活跃在高考中特殊函数
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活跃在高考中的特殊函数函数是中学数学的主轴内容，也是历年高考“经久不衰”的重点、难点和热点内容.各级各类考试命题者为了命好函数题而绞尽脑汁，挖空心思，所编制的函数题超凡脱俗，新颖别致，颇具思考性和挑战性.其中以特殊函数为背景的函数题更是频频“闪亮登场”，常处于压轴题的地位，充当把关题的“角色”.下面将活跃在高考中的几种特殊函数分类列举，并结合典型例题予以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1.单位跳跃函数与符号函数【例1】(2004年武汉市高考模拟题)已知H(x)=称为单位跳跃函数，Sgn(x)=称为符号函数.(1)画出y=H(x-2)+1的图像；(2)画出y=H[Sgn(x2-x-2)]的图像；(3)求证：Sgn(x)=H(x)-H(-x).(1)y=H(x-2)+1=即y=H(x-2)+1=∴y=H(x-2)+1的图像如下图所示：(2)∵Sgn(x2-x-2)=∴H[Sgn(x2-x-2)]=∴y=H[Sgn(x2-x-2)]的图像如下图所示：(3)当x＞0时，Sgn(x)=H(x)=1，H(-x)=0；当x=0时，Sgn(x)=0，H(x)=H(-x)=1；当x＜0时，Sgn(x)=-1，H(x)=0，H(-x)=1.综上所述，Sgn(x)=H(x)-H(-x).【例2】(2004年南昌市高考模拟题)定义符号函数Sgnx=则不等式x+2＞(2x-1)Sgnx的解集是_____.原不等式等价于①或②或③由①得，0＜x＜3；由②得x=0；由③得＜x＜0.综合①②③得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}.2.凸函数【例3】(2004年济南市高考模拟题)若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的任意n个值x1，x2，…，x n，总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f()，则称f(x)为D上的凸函数.现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是( ).A. B. C. D.在△ABC中，A,B,C∈(0,π)，由凸函数的定义，知(sinA+sinB+sinC)≤sin，∴sinA+sinB+sinC≤3sin.即sinA+sinB+sinC的最大值为.故应选C.3.凹函数【例4】(2004年南京市高考模拟题)定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R，a≠0)，(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；(2)如果x∈[0,1]，|f(x)|≤1，试求实数a的取值范围.(1)对任意x1，x2∈R，∵a＞0，∴[f(x1)+f(x2)]-2f()=∴f()≤[f(x1)+f(x2)].∴函数y=f(x)为凹函数.(2)由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1当x=0时，a∈R，当x∈(0,1]时，恒成立.即∵x∈(0,1]，∴≥1.∴当=1时，取得最大值-2；当=1时，取得最小值0.∴-2≤a≤0，注意到a≠0，∴-2≤a＜0.故所求实数a的取值范围为[-2,0).4.取整函数【例5】(2004年郑州市高考模拟题)阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数.在实数轴R(箭头向右)上，[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时，[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯(Gauss)函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.例如当您在学习和使用计算器时，在用到的算法语言中，就有这种取整函数.从[x]的定义可得下列性质：x-1≤[x]≤x≤[x+1].与[x]有关的另一个函数是{x}，它的定义是{x}=x-[x]，{x}称为x的“小数部分”，这也是一个很常用的函数.(1)根据上文可知：{x}的取值范围是______；[-5.2]=______.(2)求[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21024]的和.(1){x}的取值范围是[0,1)，[-5.2]=-6.(2)∵∴原式=0+1·(22-2)+2·(23-22)+…+9·(210-29)+10=1×2+2×22+…+9×29+10.令S=1×2+2×22+…+9×29，则2S=1×22+2×23+…+9×210.两式相减得S=9×210-(2+22+…+29)=9×210-=8194.∴原式=8194+10=8204.