所以椭圆C 的方程是y 28＋x24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E(0,2 2)，F(0，－2 2)． 则OE →²OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设其方程为y ＝kx ＋2，点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)． 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0.则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2.所以OE →²OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k2－8.因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →²OF →≤2.所以OE →²OF →的取值范围是(－8,2]． 第6讲 双曲线1．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a.∴9(c 2－a 2)＝16a 2.∴e ＝c a ＝53.故选D.2．C 解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率e ＝a 2＋1a ＝1＋1a2< 2.故选C.3．A 解析：设|AB|＝3x ，|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ，所以|BF 1|＝2a ＋4x ，|AF 1|＝5x －2a.所以|AB|＝4a －x ＝3x.解得a ＝x.所以|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a.由题意有36a2＋16a 2＝4c 2，c 2a2＝13，e ＝13.4．D 解析：由c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2，所以F(2,0)．将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3.所以|PF|＝3.又点A的坐标是(1,3)，故△APF 的面积为12³3³(2－1)＝32.故选D.5．A 解析：由题设知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→²MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)²(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0.解得－33<y 0<33.故选A. 6．D 解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A(x ，y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4²b 2.∴4³4b 2＋4³4b 2＋4²b 2＝2b.解得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.7．B 解析：由双曲线的定义，可得。
2021年高考数学一轮复习第九篇解析几何第7讲抛物线教案理新人教版【xx年高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程．2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2一个结论焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0的距离|PF|＝x0＋p2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )．A．1 B．2 C．4 D．8解析由2p＝8得p＝4，即焦点到准线的距离为4.答案 C2．(xx·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A．x2＝－12y B．x2＝12yC．y2＝－12x D．y2＝12x解析p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.答案 A3．(xx·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是( )．A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(xx·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(xx·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)考向一 抛物线的定义及其应用【例1】►(xx·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (xx·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋2－02＝172. 答案 A考向二 抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(xx·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(xx·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．(2)抓住FA 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 解析 依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°， 即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三 抛物线的综合应用【例3】►(xx·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．【训练3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(xx·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ， 由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (xx·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53. (1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．[尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)， 设M (x 1，y 1)，M 在C 2上，因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝263.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0.解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去.故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝6x －m消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝16m 9，x 1x 2＝8m 2－49.因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m 9＋6m 2＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝± 2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。
第7讲 抛物线1．(2014年辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．43．(2014年广东揭阳一模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )(导学号 58940346)A.45B.35 C ．－35 D ．－454．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5 D.2＋15．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )(导学号 58940347)A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2015年浙江)如图X7-7-1，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1图X7-7-1 图X7-7-2 7．(人教版选修1-1P 64-6)如图X7-7-2是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，则水位下降1 m 后，水面宽________m.8．已知抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两点，且OF →＝34OA →＋14OB →，则|AB |＝________.9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆C 1的顶点．(1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2015年福建)如图X7-7-3，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(导学号 58940348)(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图X7-7-3第7讲 抛物线1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34.故选C. 2．C 解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 20＝4 2x 0＝4 2×32＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3. 3．D 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －2y ＋4＝0，消去y ，得x 2－2x －8＝0.解得x 1＝－2，x 2＝4.不妨设点A 在y 轴左侧，则A (－2,1)，B (4,4)，F (0,1)．方法一，由题意，得|AF |＝(－2)2＋0＝2，|BF |＝42＋32＝5，|AB |＝36＋9＝3 5.由余弦定理，得cos ∠AFB ＝AF 2＋BF 2－AB 22AF ·BF ＝－45. 方法二，由抛物线的定义，得|AF |＝1－(－1)＝2，|BF |＝4－(－1)＝5，∵F A →＝(－2,0)，FB →＝(4,3)，∴F A →·FB →＝|F A →||FB →|cos ∠AFB ＝－8.∴cos ∠AFB ＝－82×5＝－45. 4．A 解析：由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，∴点N 与点F 重合．如图D121，过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线的准线的垂线MH ，交圆M 于点Q ，交抛物线于点P ，连接PN ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.故选A.图D121 图D122 5．D 解析：因为F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)，又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D. 6．A 解析：S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1|AF |－1. 7．2 6解析：设水面与桥的一个交点为A ，如图D122，建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，代入点A ，得p ＝1.设水位下降1 m 后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2×(－3)，x 0＝±6，所以水面的宽度为2 6 m.8．8 解析：因为OF →＝34OA →＋14OB →，所以34(OF →－OA →)＝14(OB →－OF →)，即3AF →＝FB →， 即直线AB 过焦点F 且3|AF →|＝|FB →|，设抛物线y 2＝6x 的准线l 与x 轴的交点为D ，|AF |＝m ，则|FB |＝3m ，如图D123，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，过A 作BN 的垂线，分别交x 轴、BN 于P ，Q ，根据抛物线定义知|AF |＝|AM |＝m ，|BF |＝|BN |＝3m ，显然△AFP ∽△ABQ ，所以|FP ||BQ |＝|AF ||AB |，即3－m 2m ＝14.解得m ＝2.所以|AB |＝4m ＝8.图D1239．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有2c ＝4 2，c a ＝63，解得a ＝2 3，b ＝2. 故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 24＝1； 又抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)开口向上，故F 是椭圆C 1的上顶点，∴F (0,2)，∴p ＝4，故抛物线C 2的标准方程为x 2＝8y .(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →＝(x 2，y 2－2)，∴FP →·FQ →＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2－4m ＋4＝0(*)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y 整理，得 (3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0(**)．依题意，得x 1，x 2是方程(**)的两根，Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，∴x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2－123k 2＋1. 将x 1＋x 2和x 1·x 2代入(*)，得m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝8y ，消去y 整理，得 x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.解得k 2＝12，经检验k 2＝12，m ＝－1符合要求． 故直线PQ 的方程为y ＝±22x －1. 10．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)方法一，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2,2 2)．由A (2,2 2)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2，或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝2 2－02－(－1)＝2 23，k GB ＝－2－012－(－1)＝－2 23， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 方法二，设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,2 2)． 由A (2,2 2)，F (1,0)可得直线ΑF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12，从而Β⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0. 从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217. 又直线GΒ的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0，所以点F 到直线GΒ的距离d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GΑ相切的圆必与直线GΒ相切．。
