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高三 解三角形教案 导学案

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教学过程知识导入（进入美妙的世界啦~）（一）解三角 知识梳理1、内角和定理：在ABC ∆中，0180A B C ++=。

（1）sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-。

（2）cos sin 22A B C +=。

2、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等。

（1）R Cc B b A a 2sin sin sin ===；（2）边角互化：A R a sin 2=、B R b sin 2=、C R c sin 2=。

3、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

（1）bca cb A 2cos 222-+=；cos B =_______________；cos C =_______________。

（2）2222cos a b c bc A =+-，2b =_________________；2c =_________________。

3、三角形的面积公式：1sin 2ABC S ab C ∆==___________=____________。

5、余弦定理与三角形面积公式的应用：1sin 2ABC S ab C ∆= 2222222222()2cos 222a b c a b ab c ab a b c ab C ab ab ab+-+±-±-===m m 即cos ABC S ab a b C ∆↔↔±↔6、恒等变换在三角形中的应用：注意：在解决三角形的综合题目中，我们重点关注的是边与角之间的关系，至于题目中出现的是哪个三角函数名并不重要（例如：4π=B 与31sin =B 其实效果是一样的），因此，找准边角关系是关键。

例题精讲【题型一、正弦定理】【例1】 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知sinA = 2sinBcosC ，证明ABC ∆是等腰直角三角形。

【变式1】 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba .【方法技巧】在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)．【题型二、余弦定理】【例2】 在∆ABC 中，若 13a =4c =，60A =o ，则b =______。

【变式2】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，2223b c bc a ++=，则A ∠=_____。

【题型三、正弦定理与余弦定理综合使用】【例3】在ABC ∆中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = （ ）(A)10 10 (C) 3105【变式3】在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 5:6:8A B C =，那么此三角形最大角的余弦值是_______。

【方法技巧】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【题型四、边角互化模型】【例4】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，若222sin sin sin sin --=C A B A B ，则C ∠=_______。

【变式4】在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知b a c B C A -=-3cos cos 3cos 。

则ac =_____。

【题型五、判断三角形形状】【例5】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果（a 2 + b 2）sin(A-B) = (a 2 - b 2）sin(A+B)，求该三角形的形状【变式5】：在ABC ∆中，B ＝︒60，ac b =2，则ABC ∆一定是（ ）三角形 A 、锐角 B 、钝角 C 、等腰 D 、等边【题型六、角度拼凑在三角形中的应用】【例6】已知45A =o ，4cos 5B =.则sinC =______。

【变式6】例9：ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 【题型七、面积与边角的转化】【例7】在C B A c b a ABC ,,,,是角中，∆所对的边，且bc B A 2tan tan 1=+ 一、求角A ； 二、已知ABC a ∆=,27的面积233=S ，求b c +的值【变式7】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239C.233 D.33【题型八、角度的互换】【例8】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ；(2)若31sin sin 4A C -=,求C .【变式8】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB 。

（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.【题型九、求边（角）的取值范围】【例9】2.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为【变式9】△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【题型十、三角形与三角函数结合】【例10】已知函数f(x)=sin(2x+Φ),(0<Φ<π)的图像经过点（12π，1）。

（1）求Φ的值。

（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c ，若ab c b a =-+222， 且22√)12π2(=+A f ， 求sinB.【变式10】设函数()22cos 2cos ,32x f x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭。

（1）求()f x 的值域；（2）记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()f B =1，a 的值。

1 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A 1 B 1- C 32 D 32- 2 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A A sin B A cos C A tan D A tan 13 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 4 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A 2 B 23 C 3 D 32 5 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A 006030或 B 006045或 C 0060120或 D 0015030或6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A 090 B 0120 C 0135 D 01507、在ABC ∆中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

8、在ABC ∆中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

9、在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于_________。

10、在ABC ∆中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

11、在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是_________。

12、在ABC ∆中，若)())((c b b ca c a +=-+，则A ∠=_________。

13、在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，若2sin =a c A ，则C ∠=_______。

14、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1,2A C B a c -+==，则C =___。

15、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b a c B C A -=-2cos cos 2cos ，则AC sin sin =_______。

