复杂网络下病毒传播

技术创新中文核心期刊《微计算机信息》（管控一体化）２００７年第２３卷第１２－３期３６０元／年邮局订阅号：８２－９４６《现场总线技术应用２００例》软件时空引言科学家们在研究复杂网络上疾病的传播行为的时候，主要关心的问题是网络拓扑结构是否会对网络传播行为产生明显的影响。

Ｐａｓｔｏｒ－Ｓａｔｏｒｒａｓ和Ｖｅｓｐｉｇｎａｎｉ对于无标度网络上疾病传播行为的研究发现，无论传染强度多么小，疾病都能持久存在，原则上就没有办法通过降低传染强度来遏制疾病的传播，除非采用隔离保护某些节点或切断某些传播途径等方法改变传播网络的拓扑结构，由此提出了“目标免疫”、“比例优先免疫”和“熟识者免疫”策略等。

传统的传播模型只是真实情况简单的抽象，存在一些与实际情况不符的地方，比如缺少一些与实际传染病学或计算机病毒学对应的一些参数。

因此针对不同传染病的特点，还有其他相应的传播模型。

比如，对于免疫期有限的疾病，往往利用ＳＩＲＳ模型进行分析。

在现实的社会网络中，信息传递所需的时间是必不可少的，而个体一旦感染疾病后是必须要经历一段时间才能治愈的，包括感染个体被发现、送往医院、休息调养并完全康复，这就是每个个体的康复周期。

本文通过修改网络传播模型的演化规则，在传统的ＳＩＳ模型中引入治愈时间间隔τ，来模拟治愈时间间隔对病毒传播的影响，由此找出遏制病毒传播更好的策略。

１引入治愈时间间隔的ＳＩＳ模型在ＳＩＳ病毒传播模型中，网络节点代表个体，边代表个体间的接触。

节点在任何时候只能处于两种状态中的任一种：易感染状态（Ｓ）和感染状态（Ｉ），两种状态是在完全忽略节点内病毒机制下设定的，在模型中引入治愈时间间隔τ后，设连通网络Ｇ＜Ｖ，Ｅ＞，Ｖ代表网络中的节点数，Ｅ代表网络中节点相连的边数。

并设与感染节点相连的每条边病毒传染率为β，而每个感染节点的康复率为γ。

Ｐ（ｉ，ｔ）表示在时刻ｔ，节点ｉ处于Ｉ状态的概率；φ（ｉ，ｔ）表示在时刻ｔ，节点ｉ未从其邻接节点处感染病毒的概率；ｓ（ｉ，ｔ）表示在时刻ｔ，节点ｉ的状态；τｉ表示已感染病毒的节点ｉ治愈所需的时间；ρｔ表示在时刻ｔ，病毒在网络中的感染密度（波及范围）。

每个单位时间间隔，已感染病毒节点ｉ（包括尚未康复者）以β概率传播给其相邻节点，同时以概率康复。

则（１）当下述条件成立，则在时刻ｔ，节点ｉ处于Ｓ状态：１）在ｔ－１时刻，节点ｉ处于Ｓ状态且在ｔ时刻没有从其邻接节点处感染上病毒；２）在ｔ－τｉ－１时刻，节点ｉ感染病毒后处于Ｉ状态，在ｔ时刻则由Ｉ状态迁移到Ｓ状态且没有从其邻接节点处感染上病毒。

则在ｔ时刻，节点ｉ处于Ｉ状态的概率：（２）在时刻ｔ，节点ｉ的状态为ｓ（ｉ，ｔ）＝１（处于Ｉ状态）或ｓ（ｉ，ｔ）＝０（处于Ｓ状态），通过节点状态的数值化模拟网络中节点状态的变化，对病毒传播进行模拟分析，则（３）２仿真过程及结果分析本文对小世界网络Ｇ＜２０００，６０００＞（＜ｋ＞＝６，ｐ＝０．０７）和无标度网络Ｇ＜２０００，４３０４＞进行模拟分析，仿真过程描述如下：１）在初始时间ｔ，选择一定比例的节点，并设这些节点处于复杂网络下引入时间参数的病毒传播Ｅｐｉｄｅｍｉｃｓｐｒｅａｄｉｎｇｗｉｔｈｈｅａｌｉｎｇｔｉｍｅｉｎｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋ（上海理工大学）张丹荣张宁ＺＨＡＮＧＤＡＮＲＯＮＧＺＨＡＮＧＮＩＮＧ摘要：本文提出引入时间参数（个体从被感染病毒到康复的周期）的易感染类－已感染类－易感染类（ＳＩＳ）病毒传播模型。