第7讲 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准 方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈Ry ≥0， x ∈Ry ≤0， x ∈R开口 方向 向右 向左向上向下焦半径 (其中P (x 0， y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p23.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)假设直线与抛物线只有一个交点，那么直线与抛物线一定相切．( ) (3)假设一抛物线过点P (－2，3)，那么其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)解析：选 A.抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p 2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，那么抛物线方程为y2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，那么抛物线方程为x 2＝－8y .(教材习题改编)焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x ＋y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y 2＝－4x .当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，那么点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：如下图，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，那么|AB |＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，那么点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6. 答案：6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考察时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考察主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值．[典例引领]角度一 求抛物线的标准方程(2021·天津模拟)动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，那么动圆圆心的轨迹E 的方程为________________．【解析】 依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 【答案】 y 2＝2px角度二 求抛物线上的点与焦点的距离(2021·高考全国卷Ⅱ)F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .假设M 为FN 的中点，那么|FN |＝____________．【解析】 法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，那么点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6. 【答案】 6角度三 求距离和的最值抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，那么|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，那么|P 1Q |＝|P 1F |，那么有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 4假设本例中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进展抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线〞．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[通关练习]1．抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，那么x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.2．动点P 的坐标(x ，y )满足方程5〔x －1〕2＋〔y －2〕2＝|3x ＋4y ＋12|，那么点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选 D.由5〔x －1〕2＋〔y －2〕2＝|3x ＋4y ＋12|⇒〔x －1〕2＋〔y －2〕2＝|3x ＋4y ＋12|5，所以动点P 到定点(1，2)的距离等于其到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：选C.如下图，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，那么点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.应选C.抛物线的性质[典例引领](1)(2021·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．|AB |＝42，|DE |＝25，那么C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(2021·东北四市模拟)假设点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，那么|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)由题意知x 2＝12y ，那么F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设P (x 0，2x 20)，那么|PF |＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x 20－182＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.【答案】 (1)B (2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．[通关练习]1．(2021·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，那么抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2解析：选B.设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 m ，水面宽 4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________ m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m. 答案：1直线与抛物线的位置关系[典例引领](2021·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ， (1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．[通关练习]1．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，那么由k 的值组成的集合为________．解析：设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋〔2k ＋1〕y 2＝4x，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k 的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，122.(2021·湖南长沙四县联考)如图，点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线．解：(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E 上， 所以m 2＝4×2，解得m ＝22，即A (2，22)， 又F (1，0)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝22〔x －1〕，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝223，k GB ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，所以∠AGF ＝∠BGF ， 所以GF 为∠AGB 的平分线．抛物线定义的实质可归结为“一动三定〞；一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)． 抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 易错防范(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进展分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x2＝my (m ≠0)．1．点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，那么直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34. 2．假设点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，假设正三角形OAB 的面积为43，那么该抛物线方程是( ) A ．y 2＝233xB ．y 2＝3x C ．y 2＝23xD ．y 2＝33x 解析：选A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .应选A. 3．(2021·皖北协作区联考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，假设直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选 C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，那么〔4p 〕2＋〔8p 〕2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2021·湖南省五市十校联考)抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |>2，那么点A 到原点的距离为( ) A.41 B ．2 2 C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，那么点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2.5．(2021·太原模拟)抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．假设FP →＝4FQ →，那么|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，那么|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2021·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，假设线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，那么该抛物线的准线方程是________． 解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0， 把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52，所以准线方程为y ＝－54.答案：y ＝－547．(2021·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，那么抛物线的方程为________． 解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，那么|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x8．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .