线性代数 向量组线性相关性的判别定理

浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵来源：《科学导报·学术》2020年第27期摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。

然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。

尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。

本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。

为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。

关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理1. 向量组的线性相关性的定义定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。

定义2：如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。

注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。

而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。

而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。

显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。

2. 向量组的线性相关性的性质（1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。

（2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。

（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。

（4）维基本单位向量组线性无关。

3.向量组的线性相关性的判别定理（1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。

（2）。

（3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。

（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。

判断向量组线性相关的方法判断向量组线性相关的方法是线性代数中的一个重要概念，它对于研究向量空间的性质和解决实际问题都具有重要意义。

在实际应用中，我们经常需要判断给定的向量组是否线性相关，这就需要运用相应的方法进行分析。

接下来，我们将介绍几种常见的方法来判断向量组的线性相关性。

一、行列式法。

对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以将它们按列排成一个矩阵$A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$。

然后，我们计算矩阵$A$的行列式$|A|$，如果$|A|=0$，则向量组线性相关；如果$|A|\neq0$，则向量组线性无关。

二、线性方程组法。

另一种判断向量组线性相关的方法是通过解线性方程组来进行分析。

对于向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以构造一个线性方程组$X{\alpha}_1+Y{\alpha}_2+\cdots+Z{\alpha}_n=0$，其中$X,Y,\cdots,Z$为未知数。

然后，我们求解该线性方程组，如果存在不全为零的解，则向量组线性相关；如果只有零解，则向量组线性无关。

三、秩的方法。

我们还可以通过矩阵的秩来判断向量组的线性相关性。

对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们将它们按列排成一个矩阵$A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$，然后计算矩阵$A$的秩$r$。

如果$r<n$，则向量组线性相关；如果$r=n$，则向量组线性无关。

四、线性相关性的性质。

除了以上方法外，我们还可以利用线性相关性的性质来判断向量组的线性相关性。

例如，如果向量组中存在一个向量是其他向量的线性组合，则该向量组线性相关；如果向量组中的向量个数大于向量的维数，则向量组线性相关。

线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。

线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。

在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。

一、向量的线性相关性定义。

在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。

k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。

其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。

二、线性相关判断方法总结。

1. 行列式法。

对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。

2. 向量组的线性表示。

判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。

如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。

3. 矩阵的秩。

将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。

4. 线性方程组。

将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。

5. 内积法。

对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。

三、线性相关判断方法的应用。

线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。

在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。

在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。