基于ＭＡＴＬＡＢ语言环境下，对小世界网络和无标度网络模型进行仿真分析，在整个病毒传播模拟过程中采用网络中个体治愈时间参数相同以及随个体点介数变化两种情况，研究发现治愈时间参数的存在增强了病毒的传播和破坏程度，而且明显影响了小世界网络的临界传播阈值，为抑制现实病毒传播的有效办法研究提出了思路。

关键字：复杂网络；病毒；传播阈值中图分类号：ＴＰ３９３．０１文献标识码：ＡＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓａｍｏｄｉｆｉｅｄｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ－ｉｎｆｅｃｔｅｄ－ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ（ＳＩＳ）ｍｏｄｅｌｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇａｐａｒａｍｅｔｅｒｏｆｈｅａｌｉｎｇｔｉｍｅｗｈｉｃｈｍｅａｎｓｔｈｅｐｅｒｉｏｄｏｆａｎｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｇｅｔｔｉｎｇｗｅｌｌａｆｔｅｒｂｅｉｎｇｉｎｆｅｃｔｅｄ．ＢａｓｅｄｏｎＭＡＴＬＡＢ，ｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｓｉｍｕｌａｔｅｄｏｎｓｍａｌｌ－ｗｏｒｌｄａｎｄｓｃａｌｅ－ｆｒｅｅｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｂｏｔｈｕｎｉｆｏｒｍａｎｄｂｅｔｗｅｅｎｅｓｓ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｈｅａｌｉｎｇｔｉｍｅａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｄｕｒｉｎｇｔｈｅｃｏｎｔａｇｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ．Ｆｉｎａｌｌｙｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆｈｅａｌｉｎｇｔｉｍｅｉｎｔｅｎｓｉｆｙｔｈｅｓｐｒｅａｄａｎｄａｆｆｅｃｔｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｔｈｒｅｓｈｏｌｄｏｆｓｍａｌｌ－ｗｏｒｄｎｅｔｗｏｋｓ．Ｔｈｅｐａｐｅｒｗｉｌｌｏｆｆｅｒｓｏｍｅｉｄｅａｓｏｆｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｔｈｅｅｐｉｄｅｍｉｃｓｐｒｅａｄｉｎｇｉｎｔｈｅｒｅａｌｗｏｒｌｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｅｐｉｄｅｍｉｃ，ｃｒｉｔｉｃａｌｔｈｒｅｓｈｏｌｄ文章编号：１００８－０５７０（２００７）１２－３－０２０４－０２张丹荣：硕士研究生基金项目：上海市重点学科建设项目资助（Ｎｏ．Ｔ０５０２）；上海市自然科学基金（Ｎｏ．０６ＺＲ１４１４４）２０４－－邮局订阅号：８２－９４６３６０元／年技术创新软件时空《ＰＬＣ技术应用２００例》您的论文得到两院院士关注已感染状态（Ｉ），其它节点为处于未感染状态（Ｓ）。

２）在ｔ＋Δｔ时间步，与感染节点直接相连的健康节点以β概率被感染。

３）在ｔ＋Δｔ＋τ时间步，在时刻感染的节点以概率γ被治愈；４）在分别改变传播速率λ（＝β／γ）和治愈时间间隔τ下，重复执行步骤１）、步骤２）、步骤３），计算随机选择相同比例感染节点的条件下，重复Ｎ次得到的平均稳态感染密度ρ和传播阈值λＣ。

在仿真中，部分节点可能在易感染状态与感染状态间循环变化，即Ｓ→Ｉ→Ｓ→Ｉ…．的变化过程，且假设网络中节点的初始感染比例为０．０２，Ｎ＝１００，计算平均感染密度ρ（λ，τ）。

２．１在相同治愈时间间隔τ下的仿真网络中所有个体具有相同的治愈时间间隔，τｉ＝τ，就是说，网络中每个节点的康复时间与网络节点的连通度或点介数无关，比如计算机感染病毒后经过一段时间（包括防毒软件上市时间等）后将防毒软件同步升级，所以在同一时刻就能清除网络中同时感染病毒的计算机上的病毒。