假设C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，那么p ＝________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，那么1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得y 0＝16p ，由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p6＝1，解得p＝43＝433.答案：4339．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝〔1＋22〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .10．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)假设过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.1．(2021·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，那么直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C.由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0， 显然当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.要求k OM 的最大值，那么y 0>0，那么OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤22y 0p ·2p y 0＝22， 当且仅当y 20＝2p 2时，取得等号．2．(2021·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，假设|AC |＝2|AF |，那么|BF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ，那么由题意，知F (1，0)，D (－1，0)，分别作AA 1，BB 1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A 1，B 1，那么有|AC ||FC |＝|AA 1||FD |，所以|AA 1|＝43，故|AF |＝43.又|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|，即|AC ||AC |＋|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，亦即2|AF |3|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，解得|BF |＝4，应选C.3．(2021·高考北京卷)抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 那么x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝〔2k －2〕x 1x 2＋12〔x 2＋x 1〕x 2＝〔2k －2〕×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1. 故A 为线段BM 的中点．4．(2021·湖南六校联考)抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，那么可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。
第7讲 抛物线1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且斜率为2 错误!的直线交抛物线于A ,B 两点（x A 〉x B )，则错误!＝（ )A 。
错误!B 。
错误!C ．3D ．22．如图X7。
7.1，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ）图X7.7。
1A ．4B ．3 错误!C ．4 错误!D ．83．（2017年新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为错误!的直线交C 于点M （M 在x 轴上方）,l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ )A.错误! B ．2 错误! C ．2 错误! D ．3 错误!4．（2016年新课标Ⅱ）设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝错误!（k 〉0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k ＝（ )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ,AB 的斜率分别为k OA ＝2,k AB ＝6，则OB 的斜率为( ）A ．3B ．2C ．－2D ．－36．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M （错误!，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，｜BF｜＝3，则△BCF与△ACF的面积之比错误!＝（）A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!7．（2017年新课标Ⅰ）已知F为抛物线C:y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB｜＋｜DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．108．如图X7。
7。
2，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆（x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( ）图X7.7。
第7 讲抛物线一、知识梳理1. 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1) 在平面内；⑵动点到定点F的距离与到定直线I的距离相等;(3)定点不在定直线上.2. 抛物线的标准方程和几何性质常用结论与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A(x i, y i), B(x2, y2).2 p2(1) y i y2=—p , x i x2= 4.2p(2) |AB |= x i + X2+ p = ^(0 为直线AB 的倾斜角).sin 01 1 2(3) |AF|+丽为定值p.(4) 以AB为直径的圆与准线相切.(5) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(6) 过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径).二、习题改编11 .(选修1-1P58例1(2)改编)若抛物线的焦点是 F 0,—2，则抛物线的标准方程为________ .答案：x2= —2y2. _________________________________________________________ (选修1-1P59练习T2改编)抛物线y2+ 4x= 0的准线方程_______________________________________ .答案：x= 13. (选修1-1P59练习T3(2)改编)抛物线y2= 12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________ .答案：(3，土6)一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹(2) 若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(3) 若一抛物线过点P( —2, 3),则其标准方程可写为⑷抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.答案：(1)X (2) X (3) X (4) X二、易错纠偏定是抛物线. ()( )/= 2px(p>0).( )( )常见误区(1)不注意抛物线方程的标准形式;(2)忽视p的几何意义.1. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A. y2=—xC. y2=—8x 或x2=—y解析：选D.设抛物线为y2= mx,y2= —x;设抛物线为x2= ny,代入点2. 已知抛物线程是________ .解析：由已知可知双曲线的焦点为设抛物线方程为y2= ±2px(p>0),则p= 2,P(—4,—2)的抛物线的标准方程是( )B. x2=—8yD. y2=—x或x2=—8y代入点P(—4, —2),解得m=—1 ,则抛物线方程为P( —4, —2)，解得n= —8,则抛物线方程为x?=—8y C与双曲线x2—y2= 1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方(—2, 0), ( .2, 0).所以p= 2 .2,所以抛物线方程为y2= ±4 2x.答案：y2= 2x抛物线的定义（典例迁移）(1)(2020安徽五校联盟第二次质检)已1 3知抛物线C: x2= 2py(p>0)的焦点为F，点P x o, J在C上，且|PF| = 4贝U p=( )1 1A" B.23C.4D. 1(2) 设P是抛物线y2= 4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3, 2),则|PB|+ |PF|的最小值为_________ .【解析】(1)抛物线的准线方程为y= —2,因为P x o, ~2在抛物线上，所以点P到准线的距离d= 1+ p= |PF|= 4,则p = *,故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有 |PB|+ |PF|> |P i B|+ |P i Q|= |BQ|= 4. 即|PB|+ |PF|的最小值为 4. 【答案】(1)B (2)4【迁移探究1】(变条件)若将本例⑵中的B 点坐标改为(3, 4)，试求|PB|+ |PF|的最小 值. 解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部.因为|PB|+ |PF|的最小值即为B , F 两点间的距离， 所以 |PB|+ |PF|> |BF| = ■,'42+ 22= 16 + 4= 2 ,5,即|PB|+ |PF|的最小值为 2 ,5.【迁移探究2】(变设问)若本例(2)条件不变，求P 到准线I 的距离与P 到直线3x + 4y + 7 =0的距离之和的最小值是 _____________________ .解析：由抛物线定义可知点 P 到准线I 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2=4x 及直线方程3x + 4y + 7= 0可得直线与抛物线相离，所以点P 到准线I 的距离与点P 到 =2.答案：2抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距直线3x + 4y + 7 = 0的距离之和的最小值为点 F(1 ,0)到直线3x + 4y + 7= 0的距离，即 |3+ 7|‘32+ 42离的等价转化•即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线⑵注意灵活运用抛物线上一点P(x, y)到焦点F的距离|PF|=|X|+号或|PF|= |y|+£1. 已知F是抛物线y1 2= x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，且|AF|+ |BF|= 3,则线段AB的中点到y轴的距离为()B. 1A・4 5D.解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为I, AB的中点为M ,作AA i丄|于点A i, BB i丄I于点B i, MM i丄I于点M i,1由抛物线的定义知p =彳，|AA i|+ |BB i |= AF汁|BF|= 3,P i 15则点M到y轴的距离为|MM i|—2= 2（AA I|+ — =才故选C.2. （2020沈阳市质量监测（一））抛物线/= 6x上一点M（x i, y i）到其焦点的距离为号，则点M到坐标原点的距离为 __________ .+ 2= 2,即x i= 3.代入得y i= 18,则|M0|解析：由y2= 6x,知p= 3,由焦半径公式得=^x2+ y i = 3德（0为坐标原点）,故填3©答案：3 3抛物线的标准方程及性质（师生共研）（1）（2020陕西榆林二模）已知抛物线y2 =2px（p>0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大；则抛物线的标准方程为A . y2= x B. y2= 2xC. y2= 4xD. y2= 8x(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知|AB| =4 2, |DE|=2 .5,则C的焦点到准线的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】(1)抛物线y2= 2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大2,由抛物线的定义可得X M + p= X M + 2,所以p = 1 ,所以抛物线方程为y2= 2x.故选B.(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2= 2px(p > 0),由|AB|= 4 2, |DE|= 2 5,可取 A 4, 2 2 , D —§ 5 ,p 2设O为坐标原点，由QA|= |OD |,得+ 8= p + 5,得p = 4,故选 B.【答案】(1)B (2)B(1)求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置;②再定形：即根据条件求p.⑵抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程;②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.1 •若抛物线的焦点在直线x—2y —4= 0上，则此抛物线的标准方程为_________ .解析：令x= 0,得y= —2;令y= 0，得x= 4.所以抛物线的焦点是（4, 0）或（0, —2）, 故所求抛物线的标准方程为y2= 16x或/=—8y.答案：y2= 16x 或x2=—8y2. （2020沈阳质量检测（一））已知正三角形AOB（O为坐标原点）的顶点A, B在抛物线y2 =3x上，则△ AOB的边长是__________ .