广东省深圳高级中学高三数学上学期期末试题 文
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深圳市高级中学2012届1月月考试题 数学（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）。
1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M N = （ ）A ．{21}x x -≤<B ．{1}x x <C ．{2}x x <-D ．{21}x x -<<2．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R 3．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ ）A ．1710 B ．8 C ．2 D ．1754．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++的值为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．545．如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 A. 360 B. 720 C. 240 D. 1206．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7．设P 为双曲线x 2-122y =1上的一点，F 1、F 2是双曲线的焦点， 若|PF 1|:|PF 2|=3:2，则△PF 1F 2的面积为 ( )A ．63B ．12C ．123D ．248．在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点 落在正方体内部的概率为（ ）ABCD9. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为AB ．2C ．4D ．10．已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时, 若*,()n n N a f n ∈= ，则2011a = （ ）图1A ．13-B ． 3C ．3-D ．13二、填空题（本大题共4小题分，每小题5分，共20分。
其中14，15小题为选做题，考生从给出的二道选做题中选择其中一道作答，若二题全答的只计算前一题得分） 11．若复数i iaz ++=1为实数，则实数=a 。
12．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况， 将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图 中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的 频数为12，则报考飞行员的学生人数是 .13．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a b ≥时，a b a⊕=；当a b <时，a b b ⊕=2． 则函数)2()1()(x x x x f ⊕-⋅⊕=，[]22x ∈-，的最大值等于___________（其中“⋅”和“－”仍为通常的乘法和减法）14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题12分）已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x xa ==，函数()f x ab =a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f的值域．甲D CBA F E乙D BA17.（本题14分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：两组技工的技术水平；⑵质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．18. （本题12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．19.(本小题满分14分)已知过点(0,2)P 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）若以AB 为直径的圆经过原点O ，求直线l 的方程；（2）若线段AB 的中垂线交x 轴于点Q ，求POQ ∆面积的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中， 12a =，1220n n a a n +---=（n N *∈）.(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围。
21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x x ax a R =-∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线方程； (2) 3a =时，求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；(3)设11n a n=+（*n ∈N ），求证：22212123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++深圳市高级中学2012届1月月考 答题卷班级： 姓名： 一、选择题二。
填空题11． 12． 13．（选做题）14． 15．三、解答题16．17．F E乙DBA甲DCBA18． 19．20．21．深圳市高级中学2012届1月月考答案一． 选择题：ADCCA BBDCD二． 填空题：11. 2 ; 12. 48 ; 13.6; 14. 4; 15. 2. 三． 解答题： 16．解：122()()sin cos cos sin cos )33332331222sin sin()23333x x x x x xf x a b x x x π=⋅==++=+=++Ⅰ3分令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，解得，)(,43453Z k k x k ∈+≤≤-ππππ.故函数)(x f 的单调递增区间为)(],43,453[Z k k k ∈+-ππππ.6分 22222221(),cos .2222a cb ac ac ac ac b ac x ac ac ac +-+--===≥=Ⅱ8分953323,301cos 21ππππ≤+<∴≤<<≤∴x x x ，， 2sinsin()1333x ππ∴<+≤， 10分23123)332sin(3+≤++<∴πx 即)(x f 的值域为]231,3(+.综上所述，)(],3,0(x f x π∈的值域为]231,3(+. 12分17、解：5、解：⑴依题意，7)109754(51=++++=甲x ，7)9876(51=+++=乙x ……2分2.5526])710()79()77()75()74[(51222222==-+-+-+-+-=甲s ……3分2])79()78()77()76()75[(51222222=-+-+-+-+-=乙s ……4分因为乙甲x x =，22乙甲s s >，所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大……6分⑵记该车间“质量合格”为事件A ，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7）， （10，8），（10，9）共25种……8分事件A 包含的基本事件为：（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7）， （7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5）， （10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种……10分，所以2517)(=A P ……11分。
答：即该车间“质量合格”的概率为2517 ……12分 18解：（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即F E乙DBAAB BD ⊥--------------------------------------------2分 在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．------------------------------------------4分又90DCB ∠=，∴DC⊥BC ,且AB BC B =∴DC ⊥平面AB ．---------------------7分（2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，--------------------------------------------------------8分 ∴13A BFE F AEBAEB V V S FE --∆==⋅-------------------------9分 在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 由CD a =得2,BD a BC == ,1122EF CD a ==--------------------------11分∴211222ABC S AB BC a ∆=⋅=⋅= ∴2AEB S a ∆= ∴231132A BFE V a -=⋅=-------------------------------------------14分19. 解：（1）设直线AB 的方程为2y kx =+（0≠k ），设),(),,(2211y x B y x A ，由242y x y kx ⎧=⎨=+⎩ 得22(44)40k x k x +-+=————————（*） ——————2分则由22(44)1632160k k k ∆=--=-+>，得12k <， 12224444k k x x k k --+=-=，1224x x k =， —————————————4分 所以1212(2)(2)y y kx kx =++2121282()4k x x k x x k=+++=， ————————5分 因为以AB 为直径的圆经过原点O ，所以90AOB ∠=，即0OA OB ⋅=，———6分 所以12122480OA OB x x y y k k ⋅=+=+=，解得12k =-， 即所直线l 的方程为122y x =-+. ————————————8分 （2）设线段AB 的中点坐标为),(00y x ，则由（1）得120002222,22x x k x y kx k k+-===+=， —————————9分 所以线段AB 的中垂线方程为22122()k y x k k k --=--， ———————10分 令0=y ，得2222222113222()22Q k x k k k k -=+=-+=-+， —————————12分 又由（1）知12k <，且0≠k ，得10k <或12k>， 所以2132(0)222Q x >-+=，所以112222POQ Q S PO OQ x ∆=⋅=⨯⨯>， 所以POQ ∆面积的取值范围为),2(+∞. —————————14分20.解 （1）由题意得12(2)n n a a n n --=≥，通过叠加得n a =(1)n n +(2)n ≥.又12a =符合此通项公式，(1)n a n n ∴=+…………………………………………………………(4分)（2）通过裂项得2231n n b n n =++123n n=++，n b 的最大值为116b =所以要使不等式恒成立，须使211266t mt -+>恒成立，[]1,1m ∈-.………………(9分) 当0t =时，()0g m >不成立；当0t ≠时，()g m 是一次函数，所以{(1)0(1)0g g ->>，解得(,2)(2,)t ∈-∞-⋃+∞……（14分）21．解：解：(1) ()ln f x x =，1()f x x '=，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线方程为1(1)y x =-，即10x y --=. ……………………4分(2) 2()ln 3F x x x x =+-，'1()23F x x x =+-2231(21)(1)x x x x x x -+--== ………6分 由1()002F x x '>⇒<<或1x >，()0F x '<⇒112x <<， …………………………8分 所以函数()()()F x f x g x =+的单调增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ (9)分(3)由(2)知3a =时，2()ln 3F x x x x =+-在(1,)+∞上是增函数．所以1(1)(1)2F F n+>=-．所以2111ln(1)(1)3(1)2n n n+++-+>-． 所以21113(1)(1)2ln(1)n n n+-+<++． 即2132ln(1)n n a a n -<++． …………………………………………………12分 所以21132ln(11)a a -<++， 222132ln(1)2a a -<++， 233132ln(1)3a a -<++， …… 2132ln(1)n n a a n-<++．所以22212123()n n a a a a a a +++---- 2221122(3)(3)(3)n n a a a a a a =-+-++-231(2ln )(2ln )(2ln )12n n+<++++++ 2ln(1)n n <++．故所证不等式成立． ……………………………………………………………14分。