【例6】(2004年重庆市高考模拟题)给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论不正确的是( ).A.x-[x]≥0B.x-[x]＜1C.x-[x]是周期函数D.x-[x]是偶函数[x]叫做取整函数，例如[3]=3，[3.9]=3，[-3.1]=-4，显然0≤x-[x]＜1，且函数x-[x]是周期函数，其周期为1.故应选D.【例7】(2004年南宁市高考模拟题)拟定从甲地到乙地通话m min的电话费由f(m)=1.06(0.5×[m]+1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3，[3.4]=4，[3.1]=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的话费为( ).A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77m=5.5时，[m]=6，故f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24，故应选C.应注意这里给出的即时定义[m]，与例6中的取整函数的定义不吻合，该题根据实际意义，采用的是“进位”，而在取整函数[x]中采用的是“去尾”.5.有界函数【例8】(2004年安庆市高考模拟题)定义在D上的函数f(x)，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数.(1)试判断函数f(x)=2sin(x+)+3在实数集R上，函数在[1,3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由.(2)若已知某质点的运动方程为，要使在t∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围.(1)∵|f(x)|=|2sin(x+)+3|≤|2sin(x+)|+3=2|sin(x+)|+3≤2×1+3=5，对任意x∈R都成立，∴f(x)是R上的有界函数.∵g＇(x)=3x2+，当x∈[1,3]时，g′(x)＞0.∴g(x)在[1,3]上是增函数.∴当x∈[1,3]时，g(1)≤g(x)≤g(3)，即-2≤g(x)≤26.∴存在常数M=26，使得对任意x∈[1,3]，都有|g(x)|≤M成立.故函数g(x)=x3-是[1,3]上的有界函数.(2)s′(t)=-a.∵|s′(t)|≤1，∴|-a|≤1，∴当t∈[0,+∞)时，(+1)min=1，∴a≤1；当t→+∞时，→1，且连续递增，所有值都小于1，所以a≥0.故使|s′(t)|≤1在[0,+∞)上恒成立的a的取值范围是0≤a≤1.6.闭函数【例9】(2004年黄冈中学高考模拟题)已知函数f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]D，使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]，那么我们把函数f(x)(x∈D)叫做闭函数.(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b]；(2)判断函数f(x)=x+(x∈R+)，y=2x-lgx是不是闭函数？若是，请说明理由，并找出区间[a,b]；若不是，请说明理由；(3)若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围.(1)因为y=-x3在R上单调递减，所以有-a3=b，-b3=a，二式相加得，-(a+b)(a2-ab+b2)=a+b a+b=0或a2-ab+b2=-1(舍)，即a=-b，代入-a3=b，得b3=b b=0或b=±1，而当b=0时，a=0；当b=-1时，a=1，又a＜b，故b≠0，b≠-1.∴b=1，a=-1，故[a,b]=[-1,1].(2)取x1=1，x2=10，则f(x1)=＜=f(x2)，故f(x)不是(0,+∞)上的减函数.取x1=，x2=，则f(x1)=+10＜+100=f(x2)，故f(x)不是(0,+∞)上的增函数.∴f(x)不是闭函数.y′=2-lge，令y′=0x=，当x＞时，y′＞0，即它在(,+∞)上单调递增；当0＜x＜时，y′＜0，即它在(0,)上单调递减.综上可知y=2x-lgx不是单调函数，故它肯定不是闭函数.(3)y′=＞0，故y=k+在[-2,+∞)上单调递增，故(a≥k，b≥k)，故a，b为方程F(x)=x2-(2k+1)x+k2-2=0的两个大于或等于k的不同实根，则解得-＜k≤-2.所以实数k的取值范围为(-,-2].7.边际函数【例10】(2004年北京海淀区高考模拟题)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)=500x+4000(单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000(x∈[1,100]，x∈N*).MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x(x∈[1,100]，x∈N*).(2)∵P(x)=-20(x-)2+74125，∴当x=62或x=63时，P(x)max=74120(元).∵MP(x)=2480-40x是减函数，∴当x=1时，MP(x)=max=2440(元).