解析：如图，设厶AOB的边长为a,则A ~23a, ；a ,因为点A在抛物线y2= 3x 上,所a= 6 3. 答案：6 .33. （2020东北四市模拟）若点P 为抛物线y = 2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点, 的最小值为1 1解析：由题意知X 2 = 2y,则F 0, g , |PF|1所以当x 0= 0时，|PF|8直线与抛物线的位置关系（师生共研）设 P （x o ，2X ），(2019高考全国卷I )已知抛物线 C : y 23=3x 的焦点为F ，斜率为3 4 5 6的直线I 与C 的交点为A , B ,与x 轴的交点为P.(1)若 |AF|+ |BF|= 4，求 I 的方程； ⑵若 AP = 3PB ，求 |AB|.、3【解】 设直线 I : y = §x + t , A(x i , y i ), B(x 2, y 2).3 35(1)由题设得F 4, 0 ,故|AF|+ |BF|= X i + x 2+ 2，由题设可得X i + x 2 = 3 y = 2x +1,12 (t — 1)由 7 可得 9x 8 + 12(t — 1)x + 4t 2= 0，则 X 1+ X 2=—9 .2 9y = 3x解决直线与抛物线位置关系问题的方法3 7所以I 的方程为y =只―8.(2) 由 AP = 3PB 可得 y 1=— 3y 2.3 y = 2x +t ， 2 由 可得 y 2— 2y + 2t = 0.y 2= 3x所以 y 1 + y 2= 2.从而一 3y 2 + y 2= 2,故 y 2=— 1, y 1= 3. 代入C 的方程得X 1= 3, X 2 = 3. 故 |AB|=智3.从而—12 (t — 1)92,得 一 8.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB|=|X1|+ |X2|+ p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“ 设而不求”“整体代入” 等解法．［注意］涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．1.已知抛物线x2= ay与直线y= 2x- 2相交于M , N两点，若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )A . x 2= 3yB . x 2= 6yC . x 2=- 3yD . x 2= 3y解析：选 D.设点 M(x i , y i ), N (X 2, y 2).2x = ay , 由消去 y 得 x 2-2ax + 2a = 0,y = 2x - 2,X 1 + X 2 2a 所以一2~ = 2"= 3,即 a = 3,所以所求的抛物线方程是 x 2= 3y.y 2= 4x 的焦点为F ，过点（—2, 0）且斜率为舟的直3 线与C 交于M , N 两点，贝U FM FN =（B . 6D. 8x = 1 , x = 4,所以 或不妨设M(1, 2), N(4, 4),y = 2 y =4,易知 F(1 , 0),所以 FM = (0 , 2), FN = (3, 4),所以 FM FN = 8•故选2 2法二：过点（一2, 0）且斜率为2的直线的方程为y = 2（x + 2）,由 5x + 4= 0,设 M (X 1, y 1) , N (X 2, y 2),则 y 1>0, y 2>0 ,根据根与系数的关系 ，得 x 1 + X 2= 5 , X 1X 2= 4•易知 F(1, 0),所以 FM = (X 1— 1, y 1) , FN = (X 2 — 1, y 2),所以 FM FN = (X 1— 1)(X 2 — 1)+ y 1y 2= X 1X 2— (X 1 + X 2)+ 1 + 4 Jx 1X 2= 4 — 5+ 1 + 8= 8.故选 D.3.过点(一2 , 1)斜率为k 的直线I 与抛物线y 2= 4x 只有一个公共点，则由 k 的值组成 的集合为 _________________ .解析：设I 的方程为y — 1 = k(x + 2), y = kx +( 2k + 1), 由方程组 2得ky 2 — 4y + 4(2k + 1) = 0 ,①当k = 0时，y = 1,此时xy 2=4x ,2. （2018高考全国卷I ）设抛物线C : C . 7解析：选D.法一：过点（—2,0）且斜率为23的直线的方程为y = 2y = 3 (x +2),2)，由 3/ = 4x ,得 x 2— 5x + 4= 0,解得 x = 1 或 x = 4, D. 2y =3 (x +2),3得 x 2—2y = 4x ,。
第七章解析几何第1讲直线的方程1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是( )A.3x＋y＋2－4 3＝0B.3x＋3y＋6－4 3＝0C．x＋3y－2 3－4＝0D．x＋3y＋2 3－4＝02．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝03．(2014年某某某某一模)已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )A．－2或1 B．2或1C．－2或－1 D．2或－14．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．6．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是__________．7．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．8．已知点P是直线l上的一点，将l绕点P按逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到l1：x＋2y＋1＝0，若继续按逆时针旋转(90°－α)，则得到直线l2：x－y－2＝0，则l的方程为____________．9．(2013年新课标Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1210．求经过点A ()－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．第2讲 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．(2012年某某)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋14．已知两条直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32B ．－2 C.32和－1 D.32，－1和－126．(2014年某某)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝07．(2013年某某)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．8．两条平行直线x ＋ay －a －1＝0与2x ＋a 2y ＋5＝0之间的距离是____________．9．已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．10．已知点A (－3,5)，B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使得||PA ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是( ) A ．a <－2或a >23 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <232．(2014年新课标Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值X 围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 3．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝04．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 25．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )A.5＋3 B．6 5＋14C．－5＋3 D．－6 5＋146．(2015年某某东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知奇函数y＝f(x)的导函数f′(x)<0在R恒成立，且x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(y2－2y)≥0，则x2＋y2的取值X围是( )A．[0,2 2] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,8]8．(2014年某某)已知圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为点M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．第4讲直线与圆的位置关系1．(2015年某某)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或122．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公共切线有且仅有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．(2015年某某)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝04．(2013年某某)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝05．(2014年某某)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－86．(2015年某某)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2107．(2015年某某)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－348．过点(2,4)的直线l 与曲线y ＝1＋4－x 2总有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值X 围是________．9．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A (t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K (m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．10．(2015年某某)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．第5讲 椭 圆1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．20D ．5或32．(2012年新课标)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.453．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284．(2013年新课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.335．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2013年某某)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．8．(2013年大纲)椭圆C ：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 9．(2014年某某)如图X751在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标是(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图X75110．(2015年某某)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图X752，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图X752第6讲 双曲线1．(2015年某某)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．2．(2015年某某)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 3．(2015年某某)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.534．(2015年某某)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 5．(2014年大纲)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 26．(2014年某某，由人教版选修11P 683改编)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．(2015年新课标Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 28．(2015年新课标Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2339．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值X围．10．(2012年某某某某一模)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－2)2＝1，圆C1，C2关于直线l对称．(1)求直线l的方程；(2)直线l上是否存在点Q，使点Q到点A(－2 2，0)的距离减去点Q到点B(2 2，0)的距离的差为4？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．第7讲抛物线1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么当点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)3．(2014年某某揭阳一模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－454．(2015年某某)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝__________.5．