16、设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =。

（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b 。

（一日悟一理，日久而成学）一、方法小结:二、本节课我做的比较好的地方是：三、我需要努力的地方是：课后作业回顾小结【基础巩固】一、选择题 1 A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A )2,2( B )2,2(- C ]2,1(- D ]2,2[- 2 在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A 12 B 221 C 28 D 36 3 在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A sin cos A A > B sin cos B A > C sin cos A B > D sin cos B B >4. 在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A 090 B 060 C 0120 D 01505. 在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形二、填空题 1 在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2 在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+==则z y x ,,的大小关系是___________________________ 3 在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________ 4 在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________三、解答题 1 在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状2. 在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 33A C +=+，AB 边上的高为43，求角,,A B C 的大小与边,,a b c 的长【能力提升】1．(2014·北京卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．2．(2014·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A－cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．3．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，锐角B 满足 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π12＝253，b ＝2，求△ABC 面积的最大值．。

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解三角形导学案

解三角形导学案

解三角形导学案（9、20）主备人：wfg 审核：LHC 班级姓名课后拓展1．(2010·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.632.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC AB →⋅AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.323．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 4．(2011·聊城模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 5．(2010·湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则 ( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________________． 7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 8．(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 25A =，3AB AC ∙= .(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10． (2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．当堂检测1、A B C ∆中，a=3，A=300，B=600，则b 等于（ ）A 、BC 、2D 、2、在A B C ∆中，2cos22B a c c+=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则A B C ∆的形状为（ ）A 、等边三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形或直角三角形D 、等腰直角三角形3、A B C ∆中，若a =1cos 3C =，ABCS ∆=，则b= 。

高三数学解三角形教学设计

高三数学解三角形教学设计

高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。

解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。

通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。

2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。

然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。

因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。

三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。

必修5—导学案解三角形

必修5—导学案解三角形

1.1 正弦定理第1课时知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题课堂互动一：预习课本二:学习探究如图所示90=∠A是锐角A∠是钝角A∠自学评价1．正弦定理：在△ABC中，===CcBbAas i ns i ns i n______,2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________；（2）_________________________________________________________________3.注意公式的变形______________sin___sin___sin___sin=======cbaAcCbCaBa4.三角形的面积公式AbcBacCabSABCsin21sin21sin2121===⋅=∆高底精典范例例1在ABC∆中，30A=︒，105C=︒，10a=，求b，c．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．例2根据下列条件解三角形：（1）60,1b B c==︒=；（2）45,2c A a=︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．追踪训练一1．在△ABC中，0105=C，045=B，5=c，则b的值为（）A )13(5- B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC中，已知3=a，4=b，32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 13．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，025=C ； （2）13=b ，26=a ，030=B 。

《必修5》第一章_解三角形导学案.docx

《必修5》第一章_解三角形导学案.docx

试试:(1)在AABC屮，一定成立的等式是( ).学习旦反1.拿握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.A・asm A = bs\n BC. asinB = bsinAB. acosA = bcosBD. acosB = bcosA(2)已知ZkABC 屮，d=4, 则ZB等于__________________ .b =8, ZA=30°,上j学习过程一一、课前准备试验:同定△ ABC的边CB 及ZB,使边AC绕着顶点C 转动. A［理解定理］(1)正弦定理说明同一三角形小，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同i正数，即存在正数k ］^a =ksin A , ______________________ , c = ksinC；⑵斗=亠=—等价于_________________________ ，sin A sin B sin C思考：Z C的大小与它的对边AB的长度Z间有怎样的数蜃关系？显然，边AB的长度随着其对角ZC的人小的增大而__________ .能否用一个等式把这种关系精确地表示出來？c _ b a _ c—j —•sinC sin B sin A sinC(3)正弦定理的基本作用为：①己知三角形的任意两角及具一边町以求具他边,如0 =bsmAsinB二、…新课导学探事习探究探究1：在初中，我们己学过如何解玄介三介形，下面就首先來探讨直角三角形中，角与边的等式关系•如图，在RtA ABC中，设BC=a, AC=b,AB=c,根据锐角三角冈数中正弦两数的定义,有纟=sin A , — = s\nBc cXsinC = 1 =-,从而在直角三角形ABC中，=sin A sin B sin C 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当A ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD= a sin B = bs\n A ,贝ij f = »,sin A sin B同理可得：厶=上，sinC sinBH -r- ci b c从血---- = ----- = ------ •sin A sin B sin C类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的________ 的比相等，即：丄=丄=厶.sin A sin B sin C ②已知三角形的任意两边与其中一边的对几可以求其他角的正弦值，如sin A = —sin B : sin C = ___________ .b(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形.探典型例题例1、在MBC'I1,已知A = 45。