故利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相等的最大值.(3)边际利润函数MP(x)，当x=1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统的利润最大，MP(x)=2480-40x是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少.8.利普希茨Ⅰ类函数【例11】(2004年南通市高考模拟题)已知函数f(x)=x2-1(x≥1)的图像是C1，函数y=g(x)的图像C2与C1关于直线y=x对称.(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2，都有|h(x1)-h(x2)|≤a|x1-x2|成立，则称函数y=h(x)为A上的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数.(3)设A，B是C2上任意不同的两点，证明直线AB与直线y=x必相交.(1)曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数.由y=x2-1，得x2=y+1，又x≥1，∴x=，y≥0.∴曲线C2的方程为g(x)=，M=[0,+∞).(2)对任意x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1-x2≠0，x1≥0，x2≥0.∴|g(x1)-g(x2)|=|-|=＜|x1-x2|.故y=g(x)为M上的利普希茨Ⅰ类函数，其中a=.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C2上任意不同的两点，x1，x2∈M，且x1≠x2，由(2)知.∴直线AB的斜率k AB≠1，故直线AB与直线y=x必相交.9.“淡泊”函数【例12】(2004年合肥市高考模拟题)若函数f(x)对任意的x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立，则称f(x)为D上的“淡泊”函数.(1)判断f(x)=x2+x是否为[-1,1]上的“淡泊”函数，请说明理由；(2)设f(x)为R上的“淡泊”函数，证明：F(x)=f(x+a)仍为R上的“淡泊”函数；(3)是否存在实数k，使f(x)=k为R上的“淡泊”函数，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)f(x)=x2+x是[-1,1]上的“淡泊”函数.因|f(x1)-f(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+2)|，对于任意的x1，x2∈[-1,1]，都有0≤x1+x2+2≤4，所以|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，即f(x)=x2+x是[-1,1]上的“淡泊”函数.(2)证明：对于任意的x1，x2∈R，则|F(x1)-F(x2)|=|f(x1+a)-f(x2+a)|，设x1+a=t1，x2+a=t2，于是t1，t2∈R，∵f(x)为R上的“淡泊”函数，∴|f(t1)-f(t2)|≤|t1-t2|，即|f(t1)-f(t2)|=|F(x1)-F(x2)|，|t1-t2|=|(x1+a)-(x2+a)|=|x1-x2|因此|F(x1)-F(x2)|≤|x1-x2|，F(x)=f(x+a)仍为R上的“淡泊”函数.(3)假设存在实数k，使f(x)=k为R上的“淡泊”函数.于是对于任意x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|=|k-k|≤|x1-x2|.当x1=±x2时，显然成立；当x1≠±x2时，有|k|·≤1成立，即|k|≤，由于＞≥1，所以只要|k|≤1即可，即存在实数k，使f(x)=k为R上的“淡泊”函数，实数k的取值范围是[-1,1].10.“西湖”函数【例13】(2004年杭州市高考模拟题)定义在定义域D内的函数y=f(x)，若对任意x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|＜1，则称函数y=f(x)为“西湖”函数，否则称“非西湖”函数.函数f(x)=x3-x+a(x∈[-1,1]，a∈R)是否为“西湖”函数？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.易知|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|.函数f(x)=x3-x+a(x∈[-1,1]，a∈R)的导数是f′(x)=3x2-1，令f′(x)=3x2-1=0，解得x=±.此时，f()=a-，f(-)=a+又f(1)=f(-1)=a，所以函数f(x)=x3-x+a(x∈[-1,1]，a∈R)的最大值是a+，最小值是a-，所以|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=＜1.故函数f(x)=x3-x+a(x∈[-1,1]，a∈R)是“西湖”函数.王勇来自《高考》(数语外)2004年第9期2006年全国各地高考数学试题涌现出两类设计极具创意，有强烈时代气息的创新型高考试题。