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．46．以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定7．(2015年某某)如图X771，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X771A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋18．(人教版选修11P646)如图X772是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，则水位下降1 m后，水面宽________m.图X7729．(2015年某某)如图X773，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．图X77310．(2012年新课标)如图X774，设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．图X774第8讲 轨迹与方程1．如图X781，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图X781A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝123．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线4．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b25．(由人教版选修11P 427改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．(由人教版选修11P 545改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )①②③④⑤A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 8．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．9．(2011年新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．10．(2013年新课标Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年某某)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A ．－43 B ．－1C ．－34D ．－122．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝8 33y B ．x 2＝16 33yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y3．(2014年新课标Ⅱ)设点F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 34．已知双曲线E 的中心为原点，P (3,0)是E 的焦点，过点P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 5．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.6．如图X791，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是______________．图X7917．椭圆x 2＋4y 2＝4的长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年某某)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为______．9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)设椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎪⎫22，32到F 1，F 2两点的距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程； (2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F 2，且斜率为1的直线与其相交于A ，B 两点，求△ABF 1的面积；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ·k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．专题四 圆锥曲线的综合及应用问题1．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．92．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A ．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．6．已知椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明：MA→·MB→为定值．7．(2014年)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)，点B 在直线l 1：y ＝－1上，点M 满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，点M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设直线l 2：y ＝kx ＋m 与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线l 1：y ＝－1相交于点Q ，试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．B 2.C3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0，∴a ＝－1或a ＝－2. 4．C 解析：设过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ， 则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0,2k ＋3)，N ⎝⎛⎭⎪⎫－2－3k，0.再由12＝12|OM |·|ON |＝12|2k ＋3|×|－2－3k |，可得|4k ＋9k ＋12|＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k＋12＝－24.解得k ＝32或k ＝－9－6 22或k ＝－9＋6 22，故满足条件的直线有3条．5．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 解析：当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0.6．－137．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．x ＋y ＝0 解析：根据题意，点P 为直线l 1与l 2的交点，解得点P 的坐标为(1，－1)．又直线l 与直线l 2垂直，直线l 2的斜率为1，∴直线l 的斜率为－1.由点斜式知，l 的方程为y ＋1＝－1(x －1)，即x ＋y ＝0.9．B 解析：由题意画出图形，如图D103(1)． 由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1.可求N (0，b )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba，0.∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分， ∴S △BDM ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △ODN ，即12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b a ×b ＝12(1－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1. 整理，得b 2a ＝1－b2a ＋1.图D103∴1－b2b2＝1＋a a.∴1b－1＝1＋1a.∴1b＝1＋1a＋1，即b ＝11＋1a＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大． 当a →＋∞时，b →12，即b <12.当a →0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b .当y ＝b 时，如图D103(2)，S △CDM S △ABC ＝2CO 2＝1－b212＝12. ∴1－b ＝22.∴b ＝1－22. ∴b >1－22. 由上分析可知1－22<b <12.故选B. 10．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb＝1(a <－2，b >2)． ∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b2－b. ∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2·2b 2－b ＝b2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2＋4b －2＋4 ≥2b －2·4b －2＋4＝8.当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时，S 最小． 此时a ＝－4，b ＝4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k (x ＋2)，显然k >0， 由题意，S ＝12||2k ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≥8. 当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求直线方程．第2讲 两直线的位置关系1．C 2.A 3.A4．A 解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m (m ＋2)－3＝0.解得m ＝1或m ＝－3.故选A.5．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)．若点P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12，此时三条直线交于一点P ；若k ＝32或k ＝－1时，有两条直线平行．故k ≠－12，32和－1. 6．D 解析：圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，且直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的斜率为1，方程是y ＝x ＋3.7．(2,4) 解析：如图D104，由题意知，AC 与BD 相交，两线交点E 为所求的点．AC ：y ＝2x ，BD ：y ＝－x ＋6，联立，得x ＝2，y ＝4.图D1048.72或11 510 解析：∵两直线平行，∴当a ≠0时，12＝a a 2≠－a －15.∴a ＝2.此时两直线的方程为x ＋2y －3＝0与2x ＋4y ＋5＝0.∴两平行直线之间的距离为d ＝|－6－5|22＋42＝11 510.当a ＝0时，两直线方程为x ＝1与x ＝－52，此时两平行直线之间的距离为d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝72. 9．解：正方形中心G (－1,0)到四边的距离均为 |－1－5|12＋32＝610. 设与已知直线平行的一边所在直线的方程为x ＋3y ＋c 1＝0，则|－1＋c 1|10＝610，即|c 1－1|＝6. 解得c 1＝－5或c 1＝7.故与已知边平行的直线的方程为x ＋3y ＋7＝0. 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0， 则|3×－1＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6.解得c 2＝9或c 2＝－3.故正方形另两边所在直线方程为 3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.10．解：由题意知，点A ，B 在直线l 的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点A ′，然后连接A ′B ，则直线A ′B 与l 的交点P 即为所求．事实上，设点P ′是l 上异于点P 的点，则||P ′A ＋||P ′B ＝||P ′A ′＋||P ′B >||A ′B ＝||PA ＋||PB .设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x ＋3·34＝－1，3·x －32－4·y ＋52＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.∴A ′(3，－3)．∴直线A ′B 的方程为18x ＋y －51＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，18x ＋y －51＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝3.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3.第3讲 圆的方程1．D 解析：由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.2．A 解析：如图D105，当M (1,1)，N (1,0)，显然∠OMN ＝45°合题意，根据对称性．故选A.图D1053．D4．B 解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1.故选B.5．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即－22＋12＋3＝5＋3.故选A.6．A 解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．