最新(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义

空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。

1．以知过点(0,1)的直线l 与曲线1:(0)C y x x x=+>交于两个不同点M 和N ，求曲线C 在点M 、N 处的切线的交点轨迹。

解：设,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为12,l l ，其交点P 的坐标为(,)p p x y 。

若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=。

由题意知，该方程在(0,)+∞上有两个相异的实根12,x x ，故1k ≠，且121214(1)0(1)130(2)11410(3)1k x x k k x x k ⎧⎪=+->⎪⎪+=>⇒<<⎨-⎪⎪=>⎪-⎩对1y x x=+求导，得1''221111,1x x y y x x ==-=-则，2'2211x x y x ==-。

于是，直线1l 的方程为 11211(1)()y y x x x -=--，即1121111()(1)()y x x x x x -+=--， 化简后得到直线1l 的方程为：21112(1)(4)y x x x =-+，同理可求得直线2l 的方程为：22212(1)(5)y x x x =-+，(4)(5)-得：2221121122()0p x x x x x -+-=，因为12x x ≠，故有：12122(6)p x x x x x =+， 将(2),(3)两式代入(6)式得2p x =(4)(5)+得：22121211112(2())2()(7)p p y x x x x x =-+++，其中121212111x x x x x x ++== 2222121212122222221212121212()2112()12(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ++-++===-=--=-代入(7)得：2(32)2p p y k x =-+，而2p x =，得42p y k =-，又由314k <<得： 522p y <<，即点P 的轨迹为(2,2)，5(2,)2两点间的线段（不含端点）。

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章平面与空间直线二、本章重点及难点解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线——平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.本章的重点是：● 平面的各种形式的方程及其相互转换； ● 直线的各种形式的方程及其相互转换； ● 点、平面及直线的关系. 本章的难点是：● 点与平面的离差，平面划分空间问题； ● 向量式方程的运用；● 灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解决一些几何问题.三、本章的基本知识要点1.平面的方程在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：①空间的两条相交直线可以确定准一的平面，②垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线．通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程．(1)向量式方程：b v a u r r o++= (3.1)其中u,v 为参数．在仿射坐标系下，{}o o o o z y x r ,,= ，{}z y x r ,,= ，{}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==将它们代人式(3．1)，可得到下述参数式方程．(2)参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y v X u X x x O O o 212121 (3.2)由于向量b a r r o,,-共面，可以得到下述混合积方程．(3)混合积方程：0),,(=-b a r r o（3.3）将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程．(4)点位式(或行列式)方程0222111=---Z Y X Z Y X z z y y x x o o o (3.4)将式(3．4)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程．(5)一般方程(或称为普遍式方程)0=+++D Cz By Ax (3.5)这是一个三元一次方程．当D 不等于零时，可以得到下述截距式方程．(6)裁距式方程1=++czb y a x （3.6） 为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下．在空间直角坐标系下．设平面上点Mo 的径矢{}00000,,z y x r OM ==，平面上任意一点M 的径矢{}z y x r ,,== 以及平面的法向量{}C B A ,,=，由于n M⊥0，所以通过0)(0=-∙r r n(3．7) 可以得到平面的点法式方程． (7)点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （3. 8)格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(3．5)类似的三元一次方程.为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢．将取自原点O 出发，垂直于平面π的矢量指定为平面π的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面．此时平面π上任意点M 的径矢{}z y x r OM ,,==与平面π的单位法矢{}γβαcos ,cos ,cos 0=n 有下面的关系：p r n =⋅(3．9)其中p 是非负的．是原点O 到平面π的距离．将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程．(8)法式方程0cos cos cos =-++p z y x γβα （3.10）将一般方程0=+++D Cz By Ax 转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子22211C B A n ++±=±=λ 其中λ的正负号选取应满足0 p D =-λ，即0≠D 时，取λ与D 异号，当D=0时，取λ与第一个变量的系数同号．例如，0≠A 取0 A λ(9)三点式方程0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x （3.11） 这个方程可以看做与式(3．4)为同一类．2．平面与点的相关位置(1)点0M 与平面间π的离差p r n -⋅=δ （3.12）其中0n 为原点指平面π的单位法矢矢, ,00r OM=p 为原点O 到平面π的距离．式(3．12)也可以写成代数表达式p z y x -++=γβαδc o s c o s c o s 000 (3．13) 原点)0,0,0(O 与平面π间的离差为p -=δ，反映出原点O 、平面π、及其单位法矢0n之间的关系．点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向．在平面π同侧的点，δ的符号相同；对于在平面π异仍的点，δ的符号相反；平面π上的点，δ等于零．点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分．同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分．(2)点),,(0000z y x M 与平面0=+++D Cz By Ax 间的距离为 222000CB A DCz By Ax d +++++==（3.14）3.两平面的相关位置 空间两平面0:11111=+++D z C y B x A π0:22222=+++D z C y B x A π 有以下的关系：（1）1π与2π相交222111::::C B A C B A ≠⇔ (2) 1π与2π平行21212112D D C C B B A A ≠==⇔(3) 1π与2π重合21212112D D C C B B A A ===⇔在空间直角坐标系下，两平面1π与2π间的交角是用两平面二面角的平面角1(π∠，2π)来表示，并且常取其中的锐角来表示．根据平面与其法矢垂直的关系，记θ=∠),(21n n，可以得到222222212121212121212121cos ),(cos CB A CB AC C B B A A n n n n ++++++=⋅==∠ θππ (3.15)同时，两平面1π与2π垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A4．空间直线的方程在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线．读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量．因此，在空间取定坐标系，并设直线l 上一定点Mo 的径矢{}00000,,z y x r OM ==，直线 l 上任意点M 的径矢为{}z y x r ,,= ，直线l 的方向向量v，可以得到直线l 的向量式方程“（1）向量式方程v t r r o+= (3.16)其中t 为参数．（2）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x O O o (3.17)由式(3.17)梢去参数t ，可以得到直线l 的对称式方程．(3)对称式方程(或称直线l 的标准方程)Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.18) 在式(3．18)中，方向效Z Y X ,,是一组不全为零的数．如果其中有一个为零， 例 如0=X ．此时，可以设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=Z z z Yy y x x 000如果其中有两个数为零，例如0,0==Y X ，此时．可以设⎩⎨⎧==00y y x x这样可以得到相对应的直线方程．通过空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，可以得到直线的两点式方程．(4)两点式方程121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （3.19）空间直线可以看做是两个相交平面的交线，所以可以得到直线一般方程． (5)直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (3.20)其中系数222111::::C B A C B A ≠。