在此次仿真过程中每个节点的治愈时间间隔τ是相同的，即无论节点点介数或节点度数大小，节点感染病毒后的康复周期都是相同的。

图１中◆代表传染速率λ＝０．１，■代表λ＝０．１５，▲代表λ＝０．２。

随着τ的增大，病毒在小世界网络和无标度网络中的平均感染密度ρ都随之增大而且存在对数关系，即ρ≈Ａ１ｎτ＋Ｂ。

这样就扩大了病毒的波及范围，并对病毒的遏制增加了一定难度。

图１－１小世界网络下感染密度随治愈时间的变化图１－２无标度网络下感染密度值随治愈时间的变化图２－１小世界网络下感染密度随传染速率的变化其次，分别模拟不同的治愈时间间隔τ下病毒传染速率λ的变化对病毒感染密度ρ的影响。

图２中◆代表τ＝０，■代表τ＝２，▲代表τ＝４。

小世界网络下随着τ的增大，网络的临界传播阈值λＣ逐渐减小，且平均感染密度ρ增大，如图２－１所示。

同时，在一定的传染速率范围内病毒的传播不易再扩散，达到动态稳定，但是传染速率一旦达到某值，网络中病毒的波及范围会扩大，因此必须在病毒进一步扩散前采取免疫策略来遏制传播。

对无标度网络来说，传播阈值接近于零，在文献中就首次提出了感染密度ρ与λ的关系ρ～ｅｘｐ（－１／ｍλ）。

在引入治愈时间间隔τ后，无标度网络下ρ随τ增大而增大，但与λ仍成指数关系，说明无标度网络下引入治愈时间间隔τ后对病毒传播阈值的影响微弱。

图２－２无标度网络下感染密度随传染速率的变化２．２在治愈时间间隔随节点的点介数变化条件下的仿真节点的介数是网络中所有最短路径中经过该节点的数量比例，介数反映了相应的节点或边在整个网络中的影响力，具有很强的现实意义。

在病毒遏制策略方面，文献［３］中针对无标度网络，比较了度优先免疫、边介数免疫以及点介数免疫３种节点优先保护策略，认为在资源有限的情况下优先治疗点介数比较大的节点比目前认为效果较好的“目标免疫”所达到的效果更佳。

但是在本文的病毒传播模型中，节点的点介数对节点的治愈时间间隔反相关，这样只有保护点介数较大的节点可能不能达到最佳效果。

在模型中，点介数较大的节点可以看作平时交际范围较广的个体，故该个体染病后就能较快被发现并及时治疗，因此节点的点介数愈大，其相对的治愈时间间隔愈短。

然而，考虑到网络中节点的点介数不等同性，提出节点的点介数ｂ与τ的关系，其中α为可调数。

式中，节点的治愈时间间隔τ反比于节点的点介数ｂ，即节点介数愈大者康复愈快。

通过设定不同的α值来改变网络中节点的治愈时间间隔τ，并模拟不同的病毒传染速率λ下的病毒传播。

图３中◆代表α＝０．１，■代表α＝０．２，▲代表α＝０．３。

小世界网络下，随减小，其临界阈值减小，即病毒在网络中会提前爆发，而且病毒在该小世界网络上的仿真结果类似于上述相同治愈时间间隔下的情况，病毒在一定范围的传染速率内都能达到动态稳定。

网络中每个节点的治愈时间间隔不同的情况下无标度网络的仿真结果如图３－２所示，ρ与１／λ仍成指数关系。

图３－１小世界网络下感染密度随传染速率的变化图３－２无标度网络下感染密度随传染速率的变化（下转第１８８页）２０５－－技术创新中文核心期刊《微计算机信息》（管控一体化）２００７年第２３卷第１２－３期３６０元／年邮局订阅号：８２－９４６《现场总线技术应用２００例》软件时空启动流程：负责工作流的启动。

当工作流开始运行时，系统根据工作流所使用的表单建立表单的实例。

在工作流的运行过程中，根据表单的定义以及工作流中对表单在当前节点的描述，为用户动态生成表单。

用户的输入内容在通过有效性验证后存储到数据库中，由工作流引擎将其提交到工作流中的下一个节点。

表单的实例是在某一用户启动一个工作流时建立的。

数据库中除了要记录当前工作流的信息以外，还要根据用户的信息记录实例的创建人、创建时间等。

副本传递：随着工作流的逐步执行，在每一步都可以为当前的实例建立副本，保存当前节点的用户输入。

在单线的工作流系统中，可以使用单一的实例保存整个过程中表单的值，但是在多分支的工作流系统里，必须使用单独的副本来为每一个节点保存所产生的值。

副本的总数量是由工作流图中的节点间路径总数所决定的，同时存在的最大副本数量是由最大分支数所决定的。