D 解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (x 2－2x )≥f (2y －y 2)，由函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )<0在R 恒成立，知函数y ＝f (x )为减函数，∴x 2－2x ≤2y －y 2，∴(x －1)2＋(y －1)2≤2，故x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径2 2，从而x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径的平方8.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a )．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a >0，r ＝2a .又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a )2，a 2＝1，a ＝1，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. 10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知，CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.则点O 到l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105，则|PM |＝22－⎝⎛⎭⎪⎫1052＝4105. 所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.第4讲 直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12.故选D.2．B3．D 解析：依题可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.故选D.4．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k (x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k ＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k |k 2＋1＝1，得k ＝43.联立切线与圆的方程可得切点A ，B 的坐标，可得直线AB 的方程．方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，⎩⎪⎨⎪⎧x －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，x －12＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.5．B 解析：由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0配方，得 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ， 所以圆心为(－1,1)，r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，所以(2)2＋22＝r 2＝2－a ，a ＝－4.6．C 解析：圆C 标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝－4－22＋－1－12－4＝6.故选C.7．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，由因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理，得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.8.⎝⎛⎦⎥⎤512，34 解析：化简曲线y ＝1＋4－x 2并整理得x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，如图D106，k 1＝4－12－－2＝34，设切线斜率为k 2，切线方程为y －4＝k 2(x －2)，k 2x －y ＋4－2k 2＝0，利用点到直线的距离公式得d ＝|－1＋4－2k 2|k 22＋1＝2,4k 22＋4＝4k 22－12k 2＋9，k 2＝512，所以512<k ≤34.图D1069．解：(1)设P (x ，y )，则MN →＝(2,0)，NP →＝(x －1，y )，MP →＝(x ＋1，y )． 由|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →， 得2x －12＋y 2＝2(x ＋1)，化简，得y 2＝4x .所以动点P 的轨迹方程为y 2＝4x . (2)由A (t,4)在轨迹y 2＝4x 上， 则42＝4t ，解得t ＝4，即A (4,4)． 当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4， 此时直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离． 当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )， 即4x ＋(m －4)y －4m ＝0.圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离为d ＝|2m ＋8|16＋m －42，令d <2，解得m <1； 令d ＝2，解得m ＝1； 令d >2，解得m >1. 综上所述，当m <1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交；当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切； 当m >1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．10．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点Μ(x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l . 设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)， 所以kC 1Μ·m ＝－1，y 0＝mx 0. 所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2，所以m 2<45.所以y 20＝m 2x 20<45x 20.所以3x 0－x 20<45x 20.解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M (x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D107)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y2＝94⎝⎛⎭⎪⎫53<x≤3表示的是一段关于x轴对称，起点为⎝⎛⎭⎪⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎪⎫53，2 53的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧．设P⎝⎛⎭⎪⎫53，－2 53，则k PT＝2 534－53＝2 57，而当直线L与轨迹C相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k2－4kk2＋1＝32，解得k＝±34.在这里暂取k＝34，因为2 57<34，所以kΡΤ<k.图D107结合图形(如图D107)，可得对于x轴对称下方的圆弧，当0≤k≤2 57或k＝34时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－2 57≤k<0或k＝－34时，直线L与x轴对称上方的圆弧有且只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k≤2 57或k＝±34时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．第5讲椭圆1．D 解析：焦距2c＝2，∴c＝1，故m－4＝c2＝1或4－m＝c2＝1，即m＝5或m＝3.故选D.2．C 解析：△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|＝2⎝⎛⎭⎪⎫32a－c＝2c⇔e＝ca＝34.3．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝2c 2＝100，②①2－②，得|PF 1|·|PF 2|＝48. 则12PF F S＝12×48＝24. 方法二，利用公式12PF F S＝b 2tan θ2，得12PF F S＝b 2tan 90°2＝24×tan45°＝24.故选C. 4．D 解析：设|PF 2|＝x ， ∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a ＝3x,2c ＝3x . ∴C 的离心率为e ＝2c 2a ＝33.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a ，则(4－a )2＝a 2＋22，解得a ＝32，故圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7. 又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2. 又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 2 722×2×4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c,0)．∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， ∴∠MF 2F 1＝π6，即F 1M ⊥F 2M .在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，则F 2M ＝3c .∴由椭圆的第一定义，得2a ＝c ＋3c .∴c a ＝21＋3＝3－1. 8．B 解析：由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.9．解：(1)由题意，F 2(c,0)，B (0，b )， |BF 2|＝b 2＋c 2＝a ＝2， 又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴169a 2＋19b2＝1.解得b 2＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，kF 1＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，k AB ＝－b c， 由F 1C ⊥AB ，k 1F ·k AB ＝b 33a 2c ＋c 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4.∴(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4.化简，得e ＝c a ＝55. 10．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca. 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2.解得离心率c a ＝32. (2)解：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心Μ(－2,1)是线段ΑΒ的中点， 且|AB |＝10.易知，ΑΒ不与x 轴垂直， 设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝－42k ＋12－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10.解得b 2＝3. 故椭圆Ε的方程为x 212＋y 23＝1.第6讲 双曲线1．2 3y ＝±22x 解析：由题意得：a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，∴焦距为2c ＝2 3，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2．C 解析：由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项的渐近线方程为 y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .故选C.3．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.4．D 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，由点(2，3)在渐近线上，所以ba ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.故选D.5．C 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，焦点(c,0)到渐近线的距离为d ＝||bc a 2＋b 2＝||bc c＝b ＝3，离心率为e ＝c a＝2，b 2＝c 2－a 2＝4a 2－a 2＝3，a 2＝1，c ＝2, 则C 的焦距等于4.6．D 解析：实数k 满足0<k <5,5－k >0,16－k >0，曲线x 216－y 25－k ＝1的焦距为221－k ，曲线x 216－k －y 25＝1的焦距也为221－k .故选D.7．D 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图D108，|AB |＝|BM |，∠ABM ＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |＝a ，|MN |＝3a ，故点M 的坐标为M (2a ，3a )，代入双曲线方程得a 2＝b 2＝a 2－c 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.故选D.图D1088．A 解析：由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A. 9．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6 2kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝6 2k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，直线l 与双曲线左支有两个交点． 10．