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第五章二次曲线的一般理论一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点二次曲线属于平面解析几何的内容。

在中学我们已经对二次曲线的各种具体表现形式做了比较多的研究，如椭圆、双曲线、抛物线等。

在这一章，我们主要是对所有的二次曲线作一个一般理论上的研究。

本章的重点是：● 二次曲线与直线的交点；● 二次曲线按中心分类、二次曲线按渐近方向分类；● 二次曲线的中心、渐近方向和渐近线、主方向和主直径； ● 化简二次曲线. 本章的难点是：● 主方向和主直径； ● 化简二次曲线.● 利用二次曲线的不变量解决有关问题. 三、本章的基本知识要点1.将二次曲线的一般方程表示为双线性式： 0),(),(),(),(321=++≡y x F y x yF y x xF y x F其中33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++≡1312111),(a y a x a y x F ++≡ 2322122),(a y a x a y x F ++≡ 3323133),(a y a x a y x F ++≡也可以表示成短阵形式：[]011,,),(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≡y x A y x y x F其中矩阵A 是一个对称矩阵 ji ij a a a a a a a a a a a A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,3332312322211312112.将直线⎩⎨⎧+=+=tY y y tXx x l 00:代入二次曲线的方程中，得到[]0),(),(),(2),(000020012=+++Φy x F t Y y x F X y x F t y x其中222122112),(y a xy a x a y x ++≡Φ记[]0),(),(),(),(002002001=Φ-+=∆y x F Y X Y y x F X y x F通过方程的系数的讨论，直线与二次曲线的位置关系如下： （1）∆≠Φ,0),(y x >0直线与二次曲线有两个不同的实交点 （2）∆≠Φ,0),(y x =0有一对相重合的实交点 （3）∆≠Φ,0),(y x ＜0没有实交点（4）0),(),(,0),(002001≠+=Φy x YF y x XF y x 直线与二次曲线只有一个实交点（5）0),(,0),(),(,0),(00002001≠=+=Φy x F y x YF y x XF y x直线与二次曲线没有实交点（6）0),(,0),(),(,0),(00002001==+=Φy x F y x YF y x XF y x 直线落在曲线上3.在二次曲线上一点Mo(x 。