解：(1)因为圆C 1，C 2关于直线l 对称，圆C 1的圆心C 1的坐标为(4,0)，圆C 2的圆心C 2的坐标为(0,2),显然直线l 是线段C 1C 2的中垂线， 线段C 1C 2中点的坐标是(2,1)，C 1C 2的斜率是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝0－24－0＝－12.所以直线l 的方程是y －1＝－1k(x －2)，即y ＝2x －3.(2)假设这样的点Q 存在．因为点Q 到点A (－2 2，0)的距离减去点Q 到点B (2 2，0)的距离的差为4， 所以点Q 在以A (－2 2，0)和B (2 2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即c ＝2 2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝4.所以点Q 在曲线x 24－y 24＝1(x ≥2)上．又点Q 在直线l 上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 24－y24＝1，消元，得3x 2－12x ＋13＝0.Δ＝122－4×3×13<0，方程组无解，所以直线l 上不存在满足条件的点Q .第7讲 抛物线1．C 2.A3．D 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －2y ＋4＝0，消去y ，得x 2－2x －8＝0.解得x 1＝－2，或x 2＝4.不妨设点A 在y 轴左侧，则A (－2,1)，B (4,4)，F (0,1)．方法一，由题意，得|AF |＝－22＋0＝2，|BF |＝42＋32＝5，|AB |＝36＋9＝35.由余弦定理，得cos ∠AFB ＝AF 2＋BF 2－AB 22AF ·BF ＝－45.方法二，由抛物线的定义，得|AF |＝1－(－1)＝2，|BF |＝4－(－1)＝5，可求AB ＝3 5. ∵FA →＝(－2,0)，FB →＝(4,3)， ∴FA →·FB →＝|FA →||FB →|cos ∠AFB ＝－8. ∴cos ∠AFB ＝－82×5＝－45.4．2 解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.5．C 解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝4 2，∴x 0＝3 2.∴y 2＝4 2x 0＝4 2× 3 2＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.6．B 解析：方法一，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线l ：x ＝－p2.设过F 的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为C ，则由抛物线的定义，。
第7讲 抛物线1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的核心为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2021年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的核心，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．43．(2021年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条核心弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.524．已知M 是y ＝x 24上一点，F 为抛物线的核心，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．105．(2021年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的核心，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2021年浙江)如图X771，设抛物线y 2＝4x 的核心为F ，不通过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X771A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 7．(2021年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的核心F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 38．(2021年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过核心F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影别离为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83B.8 33C.163D.16 339．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的核心F 是椭圆C 1的极点． (1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且知足FP →·FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2021年北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线别离与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其核心坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．第7讲 抛物线1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得核心F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34.故选C.2．C 解析：假设P (x 0，y 0)在第一象限，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 20＝42x 0＝4 2×3 2＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.3．C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标为x 1＋x 22＝32.故选C.4．B 解析：如图D134，抛物线的准线l ：y ＝－1，由抛物线概念可知，当M 为过C 且与l 垂直的直线与抛物线的交点时，|MC |＋|MF |最小为5，∴|MA |＋|MF |的最小值为5－1＝4.故选B.图D1345．D 解析：因为F 为抛物线y 2＝4x 的核心，所以F (1,0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D.6．A 解析：S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1|AF |－1. 7．C 解析：由抛物线概念知MN ＝MF ，显然三角形MNF 为正三角形，MN ＝MF ＝NF ＝4，则点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.8．B 解析：方式一，由题意，可得直线PQ ：y ＝3(x －1)与抛物线y 2＝4x 联立得：3x 2－10x ＋3＝0.所以点P (3,2 3)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2 33，则MN ＝2 3＋2 33＝8 33.在△MNF中，MN 边上的高h ＝2，则S △MNF ＝12×2×8 33＝8 33.故选B.方式二，不妨设交点P 在x 轴上方，由抛物线核心弦性质，得|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，且1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1, |PM |－|QN ||PM |＋|QN |＝|PF |－|QF ||PF |＋|QF |＝12，故|PF |＝4，|QF |＝43. 所以S △MNF ＝12×|MN |×p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43×32×2＝8 33.故选B.9．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有2c ＝4 2，c a ＝63.解得a ＝2 3，c ＝2 2，又b 2＝a 2－c 2，则b ＝2.故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 24＝1.又抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)开口向上，且F 是椭圆C 1的上极点，∴F (0,2)．∴p ＝4.故抛物线C 2的标准方程为x 2＝8y .(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →＝(x 2，y 2－2)． ∴FP →·FQ →＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.由此可得，(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2－4m ＋4＝0. ①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 212＋y24＝1消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0. ②依题意，得x 1，x 2是方程②的两根， Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2－123k 2＋1.将x 1＋x 2和x 1·x 2代入①，得m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝8y 消去y 整理，得x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.解得k 2＝12，经查验k 2＝12，m ＝－1符合要求．故直线PQ 的方程为y ＝±22x －1.10．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线y 2＝x 的核心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，直线l 与抛物线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x . 则点A 的坐标为(x 1，x 1)．因为直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2.因为y 1＋x 1y 2x 2－2x 1＝y 1x 2＋x 1y 2－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋x 1⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12－2x 1x2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 1＋x 2x 2＝2k －2×14k 2＋12×1－kk2x 2＝0，所以y 1＋x 1y 2x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．。
2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第1讲直线的方程课时作业理1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是( ) A.3x ＋y ＋2－4 3＝0B.3x ＋3y ＋6－4 3＝0C ．x ＋3y －2 3－4＝0D ．x ＋3y ＋2 3－4＝02．已知通过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．23．已知点A (1，－2)，B (5,6)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A ．－2或1B ．2或1C ．－2或－1D ．2或－14．直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A.13B.23 C ．－32 D ．－135．若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 通过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________．6．若直线l 先沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先的位置，则直线l 的斜率是__________．7．(2021年北京)已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．88．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．9．直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．10．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截得的线段AB以P为中点，求直线l的方程．－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的11．求通过点A()方程．第1讲 直线的方程1．B2．B 解析：由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0.∴a ＝－1，或a ＝－2. 4．D 解析：设P (a,1)，Q (7，b )，∵线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，∴由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋72＝1，b ＋12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－5，b ＝－3.故P (－5,1)，Q (7，－3)．直线l 的斜率为1＋3－5－7＝－13.故选D. 5．x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0 解析：方法一，设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意，得M (3,2)．若a ＝0，即直线l 过点(0,0)和(3,2)．因此直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1，因为直线l 过点M (3,2)，因此3a ＋2a ＝1. 因此a ＝5.现在直线l 的方程为x 5＋y 5＝1，即x ＋y －5＝0. 综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二，易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)．令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k . 因此3－2k ＝2－3k .解得k ＝－1或k ＝23. 因此直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)． 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.6．－137．C 解析：线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4，即2x ＋y －9＝0,2≤x ≤4.因为P (x ，y )在线段AB 上，因此2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7.故2x －y 的最大值为7.8．解：由题意知，直线l 的斜率为32.故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b . 直线l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 因此－23b －b ＝1，解得b ＝－35. 因此直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.9．解：(1)如图D128设直线l 的方程为图D128x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 因此43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝125，b 2＝92.因此直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1， 消去b ，得a 2－6a ＋8＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝6. 因此直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.10．解：方法一，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0， 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1. ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6.解得k ＝8. 故所求的直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.方法二，设直线l 1与AB 的交点A 的坐标为(x 1，y 1)，∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴直线l 2与AB 的交点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－y 1－2＝0，6－x 1＋－y 1＋3＝0. 解那个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝113，y 1＝163. ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式得直线l 的方程为y －0163－0＝x －3113－3，即8x －y －24＝0.11．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a <－2，b >2)．∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b2－b .∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2·2b 2－b ＝b 2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2＋4b －2＋4≥2 b －2·4b －2＋4＝8.当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时取等号，S 最小．现在a ＝－4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k (x ＋2)，明显k >0，由题意，得S ＝12||2k ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≥8.当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求的直线方程．。
2021年高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛物线课时作业理
1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
2．(xx 年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
3．(xx 年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2
＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点
C 的横坐标是( )
A ．2 B.12 C.32 D.5
2
4．已知M 是y ＝x 2
4
上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2
＝1上，则
|MA |＋|MF |的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．10
5．(xx 年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 6．(xx 年浙江)如图X771，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
图X771
A.
|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2
－1
|AF |2
－1
C.|BF |＋1|AF |＋1
D.|BF |2
＋1|AF |2
＋1
7．(xx 年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )
A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3
8．(xx 年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2
＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )
A.83
B.8 33
C.163
D.16 33
9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)
的焦点F 是椭圆C 1的顶点．
(1)求C 1与C 2的标准方程；
(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →
＝0，求直线PQ 的方程．
10．(xx 年北京)已知抛物线C ：y 2
＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C
交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．
(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．
第7讲 抛物线
1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝
3
－2－2
＝－3
4.故选C.
2．C 解析：假设P (x 0，y 0)在第一象限，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 2
0＝4
2x 0＝4 2×3 2＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝1
2×2×2 6
＝2 3.
3．C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝
3.所以点C 的横坐标为x 1＋x 22＝3
2
.故选C.
4．B 解析：如图D134，抛物线的准线l ：y ＝－1，由抛物线定义可知，当M 为过C 且与l 垂直的直线与抛物线的交点时，|MC |＋|MF |最小为5，∴|MA |＋|MF |的最小值为5－1＝4.故选B.
图D134
5．D 解析：因为F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，所以F (1,0)．
又因为曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D.
6．A 解析：
S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1
|AF |－1
. 7．C 解析：由抛物线定义知MN ＝MF ，显然三角形MNF 为正三角形，MN ＝MF ＝NF ＝4，则点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.
8．B 解析：方法一，由题意，可得直线PQ ：y ＝3(x －1)与抛物线y 2
＝4x 联立得：
3x 2
－10x ＋3＝0.所以点P (3,2 3)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2 33，则MN ＝2 3＋2 33＝8 33.在△MNF
中，MN 边上的高h ＝2，则S △MNF ＝12×2×8 33＝8 3
3
.故选B.
方法二，不妨设交点P 在x 轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，且1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1, |PM |－|QN ||PM |＋|QN |＝|PF |－|QF ||PF |＋|QF |＝12，故|PF |＝4，|QF |＝43
. 所以S △MNF ＝12×|MN |×p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43×32×2＝8 33
.故选B.
9．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，
依题意有2c ＝4 2，c a ＝63.解得a ＝2 3，c ＝2 2，又b 2＝a 2－c 2
，则b ＝2.
故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 2
4
＝1.
又抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)开口向上，
且F 是椭圆C 1的上顶点，∴F (0,2)．
∴p ＝4.故抛物线C 2的标准方程为x 2
＝8y .
(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →
＝(x 2，y 2－2)． ∴FP →·FQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.
由此可得，(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2
－4m ＋4＝0. ①
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 212＋y
2
4
＝1消去y 整理，得
(3k 2
＋1)x 2
＋6kmx ＋3m 2
－12＝0. ②
依题意，得x 1，x 2是方程②的两根， Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，
∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2
－12
3k 2＋1
.
将x 1＋x 2和x 1·x 2代入①，得
m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，x 2＝8y 消去y 整理，得
x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.
解得k 2＝12，经检验k 2
＝12
，m ＝－1符合要求．
故直线PQ 的方程为y ＝±
2
2
x －1. 10．(1)解：由抛物线C ：y 2
＝2px 过点P (1,1)得p ＝12
，
所以抛物线C 的方程为y 2
＝x .
抛物线y 2
＝x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.
(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋1
2
(k ≠0)，直线l 与抛物线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，
y 2)，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋12，y 2＝x ，
得4k 2x 2
＋(4k －4)x ＋1＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝1－k k 2
，x 1x 2
＝1
4k 2
.
因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x . 则点A 的坐标为(x 1，x 1)．
因为直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，
所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1，x 1y 2x 2.
因为y 1＋
x 1y 2x 2－2x 1＝y 1x 2＋x 1y 2－2x 1x 2
x 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋x 1⎝
⎛⎭⎪⎫kx 2＋12－2x 1x
2
x 2
＝2k －2
x 1x 2＋1
2
x 1＋x 2x 2
＝2k －2×14k 2＋12×1－k
k
2
x 2
＝0，
所以y 1＋
x 1y 2
x 2
＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．。
